专题28 已知k求面积-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题28 已知k求面积 1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，则的面积等于（    ）A．1.5 B．2 C．3 D．6.5【答案】A【分析】延长BA与y轴交于点C，根据反比例函数k的几何意义可得：，根据即可求解．【详解】解：如图，延长BA与y轴交于点C，根据反比例函数k的几何意义可得：，所以=1.5．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．2．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）两个反比例函数和在第一象限内的图像如图所示，点在的图像上，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点，轴于点，当点在图像上运动时，以下结论：①与始终平行；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④的面积等于四边形的面积．其中一定正确的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①正确，只要证明 即可；②错误；只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；③正确；由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；④正确．只要证明△OBA的面积=矩形OCPD的面积- S∆ODB- S△BAP - S∆AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S∆ODB一S△BAP - S∆OBE即可．【详解】①正确；∵A，B在上，∴S∆AOC=S∆BOE∴OC∙AC=OE∙BE，∴OC∙AC= OE∙BE，∴OC= PD， BE= PC，∴PD∙AC= DB∙PC，∴ ∴AB//CD．故此选项正确．②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确．正确，∵△ODB的面积= ∆OCA的面积=，∴△ODB与∆OCA的面积相等，同理可得:S∆ODB= S∆OBE ，∵∆OBA的面积=矩形OCPD的面积-S∆ODB- S∆BAP- S∆AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S∆ODB- S∆BAP- S∆OBE ．∴∆OBA的面积=四边形ACEB的面积，故此选项正确，故一定正确的是①③④故选：C【点睛】本题考查反比例函数k是几何意义、矩形的性质、平行线的判定等知识，本题综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题．3．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（    ）A． B．3 C．6 D．12【答案】C【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【详解】解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴，∴ADOB，∴，∴，过点B作BE⊥OA于点E，则，∵点B在反比例函数的图象上，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键．4．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是斜边AB的中点，点A、E均在反比例函数上，AE延长线交x轴于点D，，．则的面积为（    ）A．18 B．12 C．9 D．24【答案】A【分析】连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，根据．可得，，再根据反比函数比例系数的几何意义可得，从而得到OF=2OG，进而得到，可得到，再证明OC∥AD，即可求解．【详解】解：如图，连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，∵．∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，∴，，∵点A、E均在反比例函数上，∴，即，∴OF=2OG，∴OD=3OG，∴，∴，∴，∴，∵O是斜边AB的中点，∴OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠AOC=2∠ABC，∵∠BAD=2∠ABC，∴∠AOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴．故选：A【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC∥AD，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．（2020春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=A2019A2020，过点A1、A2、A3、…、A2019、A2020分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像依次相交于P1、P2、P3、…P2019、P2020，得到直角三角形OP1A1、A1P1A2、…、A2019P2020A2020，并设其面积分别为S1、S2、…、S2020，则S2020的值为（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设OA1=A1A2=A2A3=…=A2019A2020=t，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后根据三角形面积公式可计算出S2020．【详解】解：设OA1=A1A2=A2A3=…=A2019A2020=t，且P1，P2，P3，…，P2020均在反比例函数上，则，∴，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．6．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．【答案】【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【详解】解：如图，过作轴于，交于．轴， ，是等腰直角三角形，，设，则，设，则，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．7．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．【答案】2.1【分析】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，根据MB∥x轴，MC∥y轴，得到MB⊥y轴，MC⊥x轴，得到∠MEO=∠MDO=90°，根据∠EOD=90°，推出四边形EODM是矩形，设，推出，，得到=2.1．【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，∵MB∥x轴，MC∥y轴，∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，∴∠MEO=∠MDO=90°，∵∠EOD=90°，∴四边形EODM是矩形，设，则，，∴=2.1．故答案为：2.1．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，k的几何意义．8．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______．【答案】①④【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．【详解】①如图，过点作轴于点，∴，∵轴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵点在函数图像上，点在函数图像上，设，则，∴，又∵点的坐标是，在中，，当时，，，此时，，∴四边形可能是菱形，∴①符合题意；②由①得，当时，，，∴，此时，∵点的坐标是，∴轴，∴，由①知，四边形是平行四边形，∴当时，四边形是矩形，但，∴四边形不为正方形，∴②不符合题意；③由①得，当点的横坐标为时，，，∴四边形的周长为：，当点的横坐标为时，，则，∴，，∴四边形的周长为：，∴四边形的周长不为定值，∴③不符合题意；④如图，过点作轴于点，又∵，∴∵轴，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，∴四边形的面积为定值，∴④符合题意．故答案为：①④．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征．9．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点A是反比例函数上的一点，过点A作轴，垂足为点C，交反比例函数的图象于点B，点P是x轴上的动点，则的面积为________．【答案】2【分析】利用AC⊥y轴,根据三角形的面积公式以及反比例函数数比例系数k的几何意义进行计算即可【详解】解：如图，连接OA、OB、PC∵AC⊥y轴∵=3∴S△PAB=S△APC- S△BPC=2故答案为：【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是关键10．如图曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于_____．【答案】8【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题.【详解】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y＝过点P作PB⊥y轴于点B∵PA＝PO∴B为OA中点．∴S△PAB＝S△POB由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝4∴△POA的面积是8故答案为8．【点睛】此题主要考查反比例函数系数k的几何意义：①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是,且保持不变．11．反比例函数，在同一直角坐标系中的图象如图所示，则的面积为_____．