人教版2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破 3.1 从算式到方程

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3.1 从算式到方程考点一：一元一次方程1、方程是含有未知数的等式。2、方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。注意：判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；2）化简后方程中只含有一个未知数；3）经整理后方程中未知数的次数是1.3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。考点二：等式和等式的性质 1）等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质2时，一定要注意0这个数.题型一：判断是否为方程1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　 ）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤2．在①；②；③；④中，方程共有（    ）A．1个 B．3个 C．2个 D．4个3．下列各式中，不是方程的是（    ）A． B． C． D．题型二：一元一次方程的定义4．下列方程中，一元一次方程共有（    ）个①；②；③； ④；⑤；⑥A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列方程是一元一次方程的是（     ）A． B． C． D．6．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（    ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个题型三：方程的解7．下列方程的解为的是（    ）A． B．C． D．8．已知x＝2是方程3x﹣5＝2x+m的解，则m的值是（　　）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣39．已知关于x的方程的解是，则a的值是（    ）A． B． C．1 D．2题型四：等式的性质10．下列等式的变形正确的是（  ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三果天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（    ）A． B． C． D．12．下列等式变形中，结果不正确的是（    ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么一、单选题13．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足的条件是（    ）A． B．C． D．15．下列运用等式性质变形正确的是（    ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么16．如果m＝n，那么下列等式不一定成立的是（　　）A．m﹣3＝n﹣3 B．2m+3＝3n+2 C．5+m＝5+n D．17．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，则下列所列方程正确的是（   ）A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝(5﹣x)(3﹣x) C．y＝3x+5x D．y＝(5﹣x)(3﹣x)+5x218．下面各式的变形正确（  ）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得19．下列方程中，一元一次方程共有（    ）个①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝；④＋＝0；  ⑤；⑥x﹣1＝12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20．已知2a＝b＋5，则下列等式中不一定成立的是（    ）A．2a－5＝b B．2a＋1＝b＋6 C．a＝ D．6a＝3b＋521．只列方程，不解方程(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？22．若是关于x的一元一次方程，求的值．一：选择题23．、、为有理数，下列变形不正确的是（   ）A．如果，那么； B．如果，那么；C．如果，那么； D．如果，那么．24．已知x＝3是关于x的方程x﹣a＝2的解，则a的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．525．下列等式变形，正确的是（      ）A．若5x=7-4x，则5x-4x=7 B．若7x=2，则x=3.5C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9 D．若，则2(3x-2)=x+2-6．26．下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（    ）A．如果，那么 B．如果，那么． C．如果，那么 D．如果，那么二、填空题27．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为___________．28．已知 是方程的解，则＝________.29．若，且，则______．30．四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．31．已知，则代数式的值为_________．32．己知方程，且含的式子表示________．33．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．三、解答题34．根据下列条件列方程．(1)m的2倍与m的相反数的和是5；(2)半径为r的圆的面积是235．已知方程是关于x的一元一次方程．(1)求代数式的值；(2)求关于y的方程的解．36．已知关于x的方程的解是x=3，其中，求代数式的值．37．已知：，(1)求(2)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值(3)若关于的方程无解，有无数解，求的值x﹣2﹣1012mx+n﹣12﹣8﹣4041．C【分析】根据方程的定义即可一一判定．【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知数，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故选：C．【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．2．C【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．【详解】解：方程有③；④，故选：C．【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．3．B【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．【详解】解：根据方程的定义可得：A、C、D选项均为方程，选项B不是等式，所以不是方程，故选：B．