2023-2024学年福建省泉州实验中学八年级（上）段考数学试卷（二）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州实验中学八年级（上）段考数学试卷（二）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数3.1415926，364，1.010010001…，2− 5，π2，223，2.15中，无理数的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两个全等三角形的对应角相等
B. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C. 两个全等三角形的面积相等
D. 如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
3.下列说法正确的是( )
A. 4的平方根是2B. 16的平方根是±4
C. −36的算术平方根是6D. 25的平方根是±5
4.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
5.已知： 20n是整数，则满足条件的最小正整数n为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A. ∠C=90°，AB=6B. AB=4，BC=3，∠A=30°
C. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4D. AB=3，BC=4，CA=8
7.使式子 x−1|x|+2有意义的实数x的取值范围是( )
A. x≥1B. x>1且x≠−2C. x≠−2D. x≥1且x≠−2
8.如果ab>0，a+b<0，那么下列各式中正确的是( )
A. ab= a bB. ab× ba=1C. ab÷ ab=bD. ( ab)2=−ab
9.如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC=65°，则∠B的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 65°
D. 60°
10.如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动(不与B、C重合)，点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD=DE=DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为( )
A. 不变
B. 一直变小
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.−512的立方根是______．
12.比较大小：6 5 ______5 6．
13.已知 a+2为最简二次根式，且与 52能够合并，a= ______．
14.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是______．
15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=19，点E在BC上，CD/​/AB，连接AE、DE，若∠BAE=2∠CED，CD=5，则AE=______．
16.若y= 1−x+ x−12的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
计算：
(1) 3− 12+2 27；
(2) 18−( 2+1)2+( 3+1)( 3−1)；
(3)x xy2÷(−23 xy)×12 x4y；
(4)12x 4x+6x x9−2x2 1x．
18.(本小题6分)
实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：( c)2− (a+b)2+|b−c|+ (c−a)2．
19.(本小题7分)
如图所示，已知△ABC中，AB=AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE=CD，BD=CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG=12EF．
20.(本小题8分)
已知a= 11+4，b= 11−4，求下列代数式的值．
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab．
21.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，尺规作图，
(1)在线段AB上找一点E，使得E点到边BC的距离与到边AC的距离相等.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在线段BC上找一点D，使得S△ABD=S△ACD.(不要求写作法，保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
已知a、b为有理数，m、n分别表示5− 7的整数部分和小数部分．
(1)求m、n的值；
(2)若amn+bn2=1，求2a+b的值．
23.(本小题9分)
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ABD为等边三角形，连接CD．
(1)求∠ACD的度数；
(2)如图2，作∠BAC的平分线交CD于E，M为线段BC右侧一点，满足∠CMB=60°，求证：EM平分∠CMB．
24.(本小题11分)
小明在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴a−2=− 3，∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3．
∴a2−4a=−1，∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出1 n+2+ n= ______；
(2)化简1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119；
(3)若a=1 26−5，请按照小明的方法求出a3−11a2+9a+1的值．
25.(本小题13分)
在等腰△ABC中，AB=AC=nBC，点D和点E分别为AC和BC边上的点，AD=CE，AE与BD相交于点F．

(1)当n=1时，
①如图1，直接写出∠AFD的度数；∠AFD= ______．
②如图2，若AF=2BF，作AG⊥BD，垂足为G点，连接CG，求证：GF=GC．
(2)当n=32时，如图3，若AE+BD取得最小值，求出BEEC的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵364=4，
所以无理数有1.010010001…，2− 5，π2，共3个，
故选：C．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义，算术平方根和立方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数．
2.【答案】D
【解析】解：命题“两个全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，逆命题是假命题，故A不符合题意；
命题“若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形”的逆命题是“一个三角形是直角三角形，则它的两个内角分别为30°和60°”，逆命题是假命题，故B不符合题意；
命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故C不符合题意；
命题“如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数”的逆命题是“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”，逆命题是真命题，故D符合题意；
故选：D．
写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是能写出每个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假．
