2024年陕西省中考数学模拟试卷16

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷16，共31页。试卷主要包含了下列各数中，属于无理数的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列各数中，属于无理数的是
A．B．1.414C．D．
2.如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6.数据12、15、18、17、10、19的中位数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
7.一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°
C．55°D．60°
8.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9.如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
B．
C．2D．
10.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
B．函数的最大值为
当时，
D．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计 18 分）
11._______．
12.分解因式：=______．
13.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比是 .
14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
15.若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）
16.在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．
三．解答题（共 9 小题，计 72 分.解答应写出过程）
17.计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cs60°+（13）﹣1．
18.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD；
某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；
D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
20.如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB和BC分别长多少米？
21.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，___________，___________，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
22.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
23.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，BECE=12，求CD的长．
24.如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．
25.在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ 90 °；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
2024 年陕西省中考数学模拟试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列各数中，属于无理数的是
A．B．1.414C．D．
【答案】C
【解析】=2是有理数；是无理数，故选C．
2.如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答．
【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键．
3.如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以求得y与x的函数关系式，然后令y＝7.5，求出x的值，即此时x的值就是a的值，本题得以解决．
【详解】
解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，
即a的值为3，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
由①得：x＞1，
由②得：x≤4，
不等式组的解集为：1＜x≤4，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．
6.数据12、15、18、17、10、19的中位数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即可求出这组数据的中位数．
【详解】
解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是=16．
故选：C．
【点睛】
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及直角三角板的各角度数，解答关键是根据利用平行线的性质找到相应角度之间的关系.
8.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，根据一元二次方程根的判别式值为零，求可解．
【详解】
解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得，
故应选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解答时注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．
9.如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=，
∴AP=+PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP=+PC，
∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=PC，
∴=+PC-PC=，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．
10.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．函数的最大值为
C．当时，D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计 18 分）
11._______．
【答案】2．
【分析】分别根据绝对值的性质、0指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可．
【详解】解：，
故答案是：2．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键．
12.分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
13.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比是 .
【答案】3：1
【分析】
根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】
解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故选D．
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
【答案】．
【分析】
延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】
解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴，
∵，
∴，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．
15.若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）
【答案】<
【分析】
先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．
【详解】
解：∵
∴
即
∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大
∵1<3
∴<
故答案为：<．
【点睛】
本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．
16.在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 92+9 ．
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．
【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，
∴CM＝OC+OM＝32+3，
∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．
故答案为：92+9．
三．解答题（共 9 小题，计 72 分.解答应写出过程）
17.计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cs60°+（13）﹣1．
【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝5﹣1+2×12+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人．
【解析】（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；
（3）1500×660=150（人），
答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．
20.如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为 152 米，BC为 202 米．
【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝152（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝252，BN＝102，
∴AB＝AN﹣BN＝152（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH＝3x，CH＝5x，
∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x−10，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝202，
故答案为：152，202．
21.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】(1)，详见图示
(2)，，
(3)
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示

故答案为：50；
（2）由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
（3）用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：

共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．
22.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可；
（2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可．
【解析】（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：
（10﹣8）×（600﹣a）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为（350，400），
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：
350k+b=400800k+b=1200，解得k=169b=−20009，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为y=169x−20009．
23.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，BECE=12，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴BCAC=CDAD=12，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
24.如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．
【答案】（1），（4，）；（2）在，理由见解析；（3）22．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法将B、C两点坐标直接代入解析式即可求出a、b，用配方法将解析式变形为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，继而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO= ，从而∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线；
（3）由平移规律可知，AF//OB，根据 直线OB解析式求出直线AF解析式，进而求出直线AF与抛物线交点，得F坐标，即可四边形的面积等于四边形AODF面积即可解．
【详解】
解：把点，点代入抛物线解析式得：
，解得，
即抛物线解析式为：，
∴，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：，（4，）；
（2）∵与y轴交于A点，
∴A点坐标为(0，4)，
又∵B点坐标为(8，4)，故AB⊥y轴，
∵AM⊥OB，
∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，
∴∠MAO=∠B，
∵OA=4，AB=8，
∴tan∠MAO= tan∠B=，
将沿轴翻折，点的对应点为点．
∴tan∠MAO= tan∠NAO =，
又∵ OC=2，tan∠CAO，
∴∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线，
故N点直线AC上；
（3）∵B点坐标为(8，4)，
∴直线OB解析式为，
平移规律可知，AF//OB，又因为点A坐标为，
∴直线AF解析式为，
联立解析式得方程组： ，解得，，
故F点坐标为：，
由平移性质可知四边形AODF是平行四边形，≌．
∴四边形的面积=平行四边形AODF面积，
∵平行四边形AODF面积=，
∴四边形的面积为22．
【点睛】
本题是函数与几何综合题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数、一次函数的应用、解直角三角形、平移、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会构建直角三角形求点坐标，学会构建一次函数，利用方程组求两函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．
25.在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ 90 °；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．
②利用四点共圆的性质解决问题即可．
（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．
（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFC，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF．
②结论：∠ACE＝90°．
理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
故答案为90．
（2）结论：∠ACE＝90°．
理由：如图2中，
∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
（3）如图3中，连接EK．
∵∠BAC+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE，
∴ECAB=EFAF=13，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a−163，
∵DA＝DE，DK⊥AE，
∴AP＝PE，
∴AK＝KE＝3a−163，
∵EK2＝CK2+EC2，
∴（3a−163）2＝（163）2+a2，
解得a＝4或0（舍弃），
∴EC＝4，AB＝AC＝12，
∴AE=AC2+EC2=42+122=410，
∴DP＝PA＝PE=12AE＝210，EF=14AE=10，
∴PF＝FE=10，
∵∠DPF＝90°，
∴DF=DP2+PF2=(210)2+(10)2=52．
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．