华东师大版八年级数学下册举一反三专题特训专题21.2期中期末专项复习之函数及其图象二十二大必考点(原卷版+解析)

这是一份华东师大版八年级数学下册举一反三专题特训专题21.2期中期末专项复习之函数及其图象二十二大必考点(原卷版+解析)，共114页。

专题21.2 函数及其图象二十二大必考点【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24911" 【考点1 坐标系中点的坐标特征】  PAGEREF _Toc24911 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23729" 【考点2 确定坐标系求坐标】  PAGEREF _Toc23729 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc8378" 【考点3 坐标系中的新定义】  PAGEREF _Toc8378 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc13768" 【考点4 点的坐标与规律探究】  PAGEREF _Toc13768 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2068" 【考点5 坐标系中的平移问题】  PAGEREF _Toc2068 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc32251" 【考点6 坐标与图形】  PAGEREF _Toc32251 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12883" 【考点7 判断一次函数的图像】  PAGEREF _Toc12883 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc32218" 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征的运用】  PAGEREF _Toc32218 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc8582" 【考点9 一次函数性质的运用】  PAGEREF _Toc8582 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc9193" 【考点10 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】  PAGEREF _Toc9193 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc5109" 【考点11 一次函数的平移】  PAGEREF _Toc5109 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc24548" 【考点12 确定一次函数解析式】  PAGEREF _Toc24548 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc25296" 【考点13 一次函数性质的实际应用】  PAGEREF _Toc25296 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc13583" 【考点14 一次函数图像的实际运用】  PAGEREF _Toc13583 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc16317" 【考点15 一次函数与方程】  PAGEREF _Toc16317 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc9250" 【考点16 一次函数与不等式】  PAGEREF _Toc9250 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc3985" 【考点17 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】  PAGEREF _Toc3985 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc20892" 【考点18 反比例函数性质的运用】  PAGEREF _Toc20892 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc21479" 【考点19 反比例函数中k的几何意义】  PAGEREF _Toc21479 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc13169" 【考点20 反比例函数与一次函数图象的综合判断】  PAGEREF _Toc13169 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc25218" 【考点21 反比例函数与一次函数图象的交点问题】  PAGEREF _Toc25218 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【考点22 反比例函数与一次函数图象的实际应用】  PAGEREF _Toc10615 \h 27【考点1 坐标系中点的坐标特征】【例1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．【答案】−6,2或−2,2##−2,2或−6,2【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在(     )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式1-2】（2022·河南周口·七年级期末）点Pa,1−3a是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是_______．【变式1-3】（2022·河南新乡·八年级期中）现给出如下各点：A0,4，B−4,1，C−2,−3，D2,−3，E4,1．(1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．(2)观察（1）中得到的图形：①直接写出点C到x轴的距离；②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．【考点2 确定坐标系求坐标】【例2】（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）如图，某棋盘每小格边长为单位“1”，建立平面直角坐标系后，使“将”的坐标为（0，-2），则“炮”所在位置的坐标是（       ）A．（-3，2） B．（3，-2） C．（2，-3） D．（2，-2）【变式2-1】（2022·河北·广平县第二中学八年级阶段练习）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是（2，3）．” 丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是（-3，-2）．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是（      ）A．（-3，-2），（2，-3） B．（-3，2），（3，2）C．（-2，-3），（3，2） D．（-2，-3），（-3，-2）【变式2-2】（2022·浙江台州·一模）如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为a,b、c,d、a+c,b+d，则下列判断错误的是（    ）A．a<0 B．b=2d C．a+c=b+d D．a+b+d=c【变式2-3】（2022·福建·福州现代中学七年级期中）在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了A（3，2）和B点的坐标分别为（﹣3，2），则宝藏的坐标P（5，5）在哪里？请利用刻度尺在图中标出．（作图过程要保留痕迹，允许存在合理误差）【考点3 坐标系中的新定义】【例3】（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．【变式3-1】（2022·山东·昌乐县教学研究室七年级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：如图，点P1−1,2，P21,2，P31,3的“最佳间距”是1．(1)理解：点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是______；(2)探究：已知点O0,0，A−4,0，B−4,yy≠0．①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；(3)迁移：当点O0,0，Em,0，Pm,−2m+1的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______．【变式3-2】（2022·福建龙岩·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P(1，2)与点Q(−2，3)到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．(1)已知点A的坐标为3，−6，在点B(−4，1)．C−3，7．D2，−5中，与点A互为等差点的是_________________．(2)若点M−2，4与点N1，n+1互为“等差点”，求点N的坐标．【变式3-3】（2022·北京大兴·七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，定义点P的“MAX轴距”Z(P)为： Z(P)=|x|,当|x|≥|y|时|y|,当|x|<|y|时．例如，点A(3,5)，因为|5|>|3|，所以点A的“MAX轴距”Z(A)=|5|=5．(1)点B12,12的“MAX轴距”Z(B)=_____________；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)=_____________；(2)已知直线l经过点(0,1)，且垂直于y轴，点D在直线l上．①若点D的“MAX轴距”Z(D)=2，求点D的坐标；②请你找到一点D，使得点D的“MAX轴距”Z(D)=1，则D点的坐标可以是_____________（写出一个即可）；(3)已知线段EF,E(−3,2),F(−4,0)，将线段EF向右平移a(a>0)个单位长度得到线段E′F′，若线段E′F′上恰好有两个点的“MAX轴距”为2，请你写出满足条件的a的两个取值．【考点4 点的坐标与规律探究】【例4】（2022·山东·乐陵市阜昌中学七年级阶段练习）如下图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），…， 按这样的运动规律，经过第 2019 次运动后，动点 P 的坐标是（    ）A．（2022，1） B．（2022，0） C．（2022，2） D．（2022，0）【变式4-1】（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（    ）A．（44，3） B．（45，3） C．（44，4） D．（4，45）【变式4-2】（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，A2的坐标______，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为______．【变式4-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8……的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，……，则点A2022的坐标是__________．【考点5 坐标系中的平移问题】【例5】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ）A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9.6） D．（2.3）【变式5-1】（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，则点A的对应点的坐标为______．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A2,4，B1,1，C3,2．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；(2)平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求△ABC的面积【变式5-3】（2022·湖北荆门·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A−2,1，B−3,−2，C1,−2．(1)在图中画出三角形ABC；(2)先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．分别写出A1，B1，C1的坐标；(3)若y轴有一点P，满足三角形PBC是三角形ABC的2倍，请直接写出P点的坐标．【考点6 坐标与图形】【例6】（2022·陕西商洛·七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为a,0，点C的坐标为0,b，且a、b满足a−4+b−6=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．