重庆市梁平区梁平区福德学校2023-2024年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、的被开方数a不确定，不一定是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解答关键是理解最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 有意义的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据数轴表示不等式的解集；根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而即可．
【详解】根据题意得：，解得．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. ＝﹣7C. ＝3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质，二次根式的加减法逐项判断即可
【详解】A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ＝7 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ＝3,故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查二次根式的化简与加减运算，熟练掌握二次根式的性质及加减运算法则是解题关键．
4. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可．
【详解】由数轴可知，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式=3-
=3-2
=．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A. 14B. 20C. 23D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
7. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
8. 用作三角形的三边，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题关键．
根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形．
【详解】A：∵
∴
根据勾股定理的逆定理可得，用作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B：∵，
∴设，
∵，
∴用作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C：∵
∴ ，
∴用作三角形的三边，不能构成直角三角形，故选项C符合题意；
∵，
，
∴用作三角形三边，能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选C．
9. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
【详解】∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD•PE+CD•PF=BD•AC，
∴PE+PF=AC，
设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故选C
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
11. 化简： =____．
【答案】1
【解析】
【分析】直接运用平方差公式求解即可．
【详解】解：原式.
故答案为：1．
【点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
12. 若，求=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，先根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性得到的值，然后代入即可求得结果，掌握概念性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
则，
故答案为：2．
13. -1的最小值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解．
【详解】解：-1
=-1
∵最小值为：1，
∴-1的最小值是0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了二次根式求最小值，其中运用完全平方公式，化简原式寻找求最小值的思路是解答本题的关键．
14. 若最简二次根式、是同类二次根式，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可．
【详解】解：根据题意得，
整理得，，
故答案为：．
15. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度，
∴点A表示．
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质求得，进而可得，然后根据解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为的扇形面积是解题关键．
17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键．
【详解】解不等式组，
得：，
∵原不等式组的解集为：，
∴，
∴，
解分式方程得：，
∵且，
∴且，
∴且，
∴，且，
∴符合条件的整数a有：，0，2，3，4，5，
∴．
故答案为：13．
18. 对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．如：四位数，，，是“天真数”；四位数，，不是“天真数”，则最小的“天真数”为个“天真数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被10整除，则满足条件的的最大值为______．
【答案】9313
【解析】
【分析】先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为： 9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简,完全平方公式应用．
（1）根据题意先去括号,再将每个二次根式化简进行运算即可;
（2）根据题意先利用完全平方公式对进行运算,再对进行有理化,先算乘法再算加减即可得到本题答案．
【小问1详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
【小问2详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
20. 如图，在中，点B在边上，连接，已知．
（1）求证：；
（2）求和的长．
【答案】（1）见解析；
（2）的长为17，的长为9
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案.
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
【小问2详解】
解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
21. 先化简：求当，时的值．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的运算法则进行计算，然后得出，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴
∴原式
22. 已知满足．
（1）求，的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质及三角形的三边关系，
（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形的三边关系化简即可；
熟知任意一个数的绝对值或偶次方都是非负数以及三角形三边关系是解答此题的关键．
【小问1详解】
∵ ，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，
∴，，
23. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证；
（2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可．
小问1详解】
解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴，即．
【小问2详解】
解：当时，，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法．
24. 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩
（2）100亩
【解析】
【分析】（1）设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，根据甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，根据两区喷洒的面积相同建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：设甲区有农田亩，则乙区有农田亩，
由题意得：，
解得，
则，
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．
【小问2详解】
解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，派往甲区的无人机架次为架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为架次，
由题意得：，即，
解得，
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
25. 阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）有理化因式是_______，将分母有理化得________；
（2）已知，，则________；
（3）利用上面所提供的解法．请化简；
【答案】（1）；
（2）10 （3）9
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果．
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【小问1详解】
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：；；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴；
故答案为：10；
【小问3详解】
．
26. 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．

探索证明
（1）如图1，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
变式思考
（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来：____________________．
拓展应用
（3）如图3，在长方形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由在4个直角三角形中利用勾股定理，从而可得结论；
（2）由，可得四边形是“垂美四边形”，可得，再分别表示这4条线段，即可得到答案．
（3）由，E为的中点，可得．设，则．表示．结合（1）得，即，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴四边形是“垂美四边形”．
由（1）知．
∵，是的中线，，
∴，，，
∴，即．
（3）∵，E为的中点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，三角形的中线的性质，理解新定义的含义并灵活运用结论解决问题是解题的关键．