专题54 一次函数中的45°角问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 ．
【变1-2】．如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为 ．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与x轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（ ）
A．y＝3x﹣2B．y＝x﹣2C．y＝x﹣2D．y＝﹣x﹣2
【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）填空：b＝ ；
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．

1．如图，直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若∠ABO+∠ACO＝45°，则点C的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣x+3．点C是AO上一点且OC＝1，点D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是 ．
4．如图，直线y＝4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y＝﹣x+4交x轴于点C，点P为线段BC上一点，∠PAB＝45°，求点P的坐标．
5．如图，正比例函数y＝kx经过点A，点A在第二象限，过点A作AC⊥y轴于点C，AC＝2，且△AOC的面积为5．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若直线y＝ax上有一点B满足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．
（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．
7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．
（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为 ；
（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；
（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8．直角坐标系中，点A的坐标为（9，4），AB⊥x轴于点B，AC垂直y轴于点C，点D为x轴上的一个动点，若CD＝2．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）翻折四边形ACOB，使点C与点D重合，直接写出折痕所在直线的解析式；
（3）在线段AB上找点E使∠DCE＝45°．
①直接写出点E的坐标；
②点M在线段AC上，点N在线段CE上，直接写出当△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形时点M的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE．
（1）直接写出E点的坐标；
（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；
（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．
（1）如图1，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．
11．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA
模型应用：如图2，已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2．
（1）在直线l2上求点C，使△ABC为直角三角形；
（2）求l2的函数解析式；
（3）在直线l1、l2分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写出点Q的坐标．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M作直线AB，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B（0，m）．
（1）如图1，当m＝﹣6时．
i）求直线AB的函数表达式；
ii）过点A作y轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求满足条件的点N的坐标．
（2）如图2，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后，交x轴正半轴于点C，过点C作CD⊥BC，交直线AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变化，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线y＝3交于点C，点D为直线y＝3上点C右侧的一点．
（1）如图1，若△ACD的面积为6，则点D的坐标为 ；
（2）如图2，当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AD上一点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
14．（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．
15．【模型建立】：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】：（2）如图②，已知直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；
（3）如图③，平面直角坐标系内有一点B（﹣4，﹣6），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．