(1)求点B的坐标；(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标；(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．【变式6-1】（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足b−3+(a+1)2=0，点M为第三象限内一点．(1)请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；(2)若M为(−2，m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；(3)若M(2−m，2m−10)到坐标轴的距离相等，MN∥AB且NM=AB，求N点坐标．【变式6-2】（2022·山西临汾·七年级期末）如图，四边形ABDC放置在平面直角坐标系中，AB∥CD，AB=CD，点A，B，C的坐标分别为（5，8），（5，0），（-2，5）．(1)AB与y轴的位置关系是______（填“平行”或“相交”），点D的坐标为______；(2)E是线段AB上一动点，则CE距离的最小值d=______，CE距离最小时，点E的坐标是______；(3)M，N分别是线段AB，CD上的动点，M从A出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，N从D出发向点C运动，速度为每秒3个单位长度，若两点同时出发，几秒后M、N两点距离恰好为d？【变式6-3】（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中）将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．  (1)求B点的坐标(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；(3)若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．【考点7 判断一次函数的图像】【例7】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=mnx （m，n为常数、且 mn≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　）A．B．C．D．【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且 k≠0）的图象是（    ）A．B．C．D．【变式7-2】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=bx−k的大致图像是(    )A． B． C． D．【变式7-3】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）直线y1=mx+n2+1和y2=−mx−n的图象可能是（    ）A． B．C． D．【考点8 一次函数图象上点的坐标特征的运用】【例8】（2022·安徽·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【变式8-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图像上的是（　　）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）【变式8-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点A （2 ， 3 ），B(−1 ， 4)．(1)求该一次函数的解析式；(2)判断点P （5 ， 2 ），Q （3 ， 0 ）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．【变式8-3】（2022·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数y1=ax−a+1（a为常数，且a≠0）．(1)若点（﹣1，3）在一次函数y1=ax−a+1的图像上，求a的值；(2)若a>0，当−1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；(3)对于一次函数y2=kx+2k−4（k≠0），若对任意实数x，y1>y2都成立，求k的取值范围．【考点9 一次函数性质的运用】【例9】（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A−5,−1关于原点对称的点的坐标为A′a,b，关于x轴对称的点的坐标为Bc,d，则一次函数y=a−cx−b+d的图象不经过的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式9-1】（2022·河北·易县易州九年一贯制学校八年级期末）关于自变量x的函数y＝（k－3）x＋2k，下列结论：①当k≠3时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图象必经过点（－2，6）；③若函数经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k＜3其中结论正确的序号是__________．【变式9-2】（2022·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y=−2x+4．(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；(2)若n>3，点Cn+3，y1，D2n+1，y2都在一次函数y=−2x+4的图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由．【变式9-3】（2022·四川成都·三模）一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为________．【考点10 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】【例10】（2022·山东·昌乐县教学研究室八年级期末）已知直线y=x+b（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则直线y=x+2b与两坐标轴围成的三角形面积为（    ）A．1 B．4 C．6 D．8【变式10-1】（2022·重庆市育才中学八年级期末）将直线y＝﹣12x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝_____．【变式10-2】（2022·广东·佛山市南海区狮山镇大圃初级中学八年级阶段练习）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P，与x轴交于点C．(1)直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3．【变式10-3】（2022··八年级期末）已知直线l1，l2的函数表达式分别为y1=x−1，y2=k+1x−1−2kk≠0．(1)若直线l2经过点1,2，求函数y2的表达式(2)若直线l2经过第一、二、四象限，求k的取值范围．(3)设直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B，l1与l2交于点C，当△ABC的面积等于1.5时，求k的值．【考点11 一次函数的平移】【例11】（2022·陕西师大附中八年级期中）已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x−1)+b>0的解集为（　　）A．x<3 B．x>3 C．x>1 D．x<1【变式11-1】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）已知把一次函数y=2x+3的图象向右平移3个单位长度，则平移后图象的函数解析式为______．【变式11-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____．【变式11-3】（2022·江苏·八年级专题练习）已知直线y=12x，记为l1．(1)填空：直线y=12x+1可以看做是由直线l1向______平移______个单位得到；(2)将直线l1沿x轴向右平移4个单位得到直线l2，解答下列问题：①求直线l2的函数解析式；②若x取任意实数时，函数y=x−m的值恒大于直线l2的函数值，结合 图象求出m的取值范围．【考点12 确定一次函数解析式】【例11】（2022·广西贵港·八年级期末）若一次函数的图象与直线y=−x−1平行，且过点(3,−2)，则该直线的表达式为（    ）A．y=−x−2 B．y=−x−3 C．y=−x+1 D．y=−x+2【变式12-1】（2022·吉林·敦化市第三中学校八年级阶段练习）已知y−5与x+3成正比例，且当x=1时，y=−3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)求当x=−7时，y的值．【变式12-2】（2022·湖北荆州·八年级期末）已知一次函数y=(2m−1)x+m+1．(1)若该函数是正比例函数，求这个一次函数的解析式；(2)若该函数的图象经过一、二、四象限，且m为整数，求这个一次函数的解析式．【变式12-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝12x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________．【考点13 一次函数性质的实际应用】【例13】（2022·福建省福州第四十中学九年级开学考试）某校准备防疫物资时需购买A、B两种抑菌免洗洗手液，若购买A种免洗液2瓶和B种免洗液3瓶，共需90元；若购买A种免洗液3瓶和B种免洗液5瓶，共需145元．(1)求A、B两种免洗液每瓶各是多少元？(2)学校计划购买A、B两种免洗液共1000瓶，购买费用不超过17000元，且A种免洗液的数量不大于620瓶．设购买A种免洗液m瓶，购买费用为w元，求出w（元）与m（瓶）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用w的值．【变式13-1】（2022·吉林·测试·编辑教研五九年级阶段练习）小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x，(0≤x≤10)−20x+320，(10＜x≤16)，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．(1)求第15天小颗家草莓的日销售量．(2)求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式．(3)试比较第7天与第11天的销售金额哪天多？【变式13-2】（2022·贵州省三穗中学八年级期末）A校和B校分别有库存电脑12台和6台，现决定支援给C校10台和D校8台，从A校运一台电脑到C校的运费是40元，到D校是80元；从B校运一台电脑到C校的运费是30元，到D校是50元．设A校运往C校的电脑为x台，总运费为W元．(1)写出W关于x的函数关系式；(2)从A、B两校调运电脑到C、D两校有多少种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【变式13-3】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元．(1)请求出a和b；(2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方案？(3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款．【考点14 一次函数图像的实际运用】【例13】（2022·黑龙江·肇源县第四中学七年级期中）甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲登山的速度是每分钟______米，乙在A地提速时距地面的高度b为______米．(2)请分别求出乙提速前、甲登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．(3)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，则乙从出发到到达山顶需要多长时间？【变式14-1】（2022·全国·八年级单元测试）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行驶在同一条公路上．途中快车休息1小时后加速行驶，比慢车提前0.5小时到达目的地；慢车没有休息，保持匀速行驶．设慢车行驶的时间为x（单位：小时），快车行驶的路程为y1（单位：千米），慢车行驶的路程为y2（单位：千米）．图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请结合图象信息，解答下列问题：(1)甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时，慢车的速度是 千米/时；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(3)直接写出两人相距30千米时x的值．【变式14-2】（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙步行的速度为60米/分；③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相距180米有2个时刻，分别是t=18和t=24．