高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是( )
A．0 B．256 C．64 D．
2．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n·x2n(n∈N*)，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A．2nB．
C．2n+1D．
3．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
5．(2023·辽宁省沈阳四中周测)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．(2023·石家庄模拟)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
7．(2023·南通模拟)设(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则＝________．
8．在的二项展开式中，常数项是8，则实数a的值是________，第________项的二项式系数最大．
三、解答题
9．已知(n∈N*)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
10．(多选)(2023·如皋市模拟)设(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列说法正确的是( )
A．a0＝1
B．a1＋a2＋…＋a10＝310－1
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项
D．a2＝9a1
11．(多选)(2023·鼓楼区校级模拟)关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为0
C．常数项为－20
D．系数最大的项为第3项
12．(多选)(2023·泰州模拟)若＋…＋(1＋x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，则( )
A．a0＝2 022
B．a2＝
13．设
2的值为________．
14．在的展开式中．
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
15．(多选)(2023·江苏模拟)已知(2x＋1)(22x＋1)·(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，下列说法正确的是( )
A．设bn＝a1，则数列{bn}的前n项的和Sn＝2n+2－2n－4
B．a2＝
C．an－1＝－n(n∈N*)
D．数列(n∈N*)为等比数列
课时分层作业(九)
1．D [由已知得即5因为n∈N*，所以n＝6．令x＝1，则原式＝．]
2．D [令x＝1，可得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
令x＝－1，可得1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3n＋1，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝．]
3．D [512012＋a＝(52－1)2012＋a＝×522012－×522011＋…－×521＋1＋a．又因为52是13的倍数，所以只需a＋1是13的倍数，因为0≤a<13，所以a＋1＝13，所以a＝12．]
4．A [令x＝－1，
则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2
＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2．]
5．B [根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为，而(x＋y)2m+1展开式中二项式系数的最大值为＝a，＝b．
又13a＝7b，所以13＝7，
即13×＝7×，
解得m＝6．]
6．5 10 [a1即为展开式中x3的系数，所以a1＝(－1)0＋＝5；
令x＝1，则有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，
所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10．]
7．1 [令x＝0，则a0＝1，令x＝－，则a0－－…＋＝0，
则＋…－＝a0＝1．]
8．－1 3 [的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝＝·24-k·(－a)k·，所以当k＝3时为常数项，代入可得·24-3·(－a)3＝8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数的性质可知第3项二项式系数最大．]
9．解：(1)由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得2n-1＝64，所以n＝7，
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．
因为的展开式的通项为
Tk＋1＝(2x2)7-k(－1)k
所以的展开式中二项式系数最大的项为T4＝，T5＝280x2．
(2)由(1)知n＝7，且的展开式中x-1项为T6＝，x2项为T5＝280x2，
所以展开式的常数项为2×(－84)＋1×280＝112．
10．ABD [令x＝0，得a0＝1，故A正确；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(1＋2)10＝310，
即a1＋a2＋…＋a10＝310－1，故B正确；展开式共11项，二项式系数最大的是第6项，故C错误；a2＝·22＝180，a1＝×21＝20，则a2＝9a1成立，故D正确，故选ABD．]
11．BC [可以化为，
则的展开式的通项为Tk＋1＝
令6－2k＝0，则k＝3，所以展开式的常数项为＝－20，故C正确；因为n＝6，则二项式系数最大的项为第4项，此时T4＝(－1)3x0＝－20＜0，所以系数最大的项为第3项与第5项，故D错误；展开式的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－1)6＝0，故B正确．故选BC．]
12．ABD [令x＝0，则2022＝a0，故A正确；
因a2为x2的系数，故a2＝＋…＋，故B正确；
令x＝－1，则0＝a0－a1＋a2－a3＋a4…－a2021＋a2022，
＝－a0＝－2 022，故C错误；
对所给等式两边求导得，1＋2(1＋x)＋3(1＋x)2＋…＋2022(1＋x)2021＝a1＋2a2x＋…＋2022a2022x2021，
令x＝－1，则1＝a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋2021a2021－2022a2022，
故D正确．故选ABD．]
13．1 [令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，
令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)
＝(＋1)10(－1)10＝1．]
14．解：(1)由题意得＝2，
所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14．
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
所以T4的系数为，
T5的系数为24＝70，
故展开式中二项式系数最大的项的系数为，70；
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
所以T8的系数为27＝3 432，
故展开式中二项式系数最大的项的系数为3432．
(2)由题意知＝79，
整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12或n＝－13(舍去)，故n＝12．
设展开式中第k＋1项系数最大，
因为(1＋4x)12，
则
所以9.4≤k≤10.4．
因为k∈{0，1，2，…，12}，所以k＝10．
所以系数最大的项为T11，
且T11＝(4x)10＝16 896x10．
15．AD [对A，a1为x项系数，即每个括号中只有一个括号取x，其余都取1，
则a1＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n+1－2＝bn，
所以Sn＝－2n＝2n+2－2n－4，故A正确；
对B，a2为x2项系数，有2个括号取x，其余取1，
则a2＝2×22＋2×23＋…＋2×2n＋22×23＋22×24＋…＋22×2n＋…＋2n-1×2n
＝(23＋24＋…＋2n+1)＋(25＋26＋…＋2n+2)＋(27＋28＋…＋2n+3)＋…＋22n-1
＝＋…＋＝(2n+2－23)＋(2n+3－25)＋(2n+4－27)＋…＋(22n－22n-1)＝×22n+2－2n+2＋，故B错误；
对C，an-1即为xn-1项系数，仅有1个括号取1，其余取x，
则an－1＝2×22×23×…×2n×
＝，故C错误；
对D，an＝2×22×23×…×2n＝，
所以－1＝－1＝－＝－，
所以(n∈N*)是首项为－的等比数列，故D正确．故选AD．]