初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课时训练

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一、单选题
1．（2022九下·定海开学考）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cs aB．4sin aC．4tan aD．4csa
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcsa =2csa，
∴BC=2HC=4csa.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，利用锐角三角函数定义求出HC长，再利用等腰三角形的性质求BC长即可.
2．如图，从点 D 观测建筑物 AC 的视角是（ ）
A．∠ADCB．∠DABC．∠DCAD．∠DCE
【答案】A
【解析】【解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物 AC 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ∠ADC ，
故答案为：A．
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
3．如图，在△ABC 中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O 是△ABC 的外接圆，则⊙O 的半径长为（ ）
A．3B．23C．33D．43
【答案】B
【解析】【解答】如图，过O点作OD⊥BC，交BC于点D，连接OB、OC，则OB=OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵OD⊥BC，
∴BD= 12 BC=3，∠BOD= 12 ∠BOC=60°，
∴在Rt△BOD中， BDOB=32 ,
即： 3OB=32 ，
∴OB= 23 ，
故答案为：B.
【分析】如图，过O点作OD⊥BC，交BC于点D，连接OB、OC，则OB=OC，根据题意，进一步分析可知在Rt△BOD中， BDOB=32 ,据此进一步求出答案即可.
4．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明的身高忽略不计.则建筑物的CD高度约为（ ）（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7）
A．28.0米B．28.7米C．39.7米D．44.7米
【答案】D
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H
则∠CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，
∴设FG＝x米，则EG＝2.4x米，
在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，
即：132＝x2+（2.4x）2，
解得：x＝5，
∴FG＝5，EG＝12，
∵∠CED＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，
Rt△CHF中，tan∠CFH＝ CHHF ，
即tan35°＝ y−5y+12 ，则y﹣2＝tan35°×（y+12），
解得：y≈44.7，
即建筑物的CD高度约为44.7米；
故答案为：D.
【分析】过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H，设FG=x米，则EG=2.4x米，在Rt△FGE中，根据勾股定建立关于x的方程求解，则可求出FG和EG的长。再根据等腰直角三角形的性质求出CD=DE，设CD=y米，在Rt△CHF中，根据正切三角函数定义建立关于y的方程求解即可.
5．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学小组想测量旗杆的高度，在离旗杆底部4米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶点C的仰角为α，则旗杆的高度BC为（ ）米
A．4sinα+1.5B．4csα+1.5C．4tanα+1.5D．4tanα+1.5
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知四边形ABED是矩形，则DE=AB，AD=BE，
∵tanα=CEDE，
∴CE=tanα⋅DE=tanα⋅AB=4tanα，
∴BC=BE+CE=AD+CE=4tanα+1.5.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可证得四边形ABED是矩形，利用矩形的性质可证得DE=AB，AD=BE，利用解直角三角形表示出CE的长，然后根据BC=BE+CE，代入计算求出BC的长.
二、填空题
6．某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为100m，则山的坡度为 .
【答案】33
【解析】【解答】解：由勾股定理得
AC= 2002−1002=1003 ，
∴i=BCAC=1001003=33 .
故答案为： 33 .
【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根据坡比i=BCAC可求解.
7．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为5米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 米.
【答案】55
【解析】【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC=5，
∴AC=10，
则在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=102+52=55 米.
故答案为： 55 .
【分析】坡度就是坡角的正切值，据此根据坡度结合BC的值可得AC的值，然后利用勾股定理求解即可.
8.某斜坡坡角 a 的正弦值 sina=12 ，则该斜坡的坡度为 ．
【答案】33
【解析】【解答】解：∵sina=12 ， sin30°=12 ，
∴a=30° ；
∴该斜坡的坡度为： tana=tan30°=33
故答案为： 33 ．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算求解即可。
9．如果一个直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为2cm和8cm，那么这个直角三角形较短的一条直角边的长是 cm．
【答案】25
【解析】【解答】解：如图，由题意得： ∠ACB=90°=∠CDB=∠CDA，BD=2，AD=8，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠ACD+∠CAD，
∴∠BCD=∠CAD，
∴tan∠BCD=tan∠CAD，
∴BDCD=CDAD，
∴CD=BD·AD=2×8=4，
∴BC=BD2+CD2=42+22=25.