【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．4．C【分析】根据一元一次方程的定义进行解答即可．【详解】解：①，是一元一次方程，符合题意；②，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；③，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；④，是一元一次方程，符合题意；⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；⑥，是一元一次方程，符合题意．综合上分析可得，是一元一次方程的是：①④⑥，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．5．A【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；B、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，不符合题意；C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．6．C【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次是次的整式方程是一元一次方程；逐个进行判断即可．【详解】解：下列方程：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③是一元一次方程；④是一元一次方程；⑤，含有不等号，不是一元一次方程；⑥，未知数的最高次不是次，不是一元一次方程；⑦，是一元一次方程；其中一元一次方程有③④⑦，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．7．C【分析】根据一元一次方程解的定义，逐项验证即可．【详解】解：A．把代入得到左边，右边，左边不等于右边，故选项不符合题意；B．把代入得到左边，左边不等于右边，故选项不符合题意；C．把代入得到左边，左边等于右边，故选项符合题意；D．把代入得到左边，左边不等于右边，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．8．D【分析】把x＝2代入方程3x﹣5＝2x+m可得到关于m的方程，解方程可求得m的值．【详解】解：∵x＝2是方程3x﹣5＝2x+m的解，∴把x＝2代入方程可得6﹣5＝4+m，解得m＝﹣3，故选：D．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．9．C【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【详解】解：根据题意得：，解得：a=1，故选：C．【点睛】本题主要考查了方程解的定义，掌握将方程的解代入原方程是解题的关键．10．A【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．【详解】解：A、若，则，变形正确，符合题意；B、若，则，变形错误，不符合题意；C、若，当时，不成立，变形错误，不符合题意；D、若，当，不一定成立，变形错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为0的数等式仍然成立．11．D【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案．【详解】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，∴得，∴，∴，∴，故选D ．【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键．．12．A【分析】根据等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【详解】解：A、如果，当时，那么，该选项符合题意；B、如果，那么，该选项不符合题意；C、如果，那么，该选项不符合题意；D、如果，等式两边都加2b，那么，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．13．B【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可得出答案．【详解】解：A、根据等式性质1，两边同时加5得；B、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到；C、根据等式性质2，等式两边同时乘以应得；D、根据等式性质2，时，等式两边同时除以a，才可以得．故选：B．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．14．C【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a、b是常数，且），根据一元一次方程的定义求出答案．【详解】解：根据题题意得：，解得：．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1，一次项系数不是0，这是此类题目考查的重点．15．D【分析】根据等式的基本性质进行判断即可．【详解】解：A、如果，那么，故A错误，不符合题意；B、如果，那么，故B错误，不符合题意；C、如果，那么，当时，0不可以作分母，故C错误，不符合题意；D、如果，那么，正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．等式的性质一：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式的性质二：等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式仍然成立．16．B【分析】根据等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．∵m＝n，∴m﹣3＝n﹣3，等式成立，故本选项不符合题意；B．∵m＝n，∴2m＝2n，∴2m+3＝2n+3，不能推出2m+3＝3n+2，故本选项符合题意；C．∵m＝n，∴5+m＝5+n，等式成立，故本选项不符合题意；D．∵m＝n，∴，等式成立，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．17．B【分析】设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，根据题意列出方程解答即可．【详解】解：设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，根据题意可得：y=（5-x）（3-x），故选：B．【点睛】此题考查列方程，关键是根据面积公式得出方程解答．18．A【分析】根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由，得，原变形正确，故此选项符合题意；B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．19．C【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意；②3x﹣4y，不是等式，更不是一元一次方程，不合题意；③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；④+=0，是一元一次方程，符合题意；⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．