其中正确的结论有（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式14-3】（2022·浙江宁波·八年级期末）甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分，并写出已画图象另一个端点的坐标；（3）问甲、乙两人何时相距390米？【考点15 一次函数与方程】【例15】（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级阶段练习）根据一次函数y=kx+b的图象，直接写出问题的答案：(1)关于x的方程kx+b=0的解；(2)代数式k+b的值；(3)关于x的方程kx+b=3的解.【变式15-1】（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x和y=ax+1.2相交于点A(m,1)，则方程−2x=ax+1.2的解为（    ）A．x=−12 B．x=1 C．x=−1 D．x=12【变式15-2】（2022·云南·麻栗坡县第二中学八年级期末）如图，直线l1的函数解析式为y＝2x－2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝k x＋b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示，直线l1，l2交于点C(m，2)．(1)求点C、点D的坐标；(2)求直线l2的函数解析式；(3)求△ADC的面积；(4)利用函数图像写出关于x、y的二元一次方程组y＝2x−2y＝kx+b的解．【变式15-3】（2022·山东烟台·七年级期末）【活动回顾】：七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=−x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．【解决问题】：(1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x−y=12x+3y=12中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；(2)观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ；【拓展延伸】：(3)已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A1,2和B4,1，试求a＋b的值．(4)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x−1的图象l2，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组x−y=−3x−y=1的解的情况 （不需要说明理由）．【考点16 一次函数与不等式】【例16】（2022·山东济南·八年级期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)关于x的不等式ax+b＞0的解集是 　 　；(2)关于x的不等式mx+n＜1的解集是　 　；(3)当x　 　，y1≤y2；(4)当x　 　，0＜y2＜y1．【变式16-1】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=−23x的图像交于点B(a,2)．(1)求a的值及△ABO的面积；(2)若一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图像向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C，求m的值；(3)直接写出关于x的不等式−23x>kx+b的解集．【变式16-2】（2022·湖北十堰·八年级期中）如图，直线y=−x+b与y=kx+3k的交点坐标为1,2，则关于x的不等式−x+b>kx+3k>0的解集为______．【变式16-3】（2022·江苏·八年级专题练习）一次函数y=mx+n与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：①a>0；②n<0；③方程mx+n=0的解是x=1；④不等式ax+b>3的解集是x>0；⑤不等式mx+n≤ax+b的解集是x≤−2．其中正确的结论个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点17 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例17】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）若点A(x1,−4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系式（   ）A．x1k2>k3 B．k2>k1>k3 C．k3>k1>k2 D．k3>k2>k1【变式18-2】（2022秋·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ）A．y=m2+1x B．y=m+1x C．y=mx D．y=−mx【变式18-3】（2022秋·陕西商洛·九年级校考期末）若反比例函数y=2k−1x的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（    ）A．k≥12 B．k≤12 C．k>12 D．k<12【考点19 反比例函数中k的几何意义】【例19】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，点A是双曲线y=−16xx<0上的一点，点B是双曲线y=−6xx<0上的一点，AB所在直线垂直x轴于点C，点M是y轴上一点，连接MA、MB，则△MAB的面积为（    ）A．5 B．6 C．10 D．16【变式19-1】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，▭ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD//x轴，当双曲线y=4x经过点D时，则▭ABCD的面积为______．【变式19-2】（2022秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为______（n为正整数）．【变式19-3】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（    ）A．6 B．3 C．6 D．12【考点20 反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例20】（2022春·福建泉州·八年级统考期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－ax与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（     ）A． B． C． D．【变式20-1】（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B．C． D．【变式20-2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ）A． B． C． D．【变式20-3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=a+banx的解集．【考点22 反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例22】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20°C，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温y°C与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80°C时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温y°C与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至30°C时，热水器又自动以相同的功率加热至80°C……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则（1）当0≤x≤15时，水温y°C开机时间x分钟的函数表达式______；（2）当水温为30°C时，t=______；（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为______．【变式22-1】（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．血液中药物浓度不低于6微克毫升的持续时间为（    ）A．73 B．3 C．4 D．163【变式22-2】（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【变式22-3】（2022秋·吉林通化·九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？AB价格（万元/台）ab节省的油量（万升/年）2.42药物点燃后的时间x（分）6121824空气中的含药量y（毫克/立方米）12643 专题21.2 函数及其图象二十二大必考点【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24911" 【考点1 坐标系中点的坐标特征】  PAGEREF _Toc24911 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23729" 【考点2 确定坐标系求坐标】  PAGEREF _Toc23729 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8378" 【考点3 坐标系中的新定义】  PAGEREF _Toc8378 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13768" 【考点4 点的坐标与规律探究】  PAGEREF _Toc13768 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc2068" 【考点5 坐标系中的平移问题】  PAGEREF _Toc2068 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc32251" 【考点6 坐标与图形】  PAGEREF _Toc32251 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc12883" 【考点7 判断一次函数的图像】  PAGEREF _Toc12883 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc32218" 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征的运用】  PAGEREF _Toc32218 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc8582" 【考点9 一次函数性质的运用】  PAGEREF _Toc8582 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc9193" 【考点10 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】  PAGEREF _Toc9193 \h 38 HYPERLINK \l "_Toc5109" 【考点11 一次函数的平移】  PAGEREF _Toc5109 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc24548" 【考点12 确定一次函数解析式】  PAGEREF _Toc24548 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc25296" 【考点13 一次函数性质的实际应用】  PAGEREF _Toc25296 \h 48 HYPERLINK \l "_Toc13583" 【考点14 一次函数图像的实际运用】  PAGEREF _Toc13583 \h 54 HYPERLINK \l "_Toc16317" 【考点15 一次函数与方程】  PAGEREF _Toc16317 \h 59 HYPERLINK \l "_Toc9250" 【考点16 一次函数与不等式】  PAGEREF _Toc9250 \h 65 HYPERLINK \l "_Toc3985" 【考点17 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】  PAGEREF _Toc3985 \h 70 HYPERLINK \l "_Toc20892" 【考点18 反比例函数性质的运用】  PAGEREF _Toc20892 \h 72 HYPERLINK \l "_Toc21479" 【考点19 反比例函数中k的几何意义】  PAGEREF _Toc21479 \h 75 HYPERLINK \l "_Toc13169" 【考点20 反比例函数与一次函数图象的综合判断】  PAGEREF _Toc13169 \h 79 HYPERLINK \l "_Toc25218" 【考点21 反比例函数与一次函数图象的交点问题】  PAGEREF _Toc25218 \h 82 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【考点22 反比例函数与一次函数图象的实际应用】  PAGEREF _Toc10615 \h 88【考点1 坐标系中点的坐标特征】【例1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．