3.【答案】D
【解析】解：A、4的平方根是±2，故此选项错误；
B、 16=4的平方根是±2，，故此选项错误；
C、−36没有算术平方根，故此选项错误；
D、25的平方根是±5，故此选项正确．
故选：D．
直接利用平方根以及算术平方根的定义分析得出答案．
此题主要考查了算术平方根、平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠2=70°，
∵∠1+∠2+50°=180°，
∴∠1=180°−70°−50°=60°．
故选：B．
如图，先根据全等三角形的性质得到∠2=70°，然后根据三角形内角和计算出∠1的度数．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
5.【答案】D
【解析】解：∵ 20n= 4×5n=2 5n，且 20n是整数；
∴2 5n是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故本题选D．
因为 20n是整数，且 20n= 4×5n=2 5n，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则 a⋅ b= ab.除法法则 ba= b a.解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
6.【答案】C
【解析】解：A.如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B.AB=4，BC=3，∠A=30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D.3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
x−1≥0|x|+2≠0，
解得：x≥1．
故选：A．
要使代数式有意义，令被开方数≥0，分母≠0，得x−1≥0，|x|+2≠0，即可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数≥0，分母≠0．
8.【答案】B
【解析】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0．
∴ a， b无意义，
∴A的结论不正确；
∵ ab× ba= ba×ab=1，
∴B的结论正确；
∵ ab÷ ab= ab×ba= b2=−b，
∴C的结论不正确；
∵( ab)2=ab，
∴D的结论不正确，
故选：B．
利用二次根式的性质和实数的运算性质解答，对每个选项作出判断即可．
本题主要考查了二次根式的性质和实数的运算性质，二次根式的乘除法，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠FDA=∠FAD=∠FAC+∠CAD，
∵∠FDA是△ABD的一个外角，
∴∠B=∠FDA−∠BAD=∠FDA−∠CAD=65°，
故选：C．
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得到FA=FD，根据三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD=DE=DF，
∴∠DAE=∠DEA，∠DAF=∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，
∴∠DEA+∠DFA=60°，
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，
∴∠EDB=∠DFA，
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠BED，且∠EDB=∠DFA，DE=DF，
∴△BDE≌△CFD(AAS)，
∴BD=CF，BE=CD，
∴△BED周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
由“AAS”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD=CF，BE=CD，可得△BED周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键．
11.【答案】−8
【解析】解：因为(−8)3=−512，
所以−512的立方根为−8，
故答案为：−8．
根据立方根的意义求解即可．
本题考查立方根，理解立方根的意义是正确解答的前提．
12.【答案】>
【解析】解：6 5= 62×5= 180，5 6= 52×6= 150；
∵180>150，
∴ 180> 150，
即6 5>5 6．
故答案为：>．
把根号外面的数平方乘到根号里面，比较根号内数的大小即可．
此题考查实数的大小比较，注意灵活转化．
13.【答案】8
【解析】解：∵ 52=12 10，
∵最简二次根式 a+2与 52能合并，
∴a+2=10，
解得：a=8．
故答案为：8．
先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式得出a+2=10，再求出答案即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能求出a+2=10是解此题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又AB=AD，AE=AC，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AE ，
△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠C=∠E，
又∵∠C+CFE=∠E+∠CAE，
∴∠CFE=∠CAE，
∵∠BAE=135°，∠DAC=55°，∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=12(∠BAE−∠CAD)=40°，
∴∠CFE=40°
故答案为：40°．
先证明△ABC≌△ADE，进而根据∠C=∠E，进而得出∠CFE=∠CAE，根据∠CAE=12(∠BAE−∠CAD)=40°，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质；掌握全等三角形的性质与判定是关键．
15.【答案】14
【解析】解：在AC上截取CF=CD=5，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵CD//AB
∴∠B=∠DCB，
∴∠ACB=∠DCB，
∵CE=CE，
∴△EDC≌△EFC(SAS)，
∴∠CED=∠CEF，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=45°+∠BAE，
∠AFE=45°+∠CEF，∠BAE=2∠CED，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=AC−CF=19−5=14．
故答案为：14．
在AC上截取CF=CD=5，由SAS可证明△EDC≌△EFC，得出∠CED=∠CEF，可证出∠AEF=∠AFE，则AE=AF=14．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：由1−x≥0，且x−12≥0，得12≤x≤1．
y2=12+2 −x2+32x−12=12+2 −(x−34)2+116．
由于12<34<1，
所以当x=34时，y2取到最大值1，故a=1．
当x=12或1时，y2取到最小值12，故b= 22．
所以：a2+b2=32．
故答案为：32．
根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将y= 1−x+ x−12方程两边平方，得出y2的最大值与最小值，从而得出a2+b2的值．
此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y2的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．
17.【答案】解：(1)原式= 3−2 3+6 3
=5 3；
(2)原式=3 2−(2+2 2+1)+(3−1)
=3 2−3−2 2+2
= 2−1；
(3)原式=x xy2×(−32 yx)×12 x4y
=−34x xy2⋅yx⋅x4y
