中考数学考点集训分类训练4 方程(组)及其应用(含答案)

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A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
2(2022株洲)对于二元一次方程组y=x-1,①x+2y=7,②将①式代入②式,消去y可以得到( )
A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7 C.x+x-1=7D.x+2x+2=7
3(2022随州)已知二元一次方程组x+2y=4,2x+y=5,则x-y的值为 .
4(2022呼和浩特)解方程组4x+y=5,x-12+y3=2.
5(2022荆州)已知方程组x+y=3,①x-y=1②的解满足2kx-3y<5,求k的取值范围.
命题点2解分式方程
6(2022北京)方程2x+5=1x的解为 .
7(2022成都)分式方程3-xx-4+14-x=1的解是 .
8(2022常德)方程 2x+1x(x-2)=52x的解为 .
9(2022苏州)解方程:xx+1+3x=1.
10(2022青海)解方程:xx-2-1=4x2-4x+4.
命题点3分式方程的解的应用
11(2022德阳)如果关于x的方程2x+mx-1=1的解是正数,那么m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m>-1且m≠0 C.m<-1 D.m<-1且m≠-2
12(2021达州)若分式方程2x-ax-1-4=-2x+ax+1的解为整数,则整数a= .
命题点4一元二次方程的解法及解的应用
13(2022天津)方程x2+4x+3=0的两个根为( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
14(2022临沂)方程x2-2x-24=0的根是( )
A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
15(2022宜宾)已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为( )
A.0 B.-10 C.3 D.10
16(2022广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
17(2022黄冈)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1·x2的值是 .
18(2022鄂州)若实数a,b分别满足a2-4a+3=0, b2-4b+3=0,且a≠b,则1a+1b的值为 .
19(2022无锡)解方程:x2-2x-5=0.
20(2022齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.
命题点5一元二次方程根的判别式
21(2022北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )
A.-4 B.-14 C.14 D.4
22(2022抚顺)下列一元二次方程无实数根的是( )
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
23(2022滨州)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为( )
A.无实数根
B.有两个不等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定
24(2022随州)已知关于x的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1x2=5,求k的值.
25(2022南充)已知关于x的一元二次方程 x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
命题点6方程的实际应用
角度1变化率问题
26(2022重庆A卷)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.200(1+x)2=242B.200(1-x)2=242
C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=242
27(2022哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是( )
A.150(1-x2)=96B.150(1-x)=96
C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96
角度2购买、销售问题
28(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件 元.
29(2022重庆A卷)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 .
30(2022广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价分别是多少.
角度3分配问题
31(2021北京)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为 .第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn的值为 .
角度4生产、工程问题
32(2022云南)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.400x-50=300xB.300x-50=400x
C.400x+50=300xD.300x+50=400x
33(2022宜昌)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量.
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
角度5行程问题
34(2022济宁)一辆汽车开往距出发地420 km的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10 km,则提前1 h到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是( )
A.420x=420x-10+1B.420x+1=420x+10
C.420x=420x+10+1D.420x+1=420x-10
35(2022重庆A卷)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
角度6几何问题
36(2022泰州)如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少?
角度7其他问题
37(2022宜昌)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( )
A.30B.26C.24D.22
38(2022安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.
注:进出口总额=进口额+出口额.
(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.
分类训练4 方程(组)及其应用
1.C
2.B 【解析】 将①代入②,得x+2(x-1)=7,去括号,得x+2x-2=7.
3.1 【解析】 x+2y=4,①2x+y=5,②②-①,得x-y=5-4=1.
4.【参考答案】 4x+y=5, ①x-12+y3=2,②
由②,得3x+2y=15,③
①×2-③,得5x=-5,
解得x=-1.
把x=-1代入①,得y=9,
故方程组的解为x=-1,y=9.
5.【参考答案】 ①+②,得2x=4,∴x=2.
①-②,得2y=2,∴y=1.
将x=2,y=1代入2kx-3y<5,得4k-3<5,
解得k<2.
6.x=5 【解析】 方程两边同时乘x(x+5),得2x=x+5,解得x=5.检验:当x=5时,x(x+5)≠0.故x=5是原分式方程的解.
7.x=3 【解析】 去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.
8.x=4 【解析】 方程两边同乘2x(x-2),得2×2(x-2)+2=5(x-2),解得x=4.检验:当x=4时,2x(x-2)=16≠0,∴x=4是原方程的解.
9.【参考答案】 方程两边同乘以x(x+1),得x2+3(x+1)=x(x+1).
解方程,得x=-32.
经检验,x=-32是原方程的解.
10.【参考答案】 xx-2-1=4(x-2)2,
x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
故x=4是原方程的解.
11.D 【解析】 方程两边同时乘(x-1),得2x+m=x-1,解得x=-1-m.∵方程的解是正数,∴x>0,且x≠1,∴-1-m>0,且-1-m≠1,∴m<-1且m≠-2.
12.±1 【解析】 2x-ax-1-4=-2x+ax+1可变形为2x-2+2-ax-1-4=-2x-2+2+ax+1,即2+2-ax-1-4=-2+2+ax+1,∴2-ax-1=2+ax+1,∴(2-a)(x+1)=(2+a)(x-1),∴x=2a.又∵x为整数,且x≠±1,∴整数a=±1.
13.D 【解析】 方法一:∵x2+4x+3=0,∴x2+4x=-3,∴x2+4x+4=-3+4,∴(x+2)2=1,∴x+2=±1,∴x1=-1,x2=-3.方法二:x2+4x+3=0可化为(x+1)(x+3)=0,∴x1=-1,x2=-3.