【答案】−6,2或−2,2##−2,2或−6,2【分析】根据AB∥x轴，则A,B的纵坐标相等，求得a的值，进而确定A的坐标，根据PA=2PB即可求解．【详解】解：∵A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），AB∥x轴，∴a+4=2，解得a=−2，∴3a+6=0，∴A0,2，设Pm,2，①当P在AB的延长线上时，PA=2PB，0−m=2−3−m，解得m=−6，∴P−6,2，②当P在线段AB上时，PA=2PB，0−m=2m+3，解得m=−2，∴P−2,2，③当P在BA的延长线上时，PA4，即k<−14或k>74，则−k−3=4k−3，解得：k=0，或k=2，∵k=0不合题意，舍去，∴k=2，综上，k的值为1或2，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．【变式3-1】（2022·山东·昌乐县教学研究室七年级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：如图，点P1−1,2，P21,2，P31,3的“最佳间距”是1．(1)理解：点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是______；(2)探究：已知点O0,0，A−4,0，B−4,yy≠0．①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；(3)迁移：当点O0,0，Em,0，Pm,−2m+1的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______．【答案】(1)3(2)①±2  ②4；理由见解析(3)1,−1或13,13【分析】（1）分别计算出Q1Q2=3,Q2Q3=4，再由点到直线，垂线段最短，可得Q1Q3>3，即可求解；（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB>OA，OB>AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为2，而OA=4，故OB=2，即可求解y的值；②△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，即4或y，分当OA>AB时、当OA=AB时、当OA3，∴点Q12,1，Q25,1，Q35,5的“最佳间距”是3；故答案为∶3（2）解：①∵点O（0，0），A（-4，0），B（-4，y），∴AB∥y轴，∴OA=4，∵垂线段最短，∴OB>OA，∵点O，A，B的“最佳间距”是2，∴AB=2，∴y=±2；故答案为：±2；②点O，A，B的“最佳间距”最大是4；理由如下：∵点O0,0，A−4,0是x轴上两点，∴OA=4；∵点A−4,0，B−4,y，∴AB⊥x轴，且AB=y；∴△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，所以“最佳间距”等于OA或AB的长度，即4或y．当OA>AB时，“最佳间距”等于y，此时y<4；当OA=AB时，“最佳间距”等于4；当OA|3|，所以点A的“MAX轴距”Z(A)=|5|=5．(1)点B12,12的“MAX轴距”Z(B)=_____________；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)=_____________；(2)已知直线l经过点(0,1)，且垂直于y轴，点D在直线l上．①若点D的“MAX轴距”Z(D)=2，求点D的坐标；②请你找到一点D，使得点D的“MAX轴距”Z(D)=1，则D点的坐标可以是_____________（写出一个即可）；(3)已知线段EF,E(−3,2),F(−4,0)，将线段EF向右平移a(a>0)个单位长度得到线段E′F′，若线段E′F′上恰好有两个点的“MAX轴距”为2，请你写出满足条件的a的两个取值．【答案】(1)12，3(2)①D−2,1或2,1；②D1,1（答案不唯一）(3)a=1.5或2【分析】（1）根据点P的“MAX轴距”Z（P）的定义求解即可；（2）①如图1中，设D（x，1）．构建方程求解即可；②根据点D的“MAX轴距”Z（D）=1，求解（答案不唯一）；（3）利用图像法，画出图形可得结论．(1)点B12,12的“MAX轴距”Z(B)= 12；点C(−3,2)的“MAX轴距”Z(C)= 3故答案为：12，3(2)①如图1中，设D（x，1）．由题意|x|=2，∴x=±2，∴D（-2，1）或（2，1）；②由题意D（1，1）（答案不唯一）；故答案为：（1，1）；(3)如图2中，当a=1.5时，线段E′F′上有两个点（-2，1）和（-1.5，2）的“MAX轴距”为2，当a=2时，线段E′F′上有两个点（-2，0）和（-1，2）的“MAX轴距”为2，综上所述，a的值为1.5或2．【点睛】本题考查了坐标新定义，点到坐标轴的距离，掌握定义中的“MAX轴距”，数形结合是解题的关键．【考点4 点的坐标与规律探究】【例4】（2022·山东·乐陵市阜昌中学七年级阶段练习）如下图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），…， 按这样的运动规律，经过第 2019 次运动后，动点 P 的坐标是（    ）A．（2022，1） B．（2022，0） C．（2022，2） D．（2022，0）【答案】C【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，∴第4次运动到点(4，0)，第5次接着运动到点(5，1)，…，∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：(2019，2)，故选：C．【点睛】此题主要考查坐标的变化，解题的关键是熟知坐标变化的规律．【变式4-1】（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（    ）A．（44，3） B．（45，3） C．（44，4） D．（4，45）【答案】A【分析】根据现有点(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，然后利用这个结论算出第2020分钟时点的坐标．【详解】粒子所在位置与运动的时间的情况如下：位置：(1，1)运动了2=1×2分钟，方向向左，位置：(2，2)运动了6=2×3分钟，方向向下，位置：(3，3)运动了12=3×4分钟，方向向左，位置：(4，4)运动了20=4×5分钟，方向向下；…总结规律发现，设点(n，n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)分钟，方向向左；当n为偶数时，运动了n(n+1)分钟，方向向下；∵44×45=1980，45×46=2070∴到(44，44)处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，故到2021分钟，须由(44，44)再向下运动2021−1980=41，44−41=3，到达(44，3)．故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．【变式4-2】（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，A2的坐标______，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为______．【答案】     3,0     3033,0【分析】先根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，然后据此解答即可．【详解】解：如图所示： A2的坐标为3,0，观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2022÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅2，∵点A−1,2，长方形的周长为：21+2=6，∴经过505次翻滚后点A对应点A2022的坐标为6×505+4−1,0，即3033,0．故答案为：3033,0．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平面直角坐标系中点的翻折变化等知识点，解题的关键是画出相应的图形，找出一般的规律．【变式4-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A8……的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，……，则点A2022的坐标是__________．【答案】1011,−1【分析】根据坐标点的变化规律可知每8个点的位置一循环，由此先确定点A2022与A6位置类似，再由类似位置点的坐标变化规律确定点A2022的坐标即可.【详解】解：∵A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,−1)，A6(3,−1)，A7(3,0)，A8(4,0)，A9(4,1)，......2022÷8=252......6，即点A2022循环了252次后又移动了6个单位，所以其与A6位置类似，与A6位置类似的一系列点的坐标分别为A6 3,−1，A147,−1 ，A2211,−1......，可推断出与A6位置类似的一系列点为A8n+6，其坐标为 (4n+3,−1)，∴A2022=A8×252+6，其坐标为4×252+3,−1即1011,−1．故答案为：1011,−1．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中动点的规律探索，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键．【考点5 坐标系中的平移问题】【例5】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ）A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9.6） D．（2.3）【答案】D【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论．【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），故选：D．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．【变式5-1】（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，则点A的对应点的坐标为______．【答案】（-2，-2）【分析】先求出AB的中点坐标，再由AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置可得平移的方式，再求出点A的对应点的坐标．【详解】解：∵A（2，1），B（4，1），∴线段AB平行于x轴，∴线段AB的中点坐标为（3，1），∵将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（−1,−2）的位置，∴平移方式是：先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，∴点A的对应点的坐标为（-2，-2），故答案为：（-2，-2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A2,4，B1,1，C3,2．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；(2)平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求△ABC的面积【答案】(1)见解析(2)−1,−3；1,−2；将△ABC向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一）(3)52【分析】（1）根据坐标A2,4，B1,1，C3,2描点，连接即可得△ABC；（2）根据点A的平移方式确定△ABC的平移方式，从而得到点B、点C平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到△ABC的面积．（1）如图，△ABC即为所求；（2）由图可知，点B平移后对应的B′坐标为：−1,−3；点C平移后对应的C′坐标为：1,−2；平移方式：将△ABC向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将△ABC向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将△ABC沿AO方向平移25个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；（3）S△ABC=2×3−12×2×1−12×3×1−12×2×1=52．【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．【变式5-3】（2022·湖北荆门·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A−2,1，B−3,−2，C1,−2．(1)在图中画出三角形ABC；(2)先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．分别写出A1，B1，C1的坐标；(3)若y轴有一点P，满足三角形PBC是三角形ABC的2倍，请直接写出P点的坐标．