数学七年级下册12.2 证明随堂练习题

这是一份数学七年级下册12.2 证明随堂练习题，共22页。
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，a∥b，AB⊥AC，若∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．30°
2．如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，下列推理中正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD
C．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD
5．如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（ ）
A．由∠1＝∠5，可以推出AD∥BC
B．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
C．由∠1+∠4＝90°，可以推出AB∥CD
D．由∠ABC+∠BCD＝180°，可以推出AD∥BC
6．如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B+∠BDC＝180°B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠BD．∠1＝∠2
7．如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
8．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
9．如图，已知点P是射线ON上一动点（可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A满足（ ）时，△AOP为钝角三角形．
A．0°＜∠A＜60° B．90°＜∠A＜180°
C．60°＜∠A＜90° D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
10．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°．要使a∥b，则∠2的度数应为 °．
12．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：
∵ ，∴a∥b．
13．如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 个．
14．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 时，CD∥AB．
15．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于 度．
16．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝ ．
17．如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
18．小明在将一个多边形的内角逐个相加时，把其中一个内角多加了一次，错误地得到内角和为840°，则这个多边形的边数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1∠ ，∠2∠ （ ）．
∵BE∥CF（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
∴∠ABC∠BCD（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）．
∴AB∥CD（ ）．
（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
20．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EF∥CD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
21．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
22．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE．
（1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 ．
（3）由此可以探究并得到：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相 ．
23．（1）读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D ∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：
写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
24．在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
【分析】先根据垂直的性质可得∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
【解析】∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°．
2．D
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解析】
∵a∥b，c∥d，
∴∠2＝∠3，∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠3＝∠4，∠2＝∠5，
∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠5＝180°，
3．B
【分析】分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可．
【解析】①符合对顶角的性质，故本小题正确；
②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；
③符合平行线的判定定理，故本小题正确；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．
4．C
【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．
【解析】A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；
D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确；
C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误．
5．B
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】A、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠6，∴AD∥BC，故本选项正确；
C、由∠1+∠4＝90°无法证明AB∥CD，故本选项错误；
D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误．
6．D
【分析】A、利用同旁内角互补两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
B、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
C、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
D、利用内错角相等两直线平行，得到AC与BD平行，本选项符合题意．
【解析】A、∵∠B+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
C、∵∠5＝∠B，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
D、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，本选项符合题意．
7．D
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解析】A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A+∠ABC＝180°能不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，可得∠A+∠ADC＝180°，能推出AB∥CD，故本选项符合题意．
8．B
【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．
②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．
④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．
【解析】∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB∠CGE，故④正确，
9．D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此即可得出结论．
【解析】∵当∠A与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，
∴0°＜∠A＜60°，
∵当∠A大于90°时候此三角形为钝角三角形，
∴90°＜∠A＜150°．
综上所述，0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°．
10．D
【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．
【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，
∴∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11． 140 °．
【分析】根据∠3和∠1的是邻补角可求∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2．
【解析】∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝140°．
故答案为：140．
12． ∵ ∠4＝∠1
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
【解析】∵∠4＝∠1，
∴a∥b．
故答案为：∠4＝∠1．
13．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解析】（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
14． 30°或150°
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解析】如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
15．
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【解析】如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC；
…
以此类推，∠En∠BEC．
∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
16． 45° ．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠BFD的度数，本题得以解决．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
17． 360° ．
【分析】根据一周角等于360°以及对顶角相等可得以O为顶点的三个内角的和为180°，再根据三角形内角和定理解答即可．
【解析】如图所示，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：360°．
18． 六 ．
【分析】首先设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则可得方程（n﹣2）•180°＝840°﹣α，由于多边形内角和应是180°的倍数与840°＝4×180°+120°，即可求得答案．
【解析】设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝840°﹣α，
∵840°＝4×180°+120°，多边形内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个内角为120°，
∴这是4+2＝6边形的内角和，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：六．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义，可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定，即可得出AB∥CD；
（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【解析】（1）∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）
∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（角平分线的定义）
∵BE∥CF（已知）
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABC∠BCD（等量代换）
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
故答案为：ABC；BCD；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）两个互逆的真命题为：
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
20．
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解析】（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD（答案不唯一），
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
（2）①、①③；②，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
21．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．
【解析】（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为3
（2）如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；
22．
【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可得出∠1＝∠EFD，由“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出∠BEF＝∠CFE，进而得出∠3＝∠4，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出AB∥CD；
（2）结合（1）的结论即可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行；
（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”结合角平分线的性质即可得出命题：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．
【解析】（1）EM∥FN．
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠EFD+∠2＝180°，
∴∠1＝∠EFD，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE．
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3＝∠4，
∴EM∥FN．
（2）由（1）可知EM∥FN，
∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．
故答案为：平行．
（3）由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：
如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：垂直
23．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【解析】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
故答案为：＝；
（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．
24．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．