14.B 【解析】 移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=25,即(x-1)2=25,∴x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.
15.A 【解析】 ∵m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,∴m2+2m-5=0,mn=-5,∴m2+2m=5,∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0.故选A.
16.1 【解析】 将x=1代入x2-2x+a=0,得1-2+a=0,∴a=1.
17.3 【解析】 ∵x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,∴x1·x2=ca=31=3.
18.43 【解析】 由题意得a,b是方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根,∴a+b=4,ab=3,∴1a+1b=a+bab=43.
19.【参考答案】 移项,得x2-2x=5,
配方,得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6,
开方,得x-1=±6,
解得x1=1+6,x2=1-6.
20.【参考答案】 等号两边同时开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x=1或x=-1.
21.C 【解析】 由题意可知Δ=1-4m=0,解得m=14.
22.C 【解析】 逐项分析如下:
23.A 【解析】 ∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0,∴一元二次方程2x2-5x+6=0无实数根.
24.【参考答案】 (1)依题意可得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,
化简,得4k-3>0,
解得k>34.
(2)依题意得x1x2=k2+1=5,
解得k1=2,k2=-2.
由(1)知k>34,故k=2.
25.【参考答案】 (1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0,
即32-4(k-2)=-4k+17≥0,
解得k≤174.
(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.
∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
∴k-2-3+1=-1,解得k=3.
26.A 【解析】 根据题意,得第二天揽件200(1+x)件,第三天揽件200(1+x)(1+x)=200(1+x)2(件),故200(1+x)2=242,故选A.
27.C 【解析】 第一次降价后,该种商品每件售价为150(1-x)元,第二次降价后,该种商品每件售价为150(1-x)2元,故150(1-x)2=96.
28.15 【解析】 设该商品的标价为每件x元,由题意得80%x-10=2,解得x=15.
29.3∶5 【解析】 根据题意设未知数,列表如表(1)所示.由“甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3”,可列方程5a-4b6a-3b=23,∴a=2b,可得表(2).设香樟原价为每棵m元,红枫原价为每棵n元,则16b(1-6.25%)·m(1-20%)+20b·n(1+25%)=16bm+20bn,∴12bm+25bn=16bm+20bn,∴m=54n,∴12bm25bn=12×54n25n=15n25n=35.
表(1)
表(2)
30.【参考答案】 设学生人数为x,
根据题意,得8x-3=7x+4,
解得x=7,
∴7x+4=53.
答:学生人数为7,该书单价为53元.
31.2∶3 12 【解析】 设第一天分配到A,B两条生产线的原材料分别为x吨、y吨,根据题意,得x+y=5,4x+1=2y+3, 解得x=2,y=3,故分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为2∶3.由题意得4(2+m)+1=2(3+n)+3,整理,得2m=n,故mn=12.
32.B 【解析】 由实际每天植树x棵,可知原计划每天植树(x-50)棵,根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”,可列方程为400x=300x-50.
33.【参考答案】 (1)设3月份再生纸产量为x吨,则4月份再生纸产量为(2x-100)吨.
由题意,得x+(2x-100)=800,
解得x=300,
∴2x-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意,得500(1+m%)·1 000(1+m2%)=660 000,
解得m1=20,m2=-320(不合题意,舍去),
∴m=20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为a吨,根据题意,
得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a,
∴1 200(1+y)2=1 500.
答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
34.C 【解析】 这辆汽车原计划的速度是 x km/h,则实际的速度是(x+10)km/h,原计划用时420x h,实际用时420x+10 h.由实际比原计划提前1 h到达目的地,可列方程为420x=420x+10+1.
35.【参考答案】 (1)设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千米/时,
由题意,得12×1.2x=12x+2,
解得x=20,
则1.2x=24.
答:甲骑行的速度是24千米/时.
(2)设乙骑行的速度是y千米/时,则甲骑行的速度是1.2y千米/时.
由题意,得301.2y+2060=30y,
解得y=15.
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.
则1.2y=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时.
名师点拨
由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准题中的等量关系;(3)设未知数;(4)根据找到的等量关系列出方程(组).
36.【参考答案】 设道路的宽应为x米,
由题意,得(50-2x)(38-2x)=1 260,
解得x1=4,x2=40(舍去).
答:道路的宽应为4米.
37.B 【解析】 设1艘大船可满载x人,1艘小船可满载y人,根据题意,得x+2y=32①,2x+y=46②,由①+②,得3x+3y=78,∴x+y=26,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26.
38.【参考答案】 (1)1.25x+1.3y
(2)由题意得x+y=520,1.25x+1.3y=520+140,
解得x=320,y=200,
∴1.25x=400,1.3y=260.
答:2021年进口额为400亿元,出口额为260亿元.
年份
进口额/
亿元
出口额/
亿元
进出口总
额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
选项
分析
是否符
合题意
A
Δ=1+8=9>0,方程有两个不相等的实数根.
否
B
Δ=4>0,方程有两个不相等的实数根.
否
C
Δ=1-20=-19<0,方程没有实数根.
是
D
Δ=4-4=0,方程有两个相等的实数根.
否
甲
乙
丙
香樟
4b
3b
9b
红枫
5a-4b
6a-3b
合计
5a
6a
7a
甲
乙
丙
合计
香樟
4b
3b
9b
16b
红枫
6b
9b
5b
20b
合计
10b
12b
14b