所以较短的直角边为： 25 cm
故答案为： 25.
【分析】先求出∠BCD=∠CAD，再求出BDCD=CDAD，最后利用勾股定理计算求解即可。
三、解答题
10．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（ 3≈1.732 ，结果保留一位小数）.
【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m
在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD
在Rt△BDC中，由tan∠BCD= BDBC ，得 BC=3BD
又∵BC-AB=AC，∴3BD−BD=20 ，∴BD=203−1≈27.3(m)
答：该古塔BD的高度 27.3 m
【解析】【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.
【答案】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ 12 AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ AB2−AC2 ＝ 82−42 ＝4 3 .
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ∠B ，根据含 30° 角的直角三角形的性质求出 AC ，根据勾股定理求出 BC 即可.
12．（2021九上·莘县期中）如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，
设CD＝x，
则BD＝x，AD＝CD÷tan30°＝3x，
∵AB＝200，
∴x＋3x＝200，
∴x＝2003+1＝100(3－1)，
∴BC＝2x＝100(6－2)．
∵两船行驶4小时相遇，
∴可疑船只航行的平均速度＝100(6－2)÷4＝25(6－2)．
答：可疑船只航行的平均速度是每小时25(6－2)海里．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，设CD＝x，则BD＝x，AD＝3x，再根据AB＝200，可得x＋3x＝200，求出x的值，最后利用速度=路程÷时间计算即可。
四、综合题
13．（2021九上·莱芜期末）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，连接AC，BC．延长OC至点D，使∠CAD=∠B，过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，tan∠CAD=12，求⊙O半径的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵∠CAD=∠B
∴∠CAD+∠BAC=90°
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥OA
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵tan∠CAD=12=DMAD，AD=6
∴DM=3
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AD⊥OA，DM⊥AD
∴OA∥DM
∴∠M=∠OAC，
∵∠OCA=∠DCM
∴∠DCM=∠M
∴DC=DM=3，
在Rt△OAD中，OA2+AD2=OD2，即OA2+62=(OC+3)2=(OA+3)2
∴OA=92
∴⊙O半径长为92．
【解析】【分析】（1）利用圆的切线判定定理即可证明；
（2）先求出DM，然后证明DC=DM，在直角三角形OAD中，利用勾股定理可列关于半径的方程，解之即可。
14．如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cs25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cs∠ACB= BCAC ，
∴BC=AC•cs65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。（2）已知∠ACD度数，AC=5，在Rt△ADC中，只需选择∠ACD的正弦值代入即可求出。
15．图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= 35 ．
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC=55cm，求铁环钩MF的长度．
【答案】（1）解：过点M作MD⊥OA交OA于点D，
在Rt△ODM中，sinα= DMOM=35 ，
∴DM=15cm∴OD=20 cm，
∴AD=BM=5cm
（2）解：延长DM交CF于点E，
易得：∠FME=∠AOM=α，
∵ME=AC﹣DM=55﹣15=40cm，
∴csα= MEMF=45
∴MF=50cm．
【解析】【分析】（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因为sin∠MOA= 35 ，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN= 35 FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，， ，，.
