江苏省南京人民中学、海安实验中学、句容市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京人民中学、海安实验中学、句容市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若平面的法向量为,直线l的方向向量为,,则下列四组向量中能使的是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A.512个B.192个C.240个D.108个
3．已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列四个点中在平面内的是( )
A.B.C.D.
4．已知平行六面体,则下列四式中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
5．地图涂色是一类经典的数学问题.如图,用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域,要求相邻区域的颜色不能相同,则不同的涂色方法有( )种.
A.84B.72C.48D.24
6．函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
7．如图,在四面体ABCD中,,,若,,,,则平面ABD与平面CBD的夹角为( )
A.B.C.D.
8．设,分别是正方体的棱CD上的两点,且,,则当EF在CD上沿的方向运动时,三棱锥的体积( )
A.不断变大B.不断变小C.保持不变D.先减小再增大
二、多项选择题
9．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
10．下列等式成立的是( )
A.B.C.D.
11．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直线的距离.如图,在棱长为1的正方体中,点E在BD上,且;点F在上,且.则下列结论正确的是( )
A.线段EF是异面直线与的公垂线段
B.异面直线与BD的距离为
C.点到直线EF距离为
D.点到平面DEF的距离为
三、填空题
12．在空间直角坐标系Oxyz中,若点关于平面xOz对称的点为,则点P的坐标为________.
13．已知,,则不同的有序集合对有_________种.
14．已知圆锥PO（P为圆锥顶点,O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q,满足,则的最小值为_____________．
四、解答题
15．已知,,.
（1）求在上的投影向量;
（2）若四边形ABCD是平行四边形,求顶点D的坐标;
（3）若点,求点P到平面ABC的距离.
16．如图,在长方体中,,,点E在线段上.
（1）求证:;
（2）当E是的中点时,求直线AC与平面所成角的正弦值.
17．空间中,两两互相垂直且有公共原点三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为,我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标:,,分别为“斜坐标系”下三条数轴(x轴,y轴､z轴)正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组相对应,称向量的斜60°坐标为,记作.
（1）若,,求的斜60°坐标;
（2）在平行六面体中,,,,N为线段的中点.如图,以为基底建立“空间斜坐标系”.
①求的斜坐标;
②若,求与夹角的余弦值.
18．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,,,.
（1）若平面AEF,求的值;
（2）在（1）的条件下,求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值.
19．已知函数.
（1）若,且与函数的图象相切,求a的值;
（2）若对成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意,平面的法向量为,直线的方向向量为,,
若,即,又由,则有,
依次分析选项:
对于A,,,,即成立,符合题意;
对于B,,,,即不成立,不符合题意;
对于C,,,,即不成立,不符合题意;
对于D,,,,即不成立,不符合题意.
故选:A.
2．答案：D
解析：试题分析:由于能被5整除的数,其个位必为0或5,由此分两类:第一类:个位为0的,有个;第二类:个位为5的,再分两小类:第1小类:不含0的,有个,第2小类:含0的,有个,从而第二类共有48个;故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数有个,故选D.
3．答案：C
解析：设平面内任意一点,则,平面的一个法向量为
所以,整理得,
而,,,,
所以对比选项可知只有在平面内.
故选:C.
4．答案：D
解析：对于A:,故A正确;
对于B:因为,所以,故B正确;
对于C:,故C正确;
对于D:因为,所以,
故D错误.
故选:D
5．答案：A
解析：将图形区域氛围上下左右,
若上下颜色相同,则上有4种,左有3种,右有3种,共有种;
若上下颜色不同,则上有4种,下有3种,左右各有两种,共有种,
所以共有种,
故选:A
6．答案：B
解析：观察函数的图象知:当时,单调递增,且当时,,
随着x逐渐增大,函数图象由陡逐渐变缓,,,,
而(即点B)处切线的倾斜角比(即点A)处的倾斜角小,且均为锐角,
,又是割线AB的斜率,显然,
所以.
故选:B
7．答案：C
解析：设平面ABD与平面CBD的夹角为,
由题意可得:,
,
则,
即,解得,
由,可得,
故平面ABD与平面CBD的夹角为.
故选:C.
8．答案：C
解析：因为,
设点到平面的距离为h,则
如图,到平面的距离即到平面的距离,且到平面的距离为,
又的面积,为定值,
所以三棱锥的体积为定值,
故选:C.
9．答案：AB
解析：因为,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为,所以,,是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为,所以,,是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故D错误.
故选:AB.
10．答案：BCD
解析：A:,故A错误;
B:,,故B正确;
C:,,故C正确;
D:,故D正确;
故选:BCD.
11．答案：ACD
解析：以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,,,,,,,
,.
对于A,,,,
,,即,,
所以线段EF是异面直线BD与的公垂线段,故A正确;
对于B,由正方体可得异面直线与BD的公垂线的方向向量为,
又,所以异面直线与BD的距离为.故B错误;
对于C,,,
所以在方向的投影向量的模为,
所以点到直线EF的距离为.故C正确;
对于D,设平面DEF的一个法向量为,则,即,令,得,,
,又,
所以点到平面DEF的距离为.故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由题意知,在空间直角坐标系中,点关于平面xOz的对称点为,
又,所以,解得,所以点P的坐标为.
故答案为:.
13．答案：27
解析：
如上表,每一种集合A可确定满足条件的集合B,不同的有序集合对有27种.
故答案为:27.
14．答案：
解析：因为,
所以,,
所以,,共面,
又A,B,C为底面圆周上三点,所以点Q为平面ABC上一点,
由已知平面ABC,
所以,
又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形,所以,
所以的最小值为,
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,,故在上的投影向量为,
而.
（2）设,则,故,
故D的坐标为.
（3）,设平面ABC的法向量为,
则即,取,则,,
故,
故点P到平面ABC的距离为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在长方体中,连接BD,则,
由平面ABCD,平面ABCD,得,
而,ED,平面BED,因此平面BED,
又平面BED,所以.
（2）如图,以D为坐标原点,DA,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
可得,,,
设平面法向量,则,
令,则,,可得,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线AC与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）①;
②
解析：（1）由,,
知,,
所以,所以;
（2）设,,分别为与,,同方向的单位向量,
则,,,
①,
.
②因为,所以,
则,
,.
,
,
所以与的夹角的余弦值为
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为平面ABCD,平面ABCD,则,
且,,PA,平面PAD,所以平面PAD,
如图,以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴,过D作AP平行线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
可得,,,,
因为,,则,
设平面AEF的法向量为,则,
令,则,,所以,
若平面AEF,则,解得.
（2）由（1）可得:平面AEF的法向量为,
由题意可知:平面PAE的一个法向量,
设平面AEF与平面PAE所成夹角,
则,
所以平面AEF与平面PAE所成角的余弦值为.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）函数,求导得,
设直线与函数的图象相切的切点横坐标为,于是,
而,,解得,又,解得,
所以.
（2）依题意,对恒成立,
设,显然,恒成立,
当时,,不符合题意,
当时,求导得,
由得,函数在上单调递减,
由得,函数在上单调递增,则,
于是,解得,因此;
所以所求实数a的取值范围是.
A
B
,
,
,
,,,
,,,
,,,
,,,,,,,