【答案】(1)见解析(2)画图见解析，A1（0，4）、B1（-1，1）、C1 (3，1)；(3)P（0，4）或(0，-8)【分析】（1）根据平面直角坐标系以及A,B,C的坐标，描点，顺次连接A,B,C，则△ABC即为所求；（2）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1．根据坐标系写出点的坐标即可；（3）设P0,y，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可求解．(1)如图所示：(2)如图所示：由图可得：A1（0，4）、B1（-1，1）、C1 (3，1)；(3)∵S△ABC=12BC×3=12×4×3=6，∴△PBC是△ABC面积的2倍，设P0,y，∴12×4×y+2=12解得y=0或y=−8则P（0，4）或(0，-8)．【点睛】本题考查了坐标与图形，平移作图，数形结合是解题的关键．【考点6 坐标与图形】【例6】（2022·陕西商洛·七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为a,0，点C的坐标为0,b，且a、b满足a−4+b−6=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．(1)求点B的坐标；(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标；(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．【答案】(1)（4，6）(2)4,4(3)4.5秒或7.5秒【分析】（1）根据非负数的性质式求得a,b的值，从而求得A,C的坐标，进而求得B点的坐标；（2）根据题意求得P点路程，进而求得坐标；（3）分类讨论，第一种情况：当点P在OC上时，第二种情况：当点P在BA上时，分别计算出时间．（1）解：∵a−4+b−6=0，a−4≥0，b−6≥0，∴a−4=0，b−6=0，∴a=4，b=6，∴点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6），∴OA=4，OC=6，∴BC=OA=4，BA=OC=6，∴点B的坐标为（4，6）；（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，运动时间为4秒，∴点P的运动路程为2×4=8．∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段AB上，离点A的距离是8−4=4，∴点P的坐标是4,4．（3）解：由题意可得在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况．第一种情况：当点P在OC上时，点P移动的时间是4+6+4+6−5÷2=7.5（秒）．第二种情况：当点P在BA上时，点P移动的时间是4+5÷2=4.5（秒）．所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．【点睛】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负数的性质，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．【变式6-1】（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足b−3+(a+1)2=0，点M为第三象限内一点．(1)请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；(2)若M为(−2，m)，请用含m的式子表示△ABM的面积；(3)若M(2−m，2m−10)到坐标轴的距离相等，MN∥AB且NM=AB，求N点坐标．【答案】(1)﹣1，3(2)−2m(3)N(-6，-2)或(2，-2)【分析】（1）根据非负数的性质可求出答案；（2）根据三角形面积公式求出答案即可；（3）由题意可求出m＝4或8，求出M的坐标，则可得出答案．（1）∵b−3+（a+1）2＝0，∴b−3=0，（a+1）2＝0，∴b﹣3＝0，a+1＝0，∴b＝3，a＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：﹣1，3；（2）如图，∵M为（﹣2，m），且M在第三象限内，∴m＜0，∴△ABM的面积=12×4×(−m)=−2m；（3）∵M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），∴m＝4或8，∵M为第三象限内一点，∴M（﹣2，﹣2），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵MN∥AB，NM＝AB，∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．【点睛】本题考查了二次根式的性质、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．【变式6-2】（2022·山西临汾·七年级期末）如图，四边形ABDC放置在平面直角坐标系中，AB∥CD，AB=CD，点A，B，C的坐标分别为（5，8），（5，0），（-2，5）．(1)AB与y轴的位置关系是______（填“平行”或“相交”），点D的坐标为______；(2)E是线段AB上一动点，则CE距离的最小值d=______，CE距离最小时，点E的坐标是______；(3)M，N分别是线段AB，CD上的动点，M从A出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，N从D出发向点C运动，速度为每秒3个单位长度，若两点同时出发，几秒后M、N两点距离恰好为d？【答案】(1)平行,（-2，-3）(2)7，（5，-5）(3)经过115秒时，M，N两点的距离为d【分析】（1）由A，B两点横坐标相同可判断AB∥y轴，根据CD=AB=8，从而求得点D坐标；（2）当CE⊥AB时，CE之间的距离最小，进一步求得结果；（3）当点M，N两点的纵坐标相同时，MN=d，进一步求得结果．（1）解：∵A(5,8),B(5,0)，∴A，B两点的横坐标相同，∴AB⊥x轴，∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，∵AB∥CD，AB=CD，AB=8，∴CD=8，∴5−8=−3，∴点D(−2,−3)，故答案为：平行，−2，−3；（2）当CE⊥AB时，d最小，此时d=5−(−2)=7，此时E点的横坐标和点A的横坐标相同，纵坐标与点C的纵坐标相同，∴E(5,−5)，故答案为7，(5,−5)；（3）当M，N之间距离等于7时，M点和N点的纵坐标相同，∴8−2t=−3+3t，∴t=115，∴经过115秒时，M，N两点的距离为d．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点与线段的位置之间关系等知识，解决问题的关键是根据点的坐标来确定线段之间的关系．【变式6-3】（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中）将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．  (1)求B点的坐标(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；(3)若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．【答案】(1)B点坐标为（8，4）；(2)D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；(3)四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a-2b=0，b-4=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；（2）分类讨论：当点D在AB上，和点D在BC上，根据题意列方程，解方程即可得到D点坐标；（3）设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），则可根据三角形面积公式和S四边形BQOP=S长方形ABCO−SΔABQ−SΔCPB计算得到S四边形BQOP=16，即四边形BQOP的面积在运动中不发生变化．（1）解：∵|a−2b|+(b−4)2=0，∴a-2b=0，b-4=0，∴a=8，b=4，∴B点坐标为（8，4）；（2）解：当点D在AB上，如图，设D（m，4），则AD=m，BD=8-m，∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，∴（4+m）：（8-m+4+8）=2：3，解得m=5.6，∴D点坐标为（5.6，4）；当点D在BC上，如图，设D（8，n），则CD=n，BD=4-n，∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，∴（8+n）：（4-n+4+8）=2：3，解得m=1.6，∴D点坐标为（8，1.6），综上所述，D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；（3）解：四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），S四边形BQOP=S长方形ABCO−SΔABQ−SΔCPB=4×8-12×8×（4-t）-12×8×t=16；∴四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．【考点7 判断一次函数的图像】【例7】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=mnx （m，n为常数、且 mn≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且 k≠0）的图象是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb和y=kx+b的图象各是哪条直线，因此要根据选项先得到b≠0，再根据k，b的正负分类讨论得出答案．【详解】解：A、一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；C、一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象．【变式7-2】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=bx−k的大致图像是(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y=bx−k图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．【详解】∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，∴k<0，b>0，∴b>0，−k>0，∴一次函数y=bx−k图像第一、二、三象限，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式7-3】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）直线y1=mx+n2+1和y2=−mx−n的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先设定一个为一次函数y1=mx+n2+1的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．【详解】解：∵n2+1>0∴y1=mx+n2+1的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0；由y2的图象可知，m＜0，两结论不互相矛盾，故正确；D、如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＞0；由y2的图象可知，m ＜0，两结论相矛盾，故错误．故选C．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．【考点8 一次函数图象上点的坐标特征的运用】【例8】（2022·安徽·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【答案】A【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．【详解】解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3，∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分，∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0），∴0＝2m﹣5m+3，∴m＝1．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．【变式8-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图像上的是（　　）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）【答案】A【分析】先求出正比例函数y=3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．【详解】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，∴6=2k，解得k=3，∴正比例函数为y=3x，在正比例函数y=3x中，若x=−1，则y=3×(−1)=−3，（﹣1，﹣3）在函数图像上，故选项A符合题意，选项B不符合题意；若x=3，则y=3×3=9，（3，1）不在函数图像上，故选项C不符合题意；若x=−3，则y=3×(−3)=−9，（﹣3，1）不在函数图像上，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及函数图像上点的坐标的特征，理解函数图像上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键．