北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程学案

这是一份北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程学案，共29页。学案主要包含了即学即练，典例10，典例11等内容，欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2．抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
注意：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
1．用图象法解一元二次方程的步骤
(1)作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
(2)确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索。即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
(4)确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
2．求一元二次方程的近似解的方法（图象法）
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根。
知识点03 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，。
∴
即 （△＞0）
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注意：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号。
能力拓展
考法01 二次函数的图象与坐标轴交点
【典例1】在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（ ）
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【解析】解：∵抛物线与轴的一个交点是
∴0=a+4a+2
∴a=
∴
当y=0时，，
解得
∴B（5，0）
∴AB=5-（-1）=6，
故选：C．
【典例2】二次函数的图象与x轴的交点是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【解析】解：令y=0，
则
解得：x1=，x2=2
故选：D
【典例3】抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：令，得：，
∴与轴的交点坐标为（0，-3），
故选：B．
【典例4】下列抛物线经过原点的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：、将代入，得，
所以该抛物线经过原点，
本选项符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
故选：．
考法02 利用图象法求一元二次方程的近似解
【典例5】根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【即学即练】如表，是二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值．那么方程的一个近似解是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】C
【解析】解：由表格可得时，，时，，
的一个解在1.1与1.2之间，
，
的一个近似解是1.2，
故选：C．
【典例6】如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
【答案】D
【解析】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【即学即练】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以①正确；
当时，，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②正确；
，
而，
，所以③错误；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以④正确；
综上：正确的个数为3个，
故选：C．
考法03 判断二次函数的图象与x轴交点的情况
【典例7】从-1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：关于x的函数y=mx2+6x+2的图象与x轴有交点，
当函数为二次函数时m≠0，Δ=b2-4ac=62-8m≥0，
即：m≤4.5且m≠0．
又从-1、0、3、5、7五个数中任意选取，
∴m=-1，3，
∴m的值有2个．
故选：B．
【即学即练】抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【典例8】在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】
抛物线的解析式为①，
设直线MN的解析式为，
将点M，N的坐标，代入得，，
解得，
直线MN的解析式为②，
联立①②并整理得，
抛物线与线段MN有两个不同的交点，
，即，
当时，抛物线开口向上，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的上方，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的下方，
，
解得；
综上，a的取值范围是或．
【即学即练】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是（ ）
①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；
②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；
③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；
④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A．①④B．②③C．②④D．①②③④
【答案】B
【解析】解：二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)，开口向上，
且对称轴为x=-=2，
①点N(−2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ，
∵a>0，∴y随x的增加而增加，
∵40，
∴abc0，
∴3a+c>0，
故丙正确；
由图象可知，当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值，没有最小值，
故丁错误；
故选：B．
5．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
【答案】A
【解析】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
6．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】C
【解析】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：C．
7．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．
【答案】6
【解析】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
8．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________
【答案】或
【解析】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
9．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线；（2）
【解析】（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
10．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【解析】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
题组B 能力提升练
1．抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（ ）
A．x1﹣x2＝mB．x2﹣x1＝mC．m(x1﹣x2)＝nD．m(x1+x2)＝n
【答案】B
【解析】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，
故选：B．
2．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(m，n)，B(4﹣m，n)，且抛物线与x轴有交点，则c的最大值为（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点A（m，n），B（4﹣m，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2．
∴．
∴b＝﹣4．
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝．
∴16﹣4c≥0．
∴c≤4．
∴c的最大值为4．
故选：C．
3．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，即，
设的另一根为m，
利用根与系数的关系可得：，
∴．
故选：C
4．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为( )
A．0B．1C．D．2
【答案】D
【解析】解：将（m，0）代入y＝x2−x−1得m2−m−1＝0，即m2−m＝1，
∴m2−m＋1＝2，
故选：D．
5．已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，，则b＞0，
∴abc0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【解析】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
10．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围；
(4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
【答案】(1)4a
(2)0
(3)−6≤k≤0
(4)−4≤c＜5
【解析】(1)解：由题意得：抛物线的，解得b=4a，
故答案为：4a；
(2)解∶∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2−4ac=0，
∴16a2−4ac=0，
∵a≠0，
∴4a−c=0，即c=4a，
∴c−b=4a−4a=0；
(3)解：∵抛物线过点（−2，−2），且对称轴为直线x=−2，
∴抛物线的顶点是（−2，−2），
∵当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2，
∴，解得：−6≤k≤0；
(4)解：当a=−1时，b=−4，
∴抛物线y=−x2−4x+c，
∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，
c=x2+4x，
可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2−4与直线y=c在−3＜x＜1的范围内有交点，
当x=−2时，y=4−8=−4，x=1时，y=1+4=5，
如图所示，由图象得：c的取值范围：−4≤c＜5．
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
2．抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：b=6，
∴，
∴二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t在内有交点，
当x=－1时，y=－4，
当x=4时，y=11，
当x=3时，y=12，
∴抛物线在的范围是－4＜y≤12，
∴－4＜－t≤12，则－12≤t＜4，
故选：C．
3．对于二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表，下列结论正确的是（ ）
A．该函数图象顶点坐标是（1，﹣2）
B．无论x取何值，y恒小于0
C．当x＞2时，y随着x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个公共点
【答案】D
【解析】∵，；，；，，分别代入，得：
，
解得：，
即二次函数，
∴抛物线对称轴为直线，
将代入得：，
∴该函数图象顶点坐标是（，），故选项A不符合题意；
∵抛物线开口向下，但是顶点在x轴上方，
∴y不恒小于0，例如：当，；故选项B不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
∴当x＞2时，y随着x的增大而减小，故选项C不符合题意；
∵，
∴抛物线图象与x轴有两个公共点，故选项D符合题意；
故选：D．
4．关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是( )
A．﹣2＜x1＜x2＜1B．﹣2＜x1＜1＜x2C．x1＜﹣2＜x2＜1D．x1＜﹣2＜1＜x2
【答案】A
【解析】解：二次函数的图象如图所示：
它与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程的解x1，x2看作直线与二次函数的交点横坐标，
由图象可知，，
故选：A．
5．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x增大而增大
C．当时，x的取值范围是D．方程的根为0和2
【答案】D
【解析】解：由表格可得，二次函数的对称轴为直线，
∴顶点坐标为（1，1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点都在抛物线上，则
C．当时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
【答案】C
【解析】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；
C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意；
D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
7．已知二次函数，当＝______时，图象的顶点在轴上；当＝_________时，图象过原点．
【答案】 10+ 或10- 2
【解析】解：∵图象的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
（m﹣6）2﹣4（2m﹣4）＝0，
化简得：m2﹣20m+52＝0
解得：m＝10+ 或10-，
故答案为：10+ 或10-．
∵图象经过原点，即可得出图象过（0，0），
∴2m﹣4＝0，
∴m，
故答案为：2；
8．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
【答案】①②
【解析】①当x=-1时，，
通过函数图像可知，此时函数图像在x轴上方，即a-b+c>0，
故①错误；
②通过函数图像可知，对称轴为x=-2，函数图像与x轴的一个交点n的范围为2