初中数学10.1 分式精品习题

这是一份初中数学10.1 分式精品习题，文件包含第10章《分式》教师版docx、第10章《分式》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•邢台期末）要使分式的值扩大4倍，x、y的取值可以如何变化（ ）
A．x的值不变，y的值扩大4倍
B．y的值不变，x的值扩大4倍
C．x、y的值都扩大4倍
D．x、y的值都扩大2倍
解：A、＝，故A不符合题意；
B、＝，故B不符合题意；
C、＝＝，故C符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023秋•沂水县期末）下列各式中是分式的是（ ）
A．B．x+yC．D．
解：A、是整式，不是分式，故A不符合题意；
B、x+y是整式，不是分式，故B不符合题意；
C、是整式，不是分式，故B不符合题意；
D、是分式，故D符合题意；
故选：D．
3．（2分）（2023秋•莱州市期末）下列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有（ ）
①+＝；②a÷b×＝a
③；④
A．3个B．2个C．1个D．0个
解：①+＝，故①不正确；
②a÷b×＝a••＝，故②不正确；
③，故③正确；
④＝＝a+b，故④不正确；
所以，上列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有1个，
故选：C．
4．（2分）（2023秋•柘城县期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
解：A：＝﹣，∴不符合题意；
B：，∴不符合题意；
C：＝＝，∴符合题意；
D：＝﹣，∴不符合题意；
故选：C．
5．（2分）（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≥﹣1
解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
6．（2分）（2022秋•灵宝市期末）如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．缩小2倍C．扩大2倍D．扩大4倍
解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，
∴＝，
∴该分式的值扩大2倍．
故选：C．
7．（2分）（2023春•宜兴市期末）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
解：由题意，去分母得，
mx﹣1＝2（x﹣1），
∴（m﹣2）x＝﹣1．
①当m﹣2＝0时，即当m＝2时，0•x＝﹣1，
∴此方程无解．
∴分式方程＝2也无解，符合题意．
②当m﹣2≠0时，
∴x＝．
而此时分式方程＝2无解，
∴﹣1＝0．
∴m＝1．
检验：m＝1代入﹣1＝0符合题意．
综上，满足题意的m的值为1或2．
故选：C．
8．（2分）（2023春•兴化市月考）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．x＝2+3B．x＝2（x﹣1）+3
C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1）D．x＝3（x﹣1）+2
解：去分母得：x＝2（x﹣1）+3，
故选：B．
9．（2分）（2023•雨城区校级模拟）若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：将分式方程去分母得：
a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1）
解得：x＝﹣2a﹣1
∵解为负数
∴﹣2a﹣1＜0
∴a＞﹣
∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，
∴a＞﹣，且a≠0；
将不等式组整理得：
∵不等式组无解
∴a≤2
∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0
∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故选：C．
10．（2分）（2023春•宣汉县校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，
∵x解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞，
关于y的不等式组解为，
∵y恰有三个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣1＜a≤3，
分式方程中，x≠3，
∴2a﹣1≠3，
∴a≠2，
综上所述：＜a≤3，
∴满足条件的整数a为：1、3，
则所有满足条件的整数a的和是4．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）若关于x的方程＝8的解为x＝，则m＝ 4 ．
解：分式方程去分母得：mx+1＝8x，
根据题意将x＝代入方程得：m+1＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4
12．（2分）（2023•宁波模拟）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为 1011 ．
解：∵x*y＝2，
∴﹣＝2，
∴x﹣y＝2xy，
∴＝＝1011，
故答案为：1011．
13．（2分）（2023春•开江县期末）若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为 1 ．
解：，
x﹣2+2（x﹣3）＝m，
解得：x＝，
∵分式方程会产生增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝中得：
3＝，
解得：m＝1，
故答案为：1．
14．（2分）（2023•龙江县三模）若关于x的分式方程有正整数解，则整数a＝ ﹣1或2 ．
解：分式方程去分母得1﹣ax+3（x﹣2）＝﹣1，
整理得（3﹣a）x＝4，
解得x＝，
∵分式方程有正整数解，且x﹣2≠0，
∴整数a＝﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
15．（2分）（2023春•衡南县期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程 y2﹣6y+5＝0 ．
解析∵，
∴，
设，则，
∴原方程可化为，
∴y2﹣6y+5＝0．
故答案为：y2﹣6y+5＝0．
16．（2分）（2023秋•昌吉州期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是 x＝5 ．
解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
17．（2分）（2023•薛城区校级模拟）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣4且m≠3 ．
解：关于x的分式方程化为整式方程为：m+3＝2x﹣1，
解得：x＝，且x，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：m≥﹣4且m≠﹣3，
故答案为：m≥﹣4且m≠﹣3．