【变式8-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点A （2 ， 3 ），B(−1 ， 4)．(1)求该一次函数的解析式；(2)判断点P （5 ， 2 ），Q （3 ， 0 ）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．【答案】(1)一次函数的解析式为y=−13x+113(2)点P （5 ， 2 ）在该函数图象上；点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．理由见解析【分析】（1）用待定系数法可得解析式；（2）结合（1），设x=5，算出y值，即可判断P是否在图象上，同理可判断Q．（1）∵ 点A，B在一次函数的图象上，∴ 2k+b=3 ， −k+b=4 ．  解得k=−13 ， b=113 ．  ∴ 一次函数的解析式为y=−13x+113．（2）把x=5代入到y=−13x+113中，得y=2，∴ 点P （5 ， 2 ）在该函数图象上； 把x=3代入到y=−13x+113中，得y=83≠0，∴ 点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法．【变式8-3】（2022·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数y1=ax−a+1（a为常数，且a≠0）．(1)若点（﹣1，3）在一次函数y1=ax−a+1的图像上，求a的值；(2)若a>0，当−1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；(3)对于一次函数y2=kx+2k−4（k≠0），若对任意实数x，y1>y2都成立，求k的取值范围．【答案】(1)a=−1(2)y1=4x−3(3)k<53且k≠0【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a的一元一次方程并求解即可；（2）由a>0时，y随x的增大而增大，可确定当x=2时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k=a，再根据y1>y2列出不等式并求解即可．（1）解：将点（﹣1，3）代入一次函数y1=ax−a+1，可得3=−a−a+1，解得a=−1；（2）∵a>0时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，函数有最大值，即y1最大=2a−a+1=5，解得a=4，∴此时一次函数y1的表达式为y1=4x−3；（3）由题意可知，k=a≠0，∴y1=kx−k+1，∵对任意实数x，y1>y2都成立，∴−k+1>2k−4，解得k<53，∴k的取值范围为k<53且k≠0．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．【考点9 一次函数性质的运用】【例9】（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A−5,−1关于原点对称的点的坐标为A′a,b，关于x轴对称的点的坐标为Bc,d，则一次函数y=a−cx−b+d的图象不经过的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可．【详解】∵A−5,−1，∴关于原点对称的点的坐标为A′5,1，关于x轴对称的点的坐标为B−5,1，∴a=5，b=1，c=−5，d=1，∴a−c=10，b+d=2，∴一次函数为y=10x−2，∴一次函数图像经过一、三、四象限，∴不经过第二象限；故选B．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式9-1】（2022·河北·易县易州九年一贯制学校八年级期末）关于自变量x的函数y＝（k－3）x＋2k，下列结论：①当k≠3时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图象必经过点（－2，6）；③若函数经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k＜3其中结论正确的序号是__________．【答案】①②③【分析】根据一次函数的定义，函数图像和系数的关系逐一判断选项即可. 【详解】解：①当k≠3时，函数是一次函数；故①符合题意；②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，当x＝﹣2时，y＝6，过函数过点（﹣2，6），故②符合题意；③函数y＝（k﹣3）x+2k经过二，三，四象限，则k−3<02k<0，解得：k＜0，故③符合题意；④当k﹣3＝0时，y＝6，与x轴无交点；当k≠3时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即﹣2kk−3>0，解得：0＜k＜3，故④不符合题；故答案为：①②③．【点睛】本题考查根据一次函数的定义，一次函数图象的性质，一次函数与x轴交点问题，交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．【变式9-2】（2022·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y=−2x+4．(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；(2)若n>3，点Cn+3，y1，D2n+1，y2都在一次函数y=−2x+4的图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)y1>y2，理由见解析【分析】（1）求出一次函数y=−2x+4图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y随x的增大而减小，又可判断2n+1>n+3，即可确定y1>y2．（1）对于y=−2x+4，当y=0时，即−2x+4=0，∴x=2；当x=0时，即y=4．∴函数y=−2x+4的图象经过点(2，0)、(0，4)；∴函数y=−2x+4的图象如图所示．（2）∵n>3，∴2n+1−n+3=n−2>0，∴2n+1>n+3．∵y=−2x+4，k=−2>0，∴y随x的增大而减小．∵点Cn+3，y1，D2n+1，y2都在一次函数y=−2x+4的图象上，∴y1>y2．【点睛】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【变式9-3】（2022·四川成都·三模）一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为________．【答案】c＞a＞b【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断．【详解】解：∵k1＞0，k2＜0，点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等∴ y＝n﹣1是一条水平线画出满足题意位置关系的函数图像如下，由图像易得：c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键．【考点10 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】【例10】（2022·山东·昌乐县教学研究室八年级期末）已知直线y=x+b（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则直线y=x+2b与两坐标轴围成的三角形面积为（    ）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+b与两坐标轴的交点坐标，结合直线y=x+b与两条坐标轴围成的三角形面积为2，即可求出b2=4，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+2b与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论．【详解】解：当x=0时，y=0+b=b，∴直线y=x+b与y轴交于点（0，b）；当y=0时，x+b=0，解得：x=-b，∴直线y=x+b与x轴交于点（-b，0）．∴直线y=x+b与两条坐标轴围成的三角形面积=12×|b|×|-b|=2，∴b2=4．同理，直线y=x+2b与y轴交于点（0，2b），与x轴交于点（-2b，0），∴直线y=x+2b与两条坐标轴围成的三角形面积=12×|2b|×|-2b|=2b2=2×4=8．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积计算公式，求出b2的值是解题的关键．【变式10-1】（2022·重庆市育才中学八年级期末）将直线y＝﹣12x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝_____．【答案】16【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解平移后的函数的解析式，然后求出OA、OB的值，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：直线y＝﹣12x+6向下平移2个单位，所得平移后的直线为y＝﹣12x+6﹣2＝﹣12x+4，把x＝0代入y＝﹣12x+4得：y＝4，把y＝0代入y＝﹣12x+4得：x＝8，即OA＝8，OB＝4，∴S△AOB＝12OA×OB＝12×8×4＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，解题关键是求出OA、OB的值．【变式10-2】（2022·广东·佛山市南海区狮山镇大圃初级中学八年级阶段练习）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P，与x轴交于点C．(1)直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3．【答案】(1)m=-1，b=72，A点坐标为（2，0）；点C坐标为（﹣7，0）(2)①当Q在A、C之间时，S=-32t+272；当Q在A的右边时，S=32t-272；②当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3【分析】（1）把点P坐标代入直线l1解析式可求得m，可求得P点坐标，代入直线l2可求得b，可求得直线l2的解析式，在y1=0可求得A点坐标，令y2=0可求得相应x的值，可求得C点坐标；（2）①分点Q在A、C之间和点Q在A的右边两种情况，分别用t可表示出AQ，则可表示出S；②令S=3可求得t的值．（1）解：∵点P（m，3）在直线l1上，∴3=-m+2，解得m=-1，∴P（-1，3），∵y2=12x+b过点P，∴3=12×（-1）+b，解得b=72，∴直线y2=12x+72，令y2=0可得0=12x+72，解得x=-7，∴点C坐标为（-7，0），在y1=-x+2中，令y1=0可得-x+2=0，解得x=2，∴A点坐标为（2，0）；（2）解：①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，∵A（2，0），C（-7，0），∴AC=2-（-7）=9，当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t，∴S=12×3×（9-t）=-32t+272；当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=t-9，∴S=12×3×（t-9）=32t-272；②令S=3可得-32t+272=3或32t-272=3，解得t=7或t=11，即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3．【点睛】本题考查利用一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键，在（2）中用t表示出AQ的长是解题的关键．【变式10-3】（2022··八年级期末）已知直线l1，l2的函数表达式分别为y1=x−1，y2=k+1x−1−2kk≠0．(1)若直线l2经过点1,2，求函数y2的表达式(2)若直线l2经过第一、二、四象限，求k的取值范围．(3)设直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B，l1与l2交于点C，当△ABC的面积等于1.5时，求k的值．【答案】(1)y2=−x+3(2)k<−1(3)k=−34或k=−32【分析】（1）将1,2代入y2的解析式中求解即可；（2）根据l2经过第一、二、四象限，可得k+1<0，−1−2k>0 ，求解即可；（3） 解：将y=0代入y1，y2中，得x1=1，x2=1+2kk+1，故B点坐标为：1+2kk+1,0，联立y1，y2可得x=2，将x=2代入y1=x−1中，y1=2−1=1，故C点坐标为（2，1），则S△ABC=12AB⋅yc，解得：AB=3，如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，故B坐标为（4，0），或（﹣2，0），把x=4或x=﹣2代入x=1+2kk+1中，求解可得到答案．