高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用课堂检测，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列四个残差图中回归模型的拟合效果最好的是( )
A B
C D
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与
试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算得R2＝0.95，又知残
A．241.1B．245.1
C．2 411D．2 451
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sinα＋1，为将y转化为t的线性经验回归方程，则需作变换t等于( )
A．sin2αB．(sinα＋1)2
C．sin2α＋1D．以上都不对
5．某同学将收集到的六组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)制成如图所示的散点图，并通过计算得到其经验回归直线l1的方程为y＝0.68x＋，其样本相关系数为r1，决定系数为．经过残差分析确定点F为“离群点”(对应残差过大的点)，把它去掉后，再利用剩下的五组数据计算得到其经验回归直线l2的方程为＝x＋0.68，其样本相关系数为r2，决定系数为．则以下结论中不正确的是( )
B．
C．＝0.12 D．0<<0.68
二、填空题
6．已知经验回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是________．
7．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x+1的图象附近，设u＝ln y，则可通过转换得到经验回归方程____________．
8．(2023·河南郑州期末)2022年9月1日至23日(日期代码分别为1，2，…，23)，某餐馆在区域M内投放广告单数量y(万张)与日期代码x的数据满足回归方程＝，则＝________(精确到小数点后两位)．
参考数据：y1y2y3·…·y23＝e89.7＝12．
三、解答题
9．已知x与y之间的数据如表：
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)完成下面的残差表，并判断(1)中线性回归模型的拟合效果是否良好．(若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果良好)
＝－R2＝1－
10．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝0.2x＋3，则c，k的值分别是 ( )
A．e2，0.6B．e2，0.3
C．e3，0.2D．e4，0.6
11．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示：
根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是( )
A．第三个样本点对应的残差3＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差3＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的
12．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝，其一组数据如表所示：
若x＝5，则预测y的值可能为( )
A．e5 B． C．e7 D．
13．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的经验回归方程为＝0.813 5x＋．该市对外来务工人员中选择留在当地过年的人员每人补贴1 000元，该市F区有10 000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F区需要给外来务工人员中选择留在当地过年的人员的补贴总额为________万元．(参考数据：0.813 5×36≈29.29)
14．耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为y＝x＋0.88．
(1)求，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；
(2)①完成上述残差表；
②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2＝0.8，就说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的．请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？
附：残差公式i＝yi－i，
决定系数．
15．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如图所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx＋a来拟合，令z＝ln y，结合样本数据可知：z与温度x可用经验回归方程来拟合．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
(1)求z关于温度x的经验回归方程(回归系数结果精确到0.001)；
(2)求产卵数y关于温度x的经验回归方程；若该地区一段时间内的气温在26 ℃～36 ℃之间(包括26 ℃与36 ℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．(参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其经验回归方程＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为
课时分层作业(二十一)
1．B [B选项显示的残差分布比较集中，且成窄带状分布，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定．]
2．D [残差平方和越小，拟合效果越好．]
3．C [由题意知残差平方和
又R2＝1－
4．B [因为y是关于t的线性经验回归方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．]
5．B [由题图可知两变量正线性相关，故r1>0，r2>0，且r16．0.03 [因为残差＝yi－，所以残差平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03．]
7．u＝1＋ln3＋2x [由y＝3e2x+1，得lny＝ln(3e2x+1)，即lny＝ln3＋2x＋1．
则经验回归方程为u＝1＋ln3＋2x．]
8．0.29 [对的两边取自然对数，得lnx＋0.38，所以lny与x具有线性相关关系．
因为ln(y1y2y3·…·y23)＝lne89.7＝89.7，
所以＝3.9，
所以3.9＝12＋0.38，所以≈0.29．故答案为0.29．]
9．解：(1)由题中表格数据可得＝4＝5
则＝＝0.08，
故＝1.23x＋0.08．
(2)设i＝yi－i，所以1＝－0.34，2＝0.03，3＝0.5，4＝0.27，5＝－0.46，则残差表如表所示，
＝(2.2－5)2＋(3.8－5)2＋(5.5－5)2＋(6.5－5)2＋(7－5)2＝15.78，
所以R2＝1－≈0.96>0.9，
所以该线性回归模型的拟合效果良好．
10．C [因为y＝cekx，
所以等式两边同时取对数可得lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝kx＋lnc．
因为z＝lny，所以上式可化为z＝kx＋lnc．
因为＝0.2x＋3，则k＝0.2，lnc＝3，
所以c＝e3，k＝0.2．]
11．C [由题意得＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，
由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；
在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，
则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．]
12．D [将式子两边取对数，得到lnx－0.5，
令＝lnx－0.5，
列出x，的取值对应的表格如下：
则＝2.5，＝3.5，
∵(x－0.5，
∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，
∴＝1.6x－0.5，∴＝e1.6x-0.5，
当x＝5时，＝e1.6×5-0.5＝．]
13．818.6 [由题意得，
＝3600，
＝＝2980，
因为经验回归直线一定过样本点的中心()，
所以2980＝0.8135×3600＋≈51，
即＝0.8135x＋51．
当x＝10000时，＝0.8135×10000＋51＝8186，
所以估计补贴总额为8186×0.1＝818.6(万元)．]
14．解：(1)经计算，＝5，＝0.48，
由0.48＝5＋0.88可得，＝－0.08，
当x＝8时，＝－0.08×8＋0.88＝0.24，所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨．
(2)①由(1)知＝－0.08x＋0.88，从而有
②R2＝1－＝1－≈0.98，
所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．
15．解：(1)由z和温度x可以用经验回归方程拟合，设x＋，
＝3.537－0.255×27＝－3.348．
∴z关于x的经验回归方程为＝0.255x－3.348．
(2)由(1)可得lny＝0.255x－3.348，
于是产卵数y关于温度x的经验回归方程为＝e0.255x-3.348．
当x＝26时，＝e0.255×26-3.348＝e3.282≈27；
当x＝36时，＝e0.255×36-3.348＝e5.832≈341．
∵函数＝e0.255x-3.348单调递增，
∴气温在26℃~36℃之间时，该品种一只昆虫的产卵数的估计范围是[27，341]内的正整数．
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
x
2
3
4
5
6
yi－i
广告支出费用x
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量y
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
地区
A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5 000
4 000
3 500
3 000
2 500
留在当地过年的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
海水浓度xi/‰
3
4
5
6
7
亩产量yi/吨
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差i
27
74
3.537
182
11.9
46.418
x
2
3
4
5
6
yi－i
－0.34
0.03
0.5
0.27
－0.46
x
1
2
3
4
1
3
4
6
海水浓度xi(‰)
3
4
5
6
7
亩产量yi(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
－0.02
0.02
0.01
0
－0.01