④，h为斜边上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
题型1：解直角三角形
1.（2022•庆元县校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4．
（1）求∠B的度数；
（2）求AB的长．
【分析】（1）由∠A和∠B互余，即可计算；
（2）由∠A的余弦，即可求解．
【解答】解：（1）∠B＝90°﹣∠A＝30°；
（2）∵csA＝，
∴AB＝＝＝8．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．
【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（可以使用计算器）
（1）c＝8，∠A＝30°；
（2）b＝7，∠A＝15°；
（3）a＝5，b＝12．
【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质求解即可．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B，根据正切函数的定义求出a，再根据余弦函数的定义求出c即可．
（3）利用勾股定理求出c，再利用正切函数的定义求出∠A即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴a＝c＝4，∠B＝60°，
∴b＝a＝4．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠B＝90°﹣15°＝75°，
∵b＝7，
∴a＝btan15°＝7×0.27≈1.9，c＝＝≈7.2．
（3）∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c＝＝＝13，
∴tanA＝＝，
∴∠A≈22.6°，
∴∠B＝90°﹣22.6°＝67.4°
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-2】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解这个直角三角形．
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠A，利用直角三角形30度角性质求出BC，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝AB＝3，
∴AC＝＝＝3．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
解直角三角形的常见类型及解法
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
注意：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
题型2：解非直角三角形
2.（2022秋•嘉峪关校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则csA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：如图，
从图形可知：AE＝4，CE＝2，
由勾股定理得：AC＝＝2，
csA＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式2-1】（2022秋•临清市期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长．
【分析】由锐角的正弦，余弦定义即可求解．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵csC＝，
∴DC＝AC•csC，
∴DC＝12cs30°＝6，
∵∠C＝30°，
∴AD＝AC＝6，
∵sinB＝，
∴AB＝，
∴AB＝10，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴DB2＝102﹣62，
∴DB＝8，
∴BC＝DB+DC＝6+8．
【点评】本题考查锐角的正弦，余弦定义，关键是作出BC上的高AD，构造直角三角形．
【变式2-2】（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，csB．
【分析】过A作BC边上的垂线，根据三线合一性质，就可以求出AD的长，在直角△ABD中，利用三角函数定义求解．
【解答】解：作AD⊥BC与D，
∵AB＝AC＝13，D是BC的中点，即BD＝5，
∴AD＝＝12，
∴sinB＝＝，
csB＝＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
题型3：解直角三角形与面积问题
3.设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD＝AC•sinC＝bsinC，所以△ABC的面积等于absinC．
【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD＝AC•sinC＝bsinC，
△ABC的面积等于absinC．
故选：C．
【点评】此题考查的是解直角三角形，关键是作高得直角三角形求出高，则得出面积．
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，csC＝，AD是BC边上的高线．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由高的定义可得出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由AC的长及csC的值可求出CD的长，再利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）由∠B，∠ADB的度数可求出∠BAD的度数，进而可得出∠B＝∠BAD，利用等角对等边可得出BD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝5，csC＝，
∴CD＝AC•csC＝3，
∴AD＝＝4．
（2）∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝4，
∴S△ABC＝AD•BC＝×4×（4+3）＝14．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）通过解直角三角形及勾股定理，求出CD，AD的长；（2）利用等腰三角形的性质，找出BD的长．
【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四边形ABCD的面积．
【分析】过B作BE⊥CD，垂足为E，可判断出四边形ABED为矩形，得到矩形对边相等，在直角三角形BEC中，利用锐角三角函数定义得出BE与EC关系，再利用勾股定理求出BE与EC，进而求出DC的长，利用梯形面积公式求出四边形ABCD面积即可．
【解答】解：过B作BE⊥CD，垂足为E，
∵AB∥DC，∠D＝90°，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED为矩形，
∴AB＝DE，AD＝BE，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，BC＝，tanC＝，
∴＝，
设BE＝x，则有EC＝3x，
根据勾股定理得：x2+9x2＝10，
解得：x＝1，
∴BE＝1，EC＝3，即DC＝DE+EC＝AB+EC＝4+3＝7，
则S梯形ABCD＝×1×（4+7）＝5.5．
【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，矩形的判定与性质，勾股定理，以及梯形面积求法，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
题型4：解直角三角形与方案问题（选做）
4.如图，有一块梯形空地ABCD可供停车，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，现有一辆长4.9m，宽1.9m的汽车需要完全停入梯形区域，请你设计一种停车方案，并通过计算说明理由．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【分析】作AE⊥AB交CD于E，作EF⊥AE交BC于F，根据题意求出∠EFC＝53°和∠AED＝53°，根据锐角三角函数求出AE、EF的长，可以说明理由．