（1）解:将1,2代入y2得，k+1−1−2k=2，解得k=−2，∴y2=−x+3；（2）解：∵l2经过第一、二、四象限，∴k+1<0，−1−2k>0 ，解得：k<−1，k<−12，∴k<−1；（3）解：将y=0代入y1，y2中，得y1=x−1，0=x−1，x=1，故A点坐标为（1，0），y2=k+1x−1−2k，0=k+1x−1−2k，解得x2=1+2kk+1，故B点坐标为：1+2kk+1,0，联立y1，y2，x−1=k+1x−1−2k，kx=1+2k−1，kx=2k，x=2，将x=2代入y1=x−1中，y1=2−1=1，故C点坐标为（2，1），则S△ABC=12AB⋅yc1.5=12×AB×1AB=3，如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，∴B坐标为（4，0），或（﹣2，0），把x=4或x=﹣2代入x=1+2kk+1中，4=1+2kk+1，4k+4=2k+1，k=−32，−2=1+2kk+1，−2k−2=2k+1，k=−34，故k=−34或k=−32．【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象经过的象限与参数之间的关系，一次函数的综合题，能够熟练掌握一次函数解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．【考点11 一次函数的平移】【例11】（2022·陕西师大附中八年级期中）已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x−1)+b>0的解集为（　　）A．x<3 B．x>3 C．x>1 D．x<1【答案】A【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出y=a(x−1)+b的图象，并且求出一次函数y=ax−1+b图象与x轴交于点3,0，再结合函数图象即可得．【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点2,0，∴一次函数y=a(x−1)+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点3,0，画出函数的大致图象如下：由函数图象可知，关于x的不等式a(x−1)+b>0的解集为x<3，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．【变式11-1】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）已知把一次函数y=2x+3的图象向右平移3个单位长度，则平移后图象的函数解析式为______．【答案】y=2x−3【分析】根据一次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．把一次函数y=2x+3的图象向右平移3个单位长度，即可解得.【详解】y=2(x−3)+3=2x−3，故答案为：y=2x−3．【点睛】考查一次函数图象的平移规律，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．【变式11-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____．【答案】1【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（﹣1，4）代入求出答案．【详解】解：∵一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位，∴y＝2x+b+5，把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5，解得：b＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键．【变式11-3】（2022·江苏·八年级专题练习）已知直线y=12x，记为l1．(1)填空：直线y=12x+1可以看做是由直线l1向______平移______个单位得到；(2)将直线l1沿x轴向右平移4个单位得到直线l2，解答下列问题：①求直线l2的函数解析式；②若x取任意实数时，函数y=x−m的值恒大于直线l2的函数值，结合 图象求出m的取值范围．【答案】(1)上；1或左；2(2)①直线l2的函数解析式为y=12x−2；②m<4【分析】（1）根据解析式的图象得出结论即可；（2）①根据直线l1沿x轴向右平移4个单位得到直线l2，得出直线l2过点(4，0)，进而得出解析式即可；②根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可．（1）如下图所示，y=12x+1是由y=12x向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的；故答案为：上，1或左，2；（2）①∵当y=12x沿x轴向右平移4个单位后经过点(4，0)，∴平移得到的直线l2的函数解析式为y=12(x−4)=12x−2;；②如下图所示，画出y=|x|的图象，y=|x−m|的函数图象可以看作是y=|x|沿x轴水平移动m个单位，当m>0时，y=|x|向右平移m个单位，当m<0时，y=|x|向左平移m个单位，要是函数y=|x−m|的值恒大于直线l2的函数值，则函数y=|x−m|的图象位于直线l2的上方，由函数图像可知当m<4时函数y=|x−m|的图象位于直线l2的上方，∴m的取值范围为m<4．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，图形的平移等知识是解题的关键．【考点12 确定一次函数解析式】【例11】（2022·广西贵港·八年级期末）若一次函数的图象与直线y=−x−1平行，且过点(3,−2)，则该直线的表达式为（    ）A．y=−x−2 B．y=−x−3 C．y=−x+1 D．y=−x+2【答案】C【分析】设一次函数的表达式为y=kx+b，根据两直线平行斜率相等得出该函数的斜率k，再将点(3,−2)代入可得b值，进而得出结论．【详解】解：设该直线的表达式为y=kx+b，∵一次函数的图象与直线y=−x−1平行，∴k=−1．∵点(3,−2)在直线y=kx+b上，∴−2=(−1)×3+b，解得b=1．∴ 该直线的表达式为y=−x+1．故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象平行与相交的理解、运用能力．同一平面内，不重合的两直线：l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2，当k1=k2时，两直线平行；当k1≠k2时，两直线相交．明确一次函数的图象与直线y=−x−1平行，它们的斜率相等，掌握待定系数法得出b值是解本题的关键．【变式12-1】（2022·吉林·敦化市第三中学校八年级阶段练习）已知y−5与x+3成正比例，且当x=1时，y=−3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)求当x=−7时，y的值．【答案】(1)y=−2x−1(2)y=13【分析】（1）由y−5与x+3成正比例，设y−5=k(x+3), 再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）把x=−7代入y=−2x−1求解函数值即可．（1）解：∵y−5与x+3成正比例，∴设y−5=k(x+3), 当x=1时，y=−3．∴4k=−8, 解得：k=−2, ∴函数关系式为：y−5=−2(x+3), 即y=−2x−1．（2）当x=−7时，∴y=−2x−1=−2×(−7)−1=13.【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．【变式12-2】（2022·湖北荆州·八年级期末）已知一次函数y=(2m−1)x+m+1．(1)若该函数是正比例函数，求这个一次函数的解析式；(2)若该函数的图象经过一、二、四象限，且m为整数，求这个一次函数的解析式．【答案】(1)这个一次函数的解析式为y=−3x(2)这个一次函数的解析式为y=-x+1【分析】（1）先根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值，即可求得解析式；（2）根据一次函数的定义及图象经过一、二、四象限求出m的取值范围，进而得出m的整数值即可．（1）解：∵函数y=(2m−1)x+m+1是正比例函数，∴ 2m−1≠0m+1=0，解得m=−1，∴这个一次函数的解析式为y=−3x；（2）解：∵这个函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，∴ 2m−1<0m+1>0，解得−10)个单位长度后经过点C，求m的值；(3)直接写出关于x的不等式−23x>kx+b的解集．【答案】(1)a=−3，△ABO的面积为4(2)m=83(3)x<−3【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式，求出一次函数图像与x轴交点，如图所示，利用间接方法得到SΔABO=SΔACO−SΔBCO即可得到结论；（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；（3）根据图像即可求得不等式−23x>kx+b的解集．（1）解：∵正比例函数y=−23x的图像经过点B(a,2)，∴2=−23a，解得，a=−3，∴B(−3,2)，∵一次函数y=kx+b的图像经过点A(−2,4)，B(−3,2)，∴ {−2k+b=4−3k+b=2，解得，k=2b=8，∴一次函数y=kx+b的解析式为y=2x+8，如图所示：∴当y=0时，0=2x+8，解得x=−4，即C−4,0，∴SΔABO=SΔACO−SΔBCO=12CO⋅yA−12CO⋅yB=12×0−−4×4−2 =4；（2）解：∵一次函数y=2x+8的图像与x轴交于点C，∴C(−4,0)，∵正比例函数y=−23x的图像向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C，∴平移后的函数的解析式为y=−23x−m，∴0=−23×(−4)−m，解得m=83；（3）解：∵B(−3,2)，∴根据图像可知−23x>kx+b的解集为：x<−3．【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系．【变式16-2】（2022·湖北十堰·八年级期中）如图，直线y=−x+b与y=kx+3k的交点坐标为1,2，则关于x的不等式−x+b>kx+3k>0的解集为______．【答案】−3kx+3k的解集是：x<1，把1,2代入：y=kx+3k得：1=2k+3k，∴k=15，∴y=15x+35，∴当y=0时，0=15x+35，∴x=−3，∴y=kx+3k与x轴交于(−3,0)，∴ kx+3k>0的解集为x>−3，∴不等式−x+b>kx+3k>0的解集为：−30；②n<0；③方程mx+n=0的解是x=1；④不等式ax+b>3的解集是x>0；⑤不等式mx+n≤ax+b的解集是x≤−2．其中正确的结论个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的关系进行一一判断即可．【详解】解：①由一次函数y=ax+b经过第一、三象限知：a＞0，故结论正确；②由一次函数y=mx+n与y轴交于负半轴知：n＜0，故结论正确；③由一次函数y=mx+n与x轴交点坐标为（-1，0）知：方程mx+n=0的解是x=-1，故结论不正确；④由图像知：不等式ax+b＞3的解集是x＞0，故结论正确；⑤由函数图像知：不等式mx+n≤ax+b的解集是x≥-2，故结论不正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是综合应用一次函数的图像与性质解题．【考点17 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例17】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）若点A(x1,−4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系式（   ）A．x10，∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点B、C在第一象限，且2<4，∴x2>x3>0，∵点A在第三象限，∴x1<0，∴x10，对于反比例函数y=−3x，在第四象限，y随x的增大而增大，∵00时，在每个象限内y随x的增大而减小，∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，∴a=3（a-4），解得a=6，∴k=6；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，∴b=3（b+4），解得b=-6，∴k=-6；∴k=6或-6，故答案为：6或-6．【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．【考点18 反比例函数性质的运用】【例18】（2022秋·江西抚州·九年级统考期末）已知反比例函数y=−8x，下列说法不正确的是（    ）A．图像经过点2,−4 B．图像分别位于第二、四象限内C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．y≤1时，x≤−8【答案】D【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．【详解】因为2×−4=−8，所以A正确，不符合题意；因为反比例函数y=−8x，所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；所以B、C正确，不符合题意；当y≤1时，x≤−8或x＞0，所以D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．【变式18-1】（2022秋·河北衡水·九年级校考期末）如图，为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（    ）A．k1>k2>k3 B．k2>k1>k3 C．k3>k1>k2 D．