初中数学苏科版八年级下册第11章 反比例函数综合与测试导学案

反比例函数与几何综合

知识点一  k的几何意义

1、过反比例函数（）图象上一点作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成一个矩形，矩形的面积.

如图：，，，是反比例函数（）上任意四点，以，两点分别构造矩形，；以，两点分别构造和，则一定有：
（1）；

（2）.
 

2、k与四边形结合的有关结论

（1），为反比例函数上任意不重合两点，连接，，过，分别作轴，轴于点，，则．

 

（2）当反比例函数过矩形对角线交点时，则.

（3）点为反比例函数上一点，分别向，轴作垂线，交反比例函数于点，，交轴、轴于点，，则有以下结论：

①；
②；

③．

注意：

在平面直角坐标系中求图形面积时，如果不能直接利用面积公式求解，常结合反比例函数中k的几何意义，用割补法进行求解.

典例1如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

典例2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上．若平行四边形的面积为8，则的值为　　

A．4 B．8 C．12 D．16

典例3如图，已知点、都在反比例函数的图象上．

（1）求和的值；

（2）以为一边在第一象限内作，若点的横坐标为8，且的面积为10，求点的坐标．

知识点二  反比例函数与四边形的存在性  

平行四边形的存在性

如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点，如图，

典例1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

巩固训练

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．3

2．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的面积为8，点在轴上，点在反比例函数的图象上，则的值为　　

A． B． C． D．4

4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是　　

A． B．4 C．6 D．

5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图象经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是　　

A．， B．， C．， D．，

6．如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，．，若反比例函数的图象经过、两点，则的值是　　

A． B． C． D．

二、填空题

7．如图，点在函数的图象上，过点作轴于点，则的面积为　　．

8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第一象限，交轴于点，且，反比例函数的图象经过点，若的面积为3，则的值为　　．

9．如图，的顶点、在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限，反比例函数的分支过点，若的面积为3，则　　．

10．如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为　　．

11．如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，，，，分别过点，，，，，作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，，，则　      　．（用含的代数式表示）

三、解答题

12．如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，

（1）若点坐标是，反比例函数的图象过点．求的值．

（2）若反比例函数的图象过点，，且的面积为8，求的面积．

13．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点和是反比例函数图象上任意两点，且满足时，求的值．

（3）若点，和，在直线（不与、重合）上，过、两点分别作轴的平行线交双曲线于、，已知，，当时，判断四边形的形状．并说明理由．

14．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点（点在第一象限）．

（1）当点的横坐标为2时，求的值；

（2）若，点为轴正半轴上一点，，

①求的面积；

②以、、、为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点的坐标．

15．如图1，在平行四边形中，轴，，原点是对角线的中点，顶点的坐标为，反比例函数在第一象限的图象过四边形的顶点．

（1）点坐标为　　，　　．

（2）①平行四边形的顶点是否在反比例函数的图象上？为什么？

②如图2，连接并延长，设直线解析式为，根据图象直接写出不等式的的取值范围；

（3）是否存在两点、分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形是菱形？若存在，求出、两点的坐标．