08-专项素养综合全练(八)关于整式和分式的规律探究——2024年沪科版数学七年级下册精品同步练习

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第9章　分式专项素养综合全练(八)关于整式和分式的规律探究类型一　整式规律探究1.(2023安徽淮北月考)观察下列等式:第1个等式:2×(12-1+1)-1=13;第2个等式:3×(22-2+1)-1=23;第3个等式:4×(32-3+1)-1=33;第4个等式:5×(42-4+1)-1=43;第5个等式:6×(52-5+1)-1=53;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.2.【新独家原创】观察下列等式:第1个等式:(4×1)2+1=52-8×1;第2个等式:(4×2)2+1=92-8×2;第3个等式:(4×3)2+1=132-8×3;第4个等式:(4×4)2+1=172-8×4;……根据上述规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　; (2)写出第n个等式(用含n的等式表示),并证明.3.(2023安徽合肥庐阳中学三模)观察下列等式的规律,并解答问题.第1个等式:12+22-32=1×a-b;第2个等式:22+32-42=2×0-b;第3个等式:32+42-52=3×1-b;第4个等式:42+52-62=4×2-b;……(1)a=　　　,b=　　　; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.4.(1)观察下列图形中小圆点的个数与对应等式的关系,并填空:　　　　……(2)按照以上规律,写出你猜想的图n对应的等式(用含n的等式表示),并证明.类型二　分式规律探究5.(2023安徽合肥二模)观察以下等式:第1个等式:23=12+16;第2个等式:25=13+115;第3个等式:27=14+128;第4个等式:29=15+145;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　; (2)写出你猜想的第n个等式,并证明你的结论.6.(2023安徽合肥三模)观察以下等式:第1个等式:22+14=1+14;第2个等式:43+19=1+49;第3个等式:64+116=1+916;第4个等式:85+125=1+1625;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.7.(2023安徽合肥包河三模)观察以下等式:第1个等式:12+1×(4-1)=92;第2个等式:12+12×(9-1)=8;第3个等式:12+13×(16-1)=252;第4个等式:12+14×(25-1)=18;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:　　　　　　　　; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.8.(2023安徽合肥期末)观察以下等式:第1个等式:1-122=12×32;第2个等式:1-132=23×43;第3个等式:1-142=34×54;第4个等式:1-152=45×65;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并说明理由.第9章　分式专项素养综合全练(八)关于整式和分式的规律探究全练版P821.　解析　(1)因为第1个等式:2×(12-1+1)-1=13,第2个等式:3×(22-2+1)-1=23,第3个等式:4×(32-3+1)-1=33,第4个等式:5×(42-4+1)-1=43,第5个等式:6×(52-5+1)-1=53,所以第6个等式为7×(62-6+1)-1=63.故答案为7×(62-6+1)-1=63.(2)猜想第n个等式为(n+1)×(n2-n+1)-1=n3.证明:(n+1)×(n2-n+1)-1=n3-n2+n+n2-n+1-1=n3+(-n2+n2)+(n-n)+(1-1)=n3,故等式成立.2.　解析　(1)(4×5)2+1=212-8×5.(2)第n个等式:(4n)2+1=(4n+1)2-8n.证明:因为左边=16n2+1,右边=16n2+8n+1-8n=16n2+1,所以左边=右边,所以等式成立.3.　解析　(1)由题意得a=-1,b=3.(2)猜想第n个等式为n2+(n+1)2-(n+2)2=n(n-2)-3.证明:因为左边=n2+(n2+2n+1)-(n2+4n+4)=n2+n2+2n+1-n2-4n-4=n2-2n-3,右边=n2-2n-3,所以左边=右边,所以等式成立.4.　解析　(1)题图1对应的等式为4×1+12=32-4,题图2对应的等式为4×2+22=42-4,所以题图3对应的等式为4×3+32=52-4,题图4对应的等式为4×4+42=62-4.故答案为52-4;4×4+42;62-4.(2)猜想题图n对应的等式为4n+n2=(n+2)2-4.证明:右边=n2+4n+4-4=n2+4n,左边=4n+n2,所以左边=右边,所以等式成立.5.　解析　(1)213=17+191.(2)猜想第n个等式为22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1).证明:1n+1+1(n+1)(2n+1)=2n+1+1(n+1)(2n+1)=22n+1,故猜想成立.6.　解析　(1)106+136=1+2536.(2)猜想第n个等式为2nn+1+1(n+1)2=1+n2(n+1)2.证明:2nn+1+1(n+1)2=2n(n+1)+1(n+1)2=2n2+2n+1(n+1)2=n2+2n+1+n2(n+1)2=(n+1)2+n2(n+1)2 =1+n2(n+1)2,所以等式成立.7.　解析　(1)12+15×(362-1)=492.(2)猜想第n个等式为12+1n×[(n+1)2-1]=(n+2)22.证明:12+1n×[(n+1)2-1]=n+22n·(n2+2n+1-1)=n+22n·(n2+2n)=n+22n·n(n+2)=(n+2)22,所以等式成立.8.　解析　(1)1-172=67×87.(2)猜想的第n个等式为1-1(n+1)2=nn+1·n+2n+1.理由:因为左边=(n+1)2-1(n+1)2=n2+2n(n+1)2,右边=n2+2n(n+1)2,所以左边=右边,所以等式成立.