k3>k2>k1【答案】A【分析】先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、k3的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．【详解】解：由图知，y=k3x的图象在第二象限，y=k1x，y=k2x，的图象在第一象限，∴k1>0，k2>0，k3<0，又当x=1时，由图象可得k21k2>k3．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；k>0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．【变式18-2】（2022秋·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ）A．y=m2+1x B．y=m+1x C．y=mx D．y=−mx【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限； B、不确定；C、不确定；D、不确定．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．【变式18-3】（2022秋·陕西商洛·九年级校考期末）若反比例函数y=2k−1x的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（    ）A．k≥12 B．k≤12 C．k>12 D．k<12【答案】C【分析】根据反比例函数的图象在第一象限，可得2k−1>0，解不等式即可求解．【详解】解：∵反比例函数y=2k−1x的图象位于第一象限，∴2k−1>0，解得：k>12，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，在y=kxk≠0中，当k>0时，函数的图象在一、三象限，当k<0时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【考点19 反比例函数中k的几何意义】【例19】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，点A是双曲线y=−16xx<0上的一点，点B是双曲线y=−6xx<0上的一点，AB所在直线垂直x轴于点C，点M是y轴上一点，连接MA、MB，则△MAB的面积为（    ）A．5 B．6 C．10 D．16【答案】A【分析】作MN⊥BA交BA的延长线于N，则S△AMB=12BA⋅MN，设点A的坐标为a，−16a，再根据题意分别表示出AB、MN的长，计算即可得到答案．【详解】解：如图所示，作MN⊥BA交BA的延长线于N，，则S△AMB=12BA⋅MN，设点A的坐标为a，−16a，a<0，∵ AB所在直线垂直x轴于点C，∴B点坐标为a，−6a，∴AB=−16a−−6a=−10a，MN=a，∴S△ABM=12AB⋅MN=12×−10a×a=12×−10a×−a=5，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．【变式19-1】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，▭ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD//x轴，当双曲线y=4x经过点D时，则▭ABCD的面积为______．【答案】8【分析】根据反比例函数k的几何意义先求出△AOD的面积，再根据平行四边形是中心对称图形可得S▭ABCD=4S△AOD，即可求出▭ABCD的面积．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，且O点是AC的中点，∴O点是BD的中点，∵D点在反比例函数y=4x的图像上，且AD//x轴，∴S△AOD=12k=12×4=2，∴S▭ABCD=4S△AOD=8，即▭ABCD的面积为8．故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形是中心对称图形的性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．【变式19-2】（2022秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为______（n为正整数）．【答案】3n【分析】结合图象，根据反比例函数系数k的几何意义，即可得答案．【详解】解：∵过双曲线y=6x上任一点引x轴垂线和原点连线与x轴所围成的直角三角形面积是个定值，S=12k=3，∴S1=12OA1⋅A1P1=S=3，∵OA1=A1A2=A2A3=……，∴S2=12A1A2⋅A2P2=12×12OA2⋅A2P2=12S=32，S3=12A2A3⋅A3P3=12×13OA3⋅A3P3=13S=1，S4=12A3A4⋅A4P4=12×14OA4⋅A4P4=14S=34，S5=12A4A5⋅A5P5=12×15OA5⋅A5P5=15S=35，……以此类推，Sn=3n，故答案为：3n．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx k≠0的系数k的几何意义，即过双曲线上任一点引x轴，y轴垂线，所得矩形面积为k，利用数形结合的思想，正确理解k的几何意义是解题关键．【变式19-3】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（    ）A．6 B．3 C．6 D．12【答案】C【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP，故S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【详解】解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP=S△AOP，∴S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=12S△AOB，∵点B在反比例函数y=6x的图象上，∴S△OBE=12×6=3，∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=6．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键．【考点20 反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例20】（2022春·福建泉州·八年级统考期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－ax与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题可先由反比例函数y=-ax图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．【详解】解：A、由函数y=-ax的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．B、由函数y=-ax的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数y=-ax的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．【变式20-1】（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．【详解】解：由反比例函数y=4x与一次函数y=x+1可知，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．【变式20-2】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故A选项不符合题意；B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函数经过一、三象限，故B选项不符合题意；C选项中，一次函数b=0，∵kb≠0，故C选项不符合题意；D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键．【变式20-3】（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=a+ba2)−2x(x≤2)，即当x>2时，y=x+2；当x≤2时，y=−2x．故选：C．【点睛】本题考查新定义、一次函数与反比例函数的图像性质，根据新定义得出y=2★x的解析式是解题的关键．【考点21 反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例21】（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若BC=2OA，则直线BC的解析式为______．【答案】y=−2x−6##y=−6−2x【分析】将正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的解析式联立，求得点A的横坐标，根据定义求得点B的横坐标，然后求得点B的坐标，将点B的坐标代入y=−2x+b即可求得b，从而求得直线BC的解析式【详解】解：∵正比例函数y=−2x与反比例函数y=−8xx<0的图象有一个交点A，∴−8x=−2x，解得：x=±2，∴点A的横坐标为：−2，∵BC=2OA，∴点B的横坐标为：−4，∵点B在反比例函数y=−8xx<0上，∴B−4,2∵BC∥OA，即将直线y=−2x沿y轴向下平移b个单位长度，得到直线：y=−2x+b∴将B−4,2代入y=−2x+b得：b=−6，∴直线BC的解析式为：y=−2x−6故答案为：y=−2x−6【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解决问题的关键【变式21-1】（2022秋·上海·八年级统考期末）如图，正比例函数y=32x的图像与反比例函数y=kx(k≠0)的图像都经过点Aa,3．(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围．【答案】(1)A2,3，y=6x(2)n<−2或n>2【分析】（1）将点Aa,3代入y=32x求出a=2，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入y=kx(k≠0)求出k即可；（2）先确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．【详解】（1）解：将点Aa,3代入y=32x，得32a=3，解得a=2，∴A2,3，将A2,3代入y=kx(k≠0)，得k=xy=2×3=6，∴反比例函数的解析式y=6x；（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图像上，点P到y轴的距离小于3，∴−32．【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．【变式21-2】（2022秋·重庆綦江·九年级统考期末）如图，反比例函数y1=k1x过点A−1,−4，连接AO并延长交反比例函数图象于点B，C为反比例函数图象上一点，横坐标为-4，一次函数y2=k2x+b经过B，C两点，与x轴交于点D，连接AC．(1)求反比例函数y1和一次函数y2的解析式；(2)求四边形AODC的面积；(3)当y1≤y2时，直接写出自变量x的取值范围．【答案】(1)y1=4x，y2=x+3(2)9(3)−4≤x<0或x≥1【分析】（1）将−1,−4代入y1=k1x得出k1=4，即可得出反比例函数解析式，根据点A，B关于原点成中心对称，求出B坐标为1,4，将1,4，−4,−1代入y2=k2x+b，即可得出一次函数的解析式；（2）作DE∥y轴交AC于点E，设AC所在直线解析式为y=mx+n，将−1,−4，−4,−1代入即可得出y=−x−5，求出点D坐标为−3,0，点E坐标为−3,−2，根据S△ACD=S△CDE+S△ADE，进而得出答案；（3）曲线在直线BC下方时，y1≤y2，根据图象即可得出答案．【详解】（1）解：将−1,−4代入y1=k1x得−4=−k1，解得k1=4，∴y1=4x，∵A，B在反比例函数图象上，∴点A，B关于原点成中心对称，∴点B坐标为1,4，把x=−4代入y1=4x得y1=−1，∴点C坐标为−4,−1，将1,4，−4,−1代入y2=k2x+b，得4=k2+b−1=−4k2+b，解得k2=1b=3，∴y2=x+3；（2）解：如图，作DE∥y轴交AC于点E，设AC所在直线解析式为y=mx+n，将−1,−4，−4,−1代入y=mx+n，得−4=−m+n−1=−4m+n，解得m=−1n=−5，∴y=−x−5，将y=0代入y2=x+3得x+3=0，解得x=−3，∴点D坐标为−3,0，把x=−3代入y=−x−5得y=−2，∴点E坐标为−3,−2，DE=2，∴S△ACD=S△CDE+S△ADE＝12 DE •（xD−xC）+12 DE•（xA−xD）=12×2×[−3−−4]+12×2×[−1−−3]=3．∴四边形AODC的面积=S△ACD+S△AOD=3+12×3×4=9．（3）解：由图象可得当−4≤x<0或x≥1时，曲线在直线BC下方，∴当y1≤y2 时，−4≤x<0或x≥1．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，一次函数解析式，求出函数解析式是解题的关键．【变式21-3】（2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y=nx图象于Am,4，B3,2两点．(1)求直线CD的表达式；(2)点E是线段OD上一点，若S△AEB=113，求E点的坐标；(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>nx的解集．【答案】(1)y=−43x+6(2)0,109(3)x<0或32nx，∴不等式kx+b>nx的解集为x<0或32