2024年陕西省中考数学模拟试卷18

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷18，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列各数中，负数是
A．B．C．D．
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3.下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4.如图，中，，则的度数是（ ）
B．
C．D．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．
C．D．
6.将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
7.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ）
A．3B．5
C．D．
8.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
第二部分（非选择题共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.分解因式：
10.正十边形的每一个外角的度数为
11.把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为
12.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
13如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为
三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算计算：
15.解不等式组：
16.先化简，再求值：，其中．
17.如图，点是正方形，的中心．用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
18.如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．求证：≌；
19.某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，求该商品的成本。
20.为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，
（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
21.“2021湖南红色文化旅游节—重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月2日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角，塔顶D的仰角，斜坡米，求宝塔的高（精确到1米）（参考数据：
22.跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如有表：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
(3)某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
23.1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

(1)___________，___________；
(2)请分别求出，与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
24.如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
26在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ °；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
2024年陕西省中考数学模拟试卷
第一部分（选择题共 24 分）
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列各数中，负数是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、，故此选项错误；B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；D、，故此选项错误，故选B．
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】
A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
3.下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
【详解】
A、与不是同类项，不可合并，此项错误
B、，此项错误
C、，此项错误
D、，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键．
4.如图，中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
【详解】
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出角的度数．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
6.将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】
解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为
故选:A
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
7.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴BD==5，
设AE的长度为x，
由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2，
∴x2+22=（4-x）2，
解得：x=，ED=4-=，
设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，
∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2，
∴y2+12=（3-y）2，
解得：x=，DF=3-=，
在Rt△DEF中，EF=，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE和DF的长度是解题的关键．
8.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【详解】
解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
第二部分（非选择题共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
原式=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
10.正十边形的每一个外角的度数为
【答案】36°
【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
11.把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为
【解析】
【分析】
根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】
如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
12.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
【答案】
【分析】
先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
13如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
【答案】125°
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算计算：
【答案】
【分析】
先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】
解：

．
【点睛】
本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
15.解不等式组：
分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：
，
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
16.先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】
先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．
【详解】
解：原式
．
∵
∴原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．
17.如图，点是正方形，的中心．
用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析；
【分析】作BC的垂直平分线即可求解；
【详解】如图所示，点即为所求．
18.如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．求证：≌；
【答案】证明过程见解析；
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
【详解】
∵四边形平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
根据题可知，，
在△AOF和△COE中，
，
∴≌．
【点睛】
本题中主要考查了全等三角形的判定和性质，准确运用条件进行判断是解题的关键．
19.某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，求该商品的成本。
【答案】250元
【解析】
【分析】
设该商品的售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，列方程求出售价，继而可求出成本．
【详解】
设该商品的售价为x元，
由题意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
则成本价为：300×0.75+25=250（元）．
【点睛】
考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．
20.为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，
（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【答案】（1）随机；（2）
【分析】
（1）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的结果无法确定．根据定义可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到都被选中的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）由随机事件的定义可得：
“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案：随机．
（2）画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中都被选中的结果数有种，
A，B两名志愿者被选中的概率
【点睛】
本题考查的是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键．
21.“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角，塔顶D的仰角，斜坡米，求宝塔的高（精确到1米）（参考数据：）
【答案】宝塔的高约为27米．
【分析】
先在中，解直角三角形分别求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得．
【详解】
解：在中，（米），
（米），
在中，（米），
则，
，
，
（米），
答：宝塔的高约为27米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
22.跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
(3)某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解；
（2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
【详解】（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键．
23.1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

(1)___________，___________；
(2)请分别求出，与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【答案】(1)，30；(2)，；(3)或
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，30；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）由题意可得或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
24.如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；
（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出，继而运用相似比即可求出的长．
【详解】
解：（1）证明：∵是的直径
∴（直径所对的圆周角是直角）
即
∵
∴（等边对等角）
∵
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴
∵，
∴
∴即
∴
又∵是的直径
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤4．
26在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ 90 °；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．
②利用四点共圆的性质解决问题即可．
（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．
（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFC，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF．
②结论：∠ACE＝90°．
理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
故答案为90．
（2）结论：∠ACE＝90°．
理由：如图2中，
∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
（3）如图3中，连接EK．
∵∠BAC+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE，
∴ECAB=EFAF=13，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a−163，
∵DA＝DE，DK⊥AE，
∴AP＝PE，
∴AK＝KE＝3a−163，
∵EK2＝CK2+EC2，
∴（3a−163）2＝（163）2+a2，
解得a＝4或0（舍弃），
∴EC＝4，AB＝AC＝12，
∴AE=AC2+EC2=42+122=410，
∴DP＝PA＝PE=12AE＝210，EF=14AE=10，
∴PF＝FE=10，
∵∠DPF＝90°，
∴DF=DP2+PF2=(210)2+(10)2=52．
平均数
众数
中位数
145