重庆市长寿区长寿川维中学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及同类二次根式可进行求解．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”，“芒种”，“白露”，“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，根据定义解题即可．
【详解】A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列各式的计算中，正确的是（ ）.
A.
B. =3+4=7
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．A、、没有意义，故本选项错误；B、=5，运算错误，故本选项错误；C、，故本选项正确；D、，运算错误，故本选项错误．
故选C．
考点：二次根式的乘除法．
4. 下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 两直线平行，同旁内角互补B. 如果，那么
C. 等边三角形每个内角都等于60°D. 对顶角相等．
【答案】D
【解析】
【分析】先交换各命题的题设与结论部分得到四个逆命题，然后分别平行线的判定，平方的意义，等边三角形的判定，对顶角的定义判断逆命题的真假．
【详解】A、逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；
B、逆命题为“如果a=b，那么” ，是真命题；
C、逆命题为“如果三角形的每个内角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形”，是真命题；
D、逆命题为：“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题．
故选：D
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题．
5. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故A不符合题意；
由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故B不符合题意；
由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故C不符合题意；
由，不能说明四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
6. 使代数式有意义的整数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，
∴使代数式有意义的整数有，，0，1．
共有4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．
7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）．

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：设绳索有尺长，

则，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
8. 如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案．
【详解】第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9cm和4cm，
则所走的最短线段是=(cm)；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7cm和6cm，
所以走的最短线段是=(cm)；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和3cm，
所以走的最短线段是=(cm)；
三种情况比较而言，第二种情况最短.
故选：B
【点睛】本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.
9. 如图，在中，于点，于点，若，的周长为10，则的长为（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据周长是10可得，根据平行四边形的面积可得，再由可得，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∵的周长是10，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和面积，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
10. 如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，证明和全等，即可得到；连接如图见解析，证明和全等，即可得到；延长交于如图见解析，利用等腰直角三线合一的性质，，，可知，，，即可判断③；在和中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．
【详解】解：，
即
在和中
，故①正确；
连接，如图：
在中，
，
，故②正确；
延长交于，如图：
，
，
，故③正确；
在中，
，
，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 在平行四边形中，，则的度数是_____________．
【答案】##110度
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据对角相等，即可得解．
【详解】解：∵平行四边形中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键．
12. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AB=6，BC=8，则四边形AEDF的周长是_____________．
【答案】16
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=AF=AB，DF=AE=AC，然后根据四边形的周长的定义计算即可得解．
【详解】∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
∴DE=AF=AB=3，DF=AE=AC=5，
∴四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16．
故答案为：16．
【点睛】此题考查三角形的中位线定理，勾股定理，熟记定理是解题的关键．
14. 如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得和的长，再根据和，点表示的数为，即可写出点表示的数．
【详解】解：，，
，
，
，
，
点表示的数是，
点表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 已知，，则____________．
【答案】10
【解析】
【分析】先求出xy和的值，再将因式分解成，再代入计算．
【详解】，，
∴，
，
．
．
故答案为：10．
【点睛】考查了因式分解和二次根式的乘法计算，解题关键是求出xy和的值，再将因式分解成．
16. 如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_________cm．（容器厚度忽略不计）

【答案】
【解析】
【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离．

∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，，
∴在直角中，．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
17. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
【答案】 ①. ②. 8165
【解析】
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
三、解答题（19题8分，其余每题10分，共78分）
19. （1）用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点． 求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，
① ，
垂直平分，
② ，
又 ③ ，
（ ④ ），
．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质.
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行四边形的性质得到，再由线段垂直平分线的定义得到，据此可利用证明 ，即可证明．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
∴ ，
垂直平分，
，
又∵，
∴ ，
．
故答案为：①；②；③；④．
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）3 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，实数的运算，零指幂：
（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）先计算零指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
21. 先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x=
【答案】，1-
【解析】
【分析】首先计算括号里面的加减，然后再计算除法，化简后再代入x的值即可．
【详解】解：原式=×，
=•
=．
当x=-3时，原式===1-．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式加减和除法的计算法则．
22. 如图，在中，于点． 请判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，，进而得到，则可得到，据此可得是直角三角形．
【详解】解：直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
23. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE⊥BD，AF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AE、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】可先证明△AOF≌△COE，可得OF=OE，又有OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形AFCE是平行四边形．
【详解】连接AE，CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC．
∵AF⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AFO=∠CEO=90°．
在△AOF与△COE中，
∠AFO=∠CEO=90°，AO=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，其中平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
（2）购买牛肉面60份
【解析】
【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
【小问2详解】
解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
25. 阅读题：在现今“互联网”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：，因式分解的结果为，当时，，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？（直接写出两个） ， ．
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为，求出一个由多项式分解因式后得到的密码．
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个密码为2434，求 、 ．
【答案】（1）212814，211428，282114，281421，142821，142128（任选两个即可）
（2）或
（3）13；3
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的变形求值，勾股定理：
（1）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式，再计算出，据此可得答案；
（2）利用勾股定理和三角形周长计算公式得到，进而由完全平方公式的变形得到，把原式分解因式得到，据此可得答案；
（3）根据题意可得原多项式分解因式的结果为，据此可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
当时，，
∴可以形成的数字密码为212814，211428，282114，281421，142821，142128，
故答案为：212814，211428，282114，281421，142821，142128（任选两个即可）；
【小问2详解】
解：∵一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为，
∴，
∴，
，
∴分解因式后得到的密码为或；
小问3详解】
解：∵当时可以得到其中一个密码为2434，
∴原多项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴，
故答案：13；3．
26. △ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC∠DBE90°，△DBE可以点B为旋转中心进行旋转．
（1）如图1，当边BD恰好在△ABC的BC边上时，连接 AD ，若BE1，AD2．求线段DC的长；
（2）如图2，当边BD旋转至△ABC外时，连接CD、AD、CE ，其中AD与CE相交于点F．求证：CEAD ；
（3）如图3，F为AC的中点，当边BD旋转至△ABC内时，连接AD、CE、FD，并在FD的延长线上取一点G，连结CG，使CG＝CE．求证：∠FDA∠CGF ．
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出AB，故可求出CD；
（2）设AD、BC交于O点，证明△ABD≌△CBE，再利用三角形的内角和得到∠CFO=∠ABO=90°，故可求解；
（3）延长GE至H，令HE=GE，证明△AHF≌△CGF，得到∠H=∠G，AH=CG，再由△ABD≌△CBE得到AD=CE，故可得到AD=CG=AH，则∠FDA∠H=∠CGF，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形
∴BD=BE=1
∵∠ABC 90°
∴AB==BC
∴CD=BC-BD=；
（2）设AD、BC交于O点
∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC∠DBE90°，
∴AB=CB，DB=EB，∠ABC∠DBE90°
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD
∴∠ABD=∠CBE
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴∠OAB=∠OCF
∵∠AOB=∠COF
∴∠CFO=∠ABO=90°
∴AD⊥CE；
（3）如图，延长GE至H，令HE=GE
∵F点是AC中点
∴AF=CE
又∵∠HFA=∠GFC
∴△AHF≌△CGF
∴∠H=∠G，AH=CG
由（2）同理可得△ABD≌△CBE
∴AD=CE
∵CE=CG
∴AD=CG=AH
∴∠FDA∠H=∠CGF ．
即∠FDA∠CGF ．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理，根据图形的特点作辅助线求解．