一元一次方程有：①④⑥，共有三个.故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．20．D【分析】根据等式的基本性质，逐项分析判定即可求解．【详解】解：A．等式两边同时减去5即可得到，故A正确，不符合题意；B．等式两边同时加上1即可得到，故B 正确，不符合题意；C．等式两边同时除以2即可得到，故C正确，不符合题意； D．等式两边同时乘以3即得到，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等号不变；等式两边同时乘以或除以(非0)的同一个数或式子，等号不变．21．(1)(2)【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．（1）解：设这个班女生有人，由题意列方程为．（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，由题意列方程为．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．22．【分析】先化简代数式，再由是关于的一元一次方程，所以且，求得的值，代入所化简后的代数式即可求得．【详解】解： ；根据题意得，且，解得，把，代入化简后的代数式得， ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为的方程，掌握一元一次方程的定义是解决问题的关键．23．D【分析】根据等式的基本性质，即等式两边同时加上、减去、乘以、除以（除数不为0）同一个整式，等式仍然成立分别判断即可．【详解】A.如果a＝b，那么a＋2＝b＋2，故A正确，不符合题意；B.如果，那么，故B正确，不符合题意；C.如果a＝b，那么，故C正确，不符合题意；D.如果a＝b，那么，当c为0时不成立，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．24．A【分析】将代入方程，得到关于a的方程，解关于a的方程即可得到答案．【详解】解：将代入方程得：，得，解得：．故选：A．【点睛】本题主要考查了方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解可以将解代入方程求出其他未知数的值．25．D【分析】根据等式的性质逐一判断即可．【详解】解：A、若5x=7-4x，则5x+4x=7，故该选项不符合题意；B、若7x=2，则x=，故该选项不符合题意；C、若x-3（4x-1）=9，则x-12x+3=9，故该选项不符合题意；D、若，则2（3x-2）=x+2-6，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．26．C【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意；B.如果，那么，本选项错误，不符合题意；C.如果，那么，选项正确，符合题意；D.如果，那么，本选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．27．【分析】根据一元一次方程的特点求出的值．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（是常数且），高于一次的项系数是．【详解】解：由一元一次方程的特点得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不为0，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．28．【分析】将代入求得a的值，再将a值代入代数式计算即可．【详解】∵是方程的解，∴．解得：．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用一元一次方程解的意义将代入是解题的关键．29．【分析】两式相加得，即可求解．【详解】解：∵①，且②，①+②得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．30．     w     z【分析】根据已知等式，分别求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用这些值与0比较大小，即可求得z＞x＞y＞w．【详解】解：由x﹣2021＝y+2022＝z﹣2023＝w+2024，得x﹣y＝2021+2022＝4043＞0，∴x＞y，①x﹣z＝2021﹣2023＝﹣2＜0，∴z＞x，②y﹣w＝2024﹣2022＝2＞0，∴y＞w，③由①②③，得z＞x＞y＞w；∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；故答案为：w；z．【点睛】本题考查等式的性质，根据等式的性质，移项得到x﹣y、x﹣z、y﹣w的值是解题的关键．31．4【分析】等式两边都除以2，得到，从而得到原式．【详解】解：∵，∴，∴原式．故答案为：4．【点睛】本题考查了等式的性质，代数式求值，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．32．【分析】要把方程写成用含x的式子表示y的形式，把2x+1移到方程右边即可，再把y的系数化为1即可．【详解】解：-3y=-2x-1y=，故答案为：．【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．33．-1【分析】理解代数式的值是由x确定的，计算的时候把m,n当常数处理，将等式变形后，结合表格的数据即可解题.【详解】﹣mx﹣n＝8变形为：mx+n=-8，查表可得：x=-1【点睛】本题考查方程解的概念，当方程里面有多个字母时，要明确未知数是哪个字母，这是解题关键．34．(1)(2)【分析】（1）先根据题意列出方程即可；（2）根据圆的面积公式列出方程即可．（1）解：由题意得：．（2）解：由题意得：．【点睛】本题主要考查了列方程，认真审题、明确等量关系是解答本题的关键．35．(1)-2；(2)y＝2或y＝−6．【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到且−（m＋1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；（2）方程化为，根据绝对值的意义得到y＋2＝4或y＋2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴且−（m＋1）≠0，∴m＝1，原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4，∵，当x＝4时，原式＝；（2）方程化为，∴y＋2＝4或y＋2＝−4，∴y＝2或y＝−6．【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．36．15【分析】根据方程的解的定义可将x=3代入，即可求出a和b的关系式，再代入中，求值即可．【详解】解：将x=3代入，得：，整理得：．将代入，得：．【点睛】本题考查方程的解的定义，代数式求值．掌握使等式成立的未知数的值，称为方程的解是解答本题的关键．37．(1)(2)b=2(3)1【分析】（1）把相应式子代入，先去括号、合并同类项化简即可；（2）根据当a取任何数值，A-2B的值是一个定值得出a的系数为0，列出方程即可；（3）根据方程解得情况求出a、b的值，代入计算即可．(1)；(2)=a（b-2）+1，∵无论取任何数值，它的值是一个定值，∴b-2=0，即b=2．(3)∵关于的方程无解，有无数解∴∴∴