专题52 一次函数背景下的将军饮马问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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方法点拨
一、求线段之和的最小值
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：


（2）点A、B在直线同侧：


A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：


（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

例题精讲
【例1】．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 ．
变式训练
【变1-1】．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，）
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 ．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点B坐标为（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上，则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是 ．
变式训练
【变2-1】．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是（ ）
A．4B．10C．4D．12
【变2-2】．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P ，使PA+PB最小．

1．如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．E（﹣，），F（0，2）B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．E（﹣，），F（0，）D．E（﹣2，2），F（0，）
2．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是 ．
4．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 ．
5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 P（ ， ） ．
6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为 ．
7．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．
8．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小．
9．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）在x轴上求作一点M，使BM+CM的和最小，直接写出M的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝x交于点A，点M是y轴上的一个动点，设M（0，m）．
（1）若MA+MB的值最小，求m的值；
（2）若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，请求出m的值，并说明理由．
11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的周长的最小值；
（3）若D（3，4），连接AD、CD，是否存在点C，使得△ACD的面积与6？若存在，求出点C，若不存在，说明理由．
12．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC＝90°．
（1）分别求点A、C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．
13．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求：
（1）求一次函数的表达式；
（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，
（1）求点C的坐标；
（2）连接AM，求△AMB的面积；
（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），AB⊥x轴，且AB＝10，点C（0，b），a，b满足b＝++15．点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）．
（1）当t＝5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n＝10，且正数p＝+，则正数p的最小值＝ ．