18．（2分）（2023春•青羊区期末）关于x的方程的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为 7 ．
解：，
1+2﹣a＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
∵方程的解是正数，
∴x＞0且x≠2，
∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，
解得：a＜5且a≠3，
∴符合条件的a的所有正整数是：4，2，1，
∴符合条件的a的所有正整数解之和＝4+2+1＝7，
故答案为：7．
19．（2分）（2022春•昆都仑区校级期中）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为 m＞﹣1且m≠3 ．
解：分式方程，
方程两边同时乘以x﹣1得，x﹣4＝﹣mx，
解得：x＝，
∵x为正数，且x﹣1≠0，
∴m+1＞0，且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠3，
∴m的取值范围是m＞﹣1且m≠3．
故答案为：m＞﹣1且m≠3．
20．（2分）（2021秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 不变 （填变大，变小，不变）
解：分式的x、y同时变为原来的10倍，可得
＝，与原分式相同，
故答案为：不变．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•连山区期末）解答题：
（1）因式分解：2x3y2﹣16x2y+32x．
（2）解方程：．
解：（1）2x3y2﹣16x2y+32x
＝2x（x2y2﹣8xy+16）
＝2x（xy﹣4）2；
（2），
x2+x（x+1）＝（2x+2）（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
∴x＝﹣是原方程的根．
22．（6分）（2023秋•凉州区期末）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
23．（8分）（2023春•青岛期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ①③ ；（只填序号）
①；
②；
③；
④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝ x﹣1+ ；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
解：（1）∵＝1+，
∴①是和谐分式．
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
∴②不是和谐分式．
∵＝＝1﹣，
∴③是和谐分式．
∵＝＝2x+1，
∴④不是和谐分式．
故答案为：①③．
（2）由题意，＝＝＝x﹣1+．
故答案为：x﹣1+．
（3）﹣÷
＝﹣•
＝﹣
＝
＝
＝4+．
∴该分式是和谐分式．
24．（8分）（2023春•驿城区期末）王勿桥伏陈醋是驻马店市正阳县王勿桥乡的一大特产，此醋浓厚醇厚，香而微甜，有三绝举世称奇：第一绝是不搅自酸；第二绝是永不腐坏；第三绝是扶胃降压．某商家购进A，B两种型号的伏陈醋，每斤A型号伏陈醋比每斤B型号伏陈醋贵0.5元，花90元购进A型号伏陈醋的质量与花80元购进B型号伏陈醋的质量相同．
（1）分别求A，B两种型号伏陈醋的单价；
（2）该商家计划用不超过3350元购进A，B两种型号伏陈醋共800斤，求至少应购进B型号伏陈醋多少斤？
解：（1）由题意，设B型号伏陈醋单价为x元/斤，则A型号伏陈醋单价为（x+0.5）元/斤．
∴．
∴解得x＝4．
经检验，x＝4是原方程的解．
∴x+0.5＝4.5（元/斤），
答：A，B两种型号伏陈醋的单价分别为4.5元/斤、4元/斤．
（2）由题意，设购进B型号伏陈醋a斤，则购进A型号伏陈醋（800﹣a）斤．
∴4a+4.5（800﹣a）⩽3350．
∴解得a⩾500．
答：至少应购进B型号伏陈醋500斤．
25．（8分）（2023春•寿宁县期中）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设k＝ab，m＝a+b，可得x1＝a，x2＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣3），m＝﹣5＝（﹣2）+（﹣3），容易检验x1＝﹣2，x2＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列问题：
（1）求分式方程的解；
（2）若x1＝m，x2＝n是分式方程的两个解，求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若关于x的分式方程的两个解分别为x1，x2，求的值．
解：（1）可化为x+＝（﹣1）+（﹣5），
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5．
经检验x1＝﹣1，x2＝﹣5是该方程的解．
（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝4，
∴+
＝
＝
＝﹣．
（3）原方程变为x+1+＝a+（a+2），
∴x1+1＝a，x2+1＝a+2，
∴x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∴x1﹣x2＝a﹣1﹣（a+1）＝﹣2，
∴＝（﹣2）2＝4．
26．（8分）（2023秋•凤山县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
27．（8分）（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：700m+500×≤14500，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少应安排甲队工作10天．
28．（8分）（2022秋•剑阁县期末）随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了90km，运行时间减少了8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220km．高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王先生要从甲市去距离大约780km的丙市参加14：00召开的会议，如果他买到当日9：20从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要1小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，它能否在开会之前20分钟赶到会议地点？
解：（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得，﹣＝8，
解得：x＝96，
经检验，x＝96是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x＝240，
答：高铁列车的平均时速为240千米/小时；
（2）780÷240＝3.25，
则坐车共需要3.25+1＝4.25（小时），
从9：20到下午1：40，共计4小时＞4.25小时，
故王先生能在开会之前到达