【解答】解：如图，作AE⊥AB交CD于E，作EF⊥AE交BC于F，
∵∠B＝53°，
∴∠EFC＝53°，∠AED＝53°，
在Rt△ADE中，∠AED＝53°，AD＝1.6，
∴AE＝1.6÷sin53°＝2，
DE＝1.6÷tan53°＝1.2，
CE＝CD﹣DE＝4，
在Rt△EFC中，∠EFC＝53°，EC＝4，
∴EF＝4÷sin53°＝5，
∴AE＞1.9，EF＞4.9．
【点评】本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及矩形的性质，要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
【变式4-1】为了解决停车难问题，交通部门准备沿12米宽60米长的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过，如下图设计方案1：车位长边与路边夹角为45°方案2：车位长边与路边夹角为30°
（1）请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？
（2）计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车？
（3）请你画示意图设计一个满足通行要求且停车更多的新方案，并计算出最多停放车辆数．
【分析】（1）根据正弦函数求得AB、AE的长，进而求得BE的长，即可判定方案是否能保证通行要求；
（2）根据正弦函数和余弦函数求得方案2中的MB的长，即可求得此方案中最多可以停多少辆车；
（3）如图所示新方案，根据车的宽度即可计算出最多停放车辆数．
【解答】解：（1）方案1：
如图，AB＝2.4×sin45°＝2.4×≈1.54米，
AE＝5×sin45°＝5×≈3.5米，
BE＝AB+AE≈5.04，
∵12﹣5.04＝＜7，
∴方案1不能保证通行要求；
方案2：
AB＝2.4×cs30°＝2.4×≈2.1米，
AE＝5×sin30°＝5×＝2.5米，
BE＝AB+AE＝2.1+2.5＝4.6，
∵12﹣4.6＝7.4＞7，
∴方案2能保证通行要求；
（2）BC＝2.4×sin30°＝2.4×＝1.2米，
MC＝5×cs30°＝5×≈4.3米，
MB＝BC+MC＝1.2+4.3＝5.5，
60÷5.5＝10.9（辆）．
故方案2中最多可以停10辆车．
（3）新方案如图：
60÷2.4＝25（辆）．
故这个方案最多可以停放25辆车．
【点评】本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及矩形的性质．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
【变式4-2】如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30m．
（1）求河的宽度；（即求△ABC中BC边上的高）
（2）请再设计一种测量河的宽度的方案．（≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）利用锐角三角函数关系设AD＝x，则BD＝x，进而求出即可；
（2）可以利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝45°，
则AD＝CD，
设AD＝x，则BD＝x，
故x+x＝30，
解得：x＝45﹣15≈19，
答：河的宽度为19米；
（2）如图，在河对岸找一点F，在河边找到一点A，满足AF与河垂直，
画一平行于河的线段AB，使∠B＝90°，
找到DF与AB的交点C，则Rt△BCD∽Rt△ACF，有BC：AC＝BD：AF，
∴AF＝，
测出DB，AC，BC，即可求得河宽AF的值．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的应用，正确利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
题型5：解直角三角形与综合
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sinB＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵，
∴，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠AOC＝2∠CAD，
∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，
∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，
∴∠CAO+∠CAD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠BAC＝∠B，
∴OC⊥AB，BE＝AE，
在Rt△BEC中，
∵BC＝4，
∴sinB＝＝＝，
∴CE＝，
∴BE＝＝＝，
设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，
r2＝（r﹣）2+，
解得：r＝．
【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
【变式5-1】（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；
（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即＝，
∴EC＝，
∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π
＝，
答：AC＝3，阴影部分的面积为．
【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
【变式5-2】（2022·岚山模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且AC=BC，∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，过E作AD的垂线，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EC，交AB于点G，若已知AB=5，sin∠EAC=45，求CG的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠OAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEA=∠DAE，
∴AD∥OE，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥OE，
∴EF为圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接OC，过点O作OH⊥CE于H，
∴∠COE=2∠CAE，
∵OC=OE，
∴∠COH=12∠COE=∠CAE，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OGC+∠OCG=90°，
又∵∠OCG+∠COH=90°，
∴∠OGH=∠COH，
∴CG=OCsin∠CGO=258．
【解析】【分析】（1）连接OE，先证明AD//OE，再结合EF⊥AD，可得EF⊥OE，即可得到EF为圆O的切线；
（2）连接OC，过点O作OH⊥CE于H，先利用等角的余角相等可得∠OGH=∠COH，再利用锐角三角函数可得CG=OCsin∠CGO=258。
题型6：解直角三角形与新定义
6.通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化. 类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）. 如下图在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=BC/AC. 我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60º=_____________；sad90º=________________。
（2）对于0°