(用含有、代数式表示)【答案】【详解】【分析】设A（m，n），则有mn=k1，再根据矩形的性质可求得点N（，n），点M（m，），继而可得AN=m-，AM=n-，再根据三角形面积公式即可得答案.【详解】如图，设A（m，n），则有mn=k1，由图可知点N坐标为（，n），点M（m，），∴AN=m-，AM=n-，∴S△AMN=AM•AN====，故答案为.【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、三角形面积的计算，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.12．反比例函数（x>0）的图象与正比例函数的图象交于第一象限内的点A，以OA为边作菱形ABCO，C在X轴上，BC交双曲线于点D，则 =____________．【答案】10【详解】分析：根据反比例函数和正比例函数的交点在第一象限求出A点的坐标，然后过A分别作AM⊥y轴，AN⊥x轴，根据勾股定理求出OA的长，最后根据菱形的面积求解即可.详解：过A分别作AM⊥y轴，AN⊥x轴，根据题意可得=，解得x=±3又因交点A在第一象限所以x=3所以A点的坐标为（3，4）根据勾股定理可得OA=5所以OC=OA=5所以菱形的积为：5×4=20即△OAD的面积为20÷2=10.故答案为10.点睛：此题主要考查了反比例函数和几何图形的面积，关键是根据交点的坐标求出菱形的边长，利用三角形的面积等于菱形的面积的一半即能解答.13．（2020春·江苏苏州·八年级校联考期中）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是__ ． 【答案】①②④．【详解】①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为 ．②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB．④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．正确，当点A是PC的中点时，k=2，则此时点B也一定是PD的中点．故一定正确的是①②④14．（2021春·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为____．【答案】．【详解】∵点A、B在反比例函数（x＞0）的图象上，设点B的坐标为（，m），∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，∴点A的坐标为（，2m）．∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数（x＞0）的图象上，∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m），∴S梯形ABED==．故答案为．15．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）点P，Q，R在反比例函数y（常数k＞0，x＞0）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为．若OE=ED=DC，，则S的值为_____．【答案】10【分析】根据OE=ED=DC以及反比例函数系数k的几何意义得到=，，列方程即可得到结论．【详解】解：∵OE=ED=DC，∴=，，∴，，∴，∴k=30，∴S．故答案为：10．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．16．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和的图象分别是和．设点在上，轴，垂足为，交于点，轴，垂足为，交于点，则的面积为__________．【答案】【分析】设P的坐标是(a,)，推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：∵点P在y=上，∴|xp|×|yp|=|k|=1，∴设P的坐标是(a,)(a为正数)，∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=-上，∴A的坐标是(a,-)，∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y=-上，∴代入得：=-，解得：x=-2a，∴B的坐标是(-2a,)，∴PA=|-(-)|=，PB=|a-(-2a)|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB=××3a=，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．17．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为________．【答案】7【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】连接OA、OB，轴，和同底边AB，，，反比例函数和的图象交于点和点，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键．18．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）如图，B、C分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点C作BC的垂线交于y轴于点A，则的面积为______．【答案】4【分析】过点B作BD⊥x轴于D，设BC交x轴于点E，则四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形DACB与△ABC的面积关系即可求得结果．【详解】过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，∵轴，BC⊥AC，∴AC⊥y轴，即∠BDA=∠DAC=∠BCA=∠DOE=∠AOE=∠OEB=90°，∴四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义知：，，∴，∵，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键．19．（2021春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于A、B两点，过点A作轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为______．【答案】3【分析】如图，连接OC，设AC交y轴于点E，根据反比例函数k的几何意义求出的面积，再利用反比例函数关于原点对称的性质，推出OA=OB即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC，设AC交y轴于点E，轴于E，，，A、B关于原点对称，，，故答案为：3．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟知反比例函数k的几何意义．20．（2020春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．【答案】2【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝221．（2020春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____．【答案】1．【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1．22．平面直角坐标系xOy中，已知函数（x＞0）与（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数（x＞0）图象上的两点，点P是（x＜0）的图象上的一点，且轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．(1)求△APQ的面积；(2)若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】(1)S=4；(2)；(3)mn=4；【分析】（1）由点A的横坐标为m，则A（m，），P(m，)，过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP交AP轴于点R，可得出S矩形PMNA＝8，由四边形PMQR和四边形ARQN是矩形可得：S△PQM＝S△PRQ，S△ANQ＝S△ARQ，所以S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA；(2)分情况讨论，当PQx轴时，求得，当PQ＝AQ时；(3)由OA＝OB，然后列出等式，即可解得mn=4；【详解】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，轴,且点P在函数上，∴点A（m， ）,点P（－m，）,∴MN=m(m)=2m，PM=，∴S矩形PMNA＝=8，∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ，S△ANQ＝S△ARQ，∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4；（2）解：∵△APQ是等腰直角三角形，∴①当∠APQ=90°时，∴PQ⊥x轴，∴PQ=，∵AP=2m，∵AP=PQ，∴2m=，∴m=（舍）或m=，∴P（，2），∴Q（，0）；②当∠PAQ=90°，∴AQ⊥x轴，∴AQ=，∵AP=2m，∵AP=PQ，∴2m=，∴m=（舍）或m=，∴A（，2），∴Q（，0）；③当∠AQP=90°时，AQ=PQ，∵AP∥x轴，∴点Q是AP的垂直平分线上，∵函数y1与y2关于y轴对称，∴点Q（0，0），此时，，即m=2（舍）或m=2，综上所述，满足条件的点Q为（，0），（0，0），（，0）；（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m，），B(n，)，∴ ∴解得：mn=4；【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是表示出AP，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是利用等腰三角形的两腰建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．