=−34x x4y4
=−34x⋅x2y2
=−34x3y2；
(4)原式=x x+2x x−2x x
=x x．
【解析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(3)根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
(4)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘除混合计算，二次根式的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：由数轴可得：c>0，a+b<0，b−c<0，c−a>0，
故原式=c−(−a−b)−(b−c)+c−a
=c+a+b−b+c+c−a
=3c．
【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】证明：连接DE、DF，如右图所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△EBD和△DCF中，
BE=CD∠B=∠CBD=CF，
∴△EBD≌△DCF(SAS)，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形，
∵DG⊥EF，
∴DG是等腰△DEF的中线，
∴EG=12EF．
【解析】先连接DE、DF，然后根据题目中的条件可以证明△EBD≌△DCF，从而可以得到DE=DF，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)∵a= 11+4，b= 11−4，
∴a+b= 11+4+ 11−4=2 11，a+b= 11+4− 11+4=8，
则a2−b2=(a+b)(a−b)=2 11×8=16 11．
(2)∵a= 11+4，b= 11−4，
∴a+b= 11+4+ 11−4=2 11，ab=( 11+4)( 11−4)=−5，
则a2+b2+ab=(a+b)2−ab=(2 11)2+5=49．
【解析】(1)根据平方差公式将原式整理成(a+b)(a−b)，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
(2)根据完全平方公式将原式整理成(a+b)2−ab，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图1，点E为所作；

(2)如图2，点D为所作；

【解析】(1)作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，点E即为所作；
(2)作BC的垂直平分线，交BC于点D，点D即为所作．
本题考查了作角平分线、垂直平分线、三角形中线的性质．掌握垂直平分线及角平分线的作法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵4<7<9，
∴2< 7<3，
∴2<5− 7<3，
∵m、n分别表示5− 7的整数部分和小数部分，
∴m=2，n=3− 7；
(2)∵amn+bn2=1，m=2，n=3− 7，
∴2a×(3− 7)+b×(3− 7)2=1，即6a+16b−2a 7−6b 7=1，
∴6a+16b=1−2a−6b=0，解得：a=32b=−12，
∴2a+b=3−12=52．
【解析】(1)先求出2< 7<3，即可求出2<5− 7<3，即可得出m、n的值；
(2)把(1)中所得的m、n的值代入amn+bn2=1可得6a+16b−2a 7−6b 7=1，即可得6a+16b=1−2a−6b=0，解出a、b的值即可得出答案．
本题考查的是无理数估值的应用，解题关键是利用 7的估值求出m、n的值．
23.【答案】(1)解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB，∠BAD=60°，
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=150°，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=180°−∠CAD2=15°；
(2)证明：如图所示，过点E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延长线于H，连接BE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=45°，
∴∠AEC=180°−∠CAE−∠ACE=120°，
∵AB=AC，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC(SAS)，
∴∠AEB=∠AEC=120°，BE=CE，
∴∠BEC=360°−∠AEC−∠AEB=120°，
∵EG⊥MG，EH⊥MH，∠GMH=60°，
∴∠GEH=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠BEG=∠CEH=120°−∠CEG，
又∵∠BGE=∠CHE=90°，
∴△BGE≌△CHE(AAS)，
∴EG=EH，
∴EM平分∠BMC．

【解析】(1)根据等腰直角三角形的定义得到AB=AC，由等边三角形的性质得到AD=AB，∠BAD=60°，则∠CAD=150°，AD=AC，由此根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案；
(2)如图所示，过点E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延长线于H，连接BE，由角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC=45°，则由三角形内角和定理得到∠AEC=120°，证明△AEB≌△AEC(SAS)，得到∠AEB=∠AEC=120°，BE=CE，则由周角的定义得到∠BEC=120°，根据四边形内角和定理求出∠GEH=120°，则∠BEG=∠CEH，由此证明△BGE≌△CHE(AAS)，得到EG=EH，即可证明EM平分∠BMC．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等边对等角，四边形内角和定理，角平分线的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】 n+2− n2
【解析】解：(1)1 n+2+ n= n+2− n( n+2+ n)( n+2− n)
= n+2− nn+2−n
= n+2− n2，
故答案为： n+2− n2；
(2)1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+⋯+ 121− 1192
=12( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+⋯+ 121− 119)
=12( 121−1)
=12(11−1)
=5；
(3)∵a=1 26−5，
∴a=1 26−5= 26+5( 26−5)( 26+5)= 26+5，
∴a−5= 26，即(a−5)2=26，
∴a2−10a=1，a3=a+10a2，
∴a3−11a2+9a+1
=a+10a2−11a2+9a+1
=−a2+10a+1
=−(a2−10a)+1
=0．
(1)根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
(2)将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
(3)根据小明的分析过程，得a−5= 26得a2−10a=1，a3=a+10a2，再整体代入，即可求出代数式的值．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确记忆相关知识点是解题关键．
25.【答案】60°
【解析】(1)①解：当n=1时，AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAD=60°，
∵AD=CE，AC=BA，
∴△BAD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠AFD=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
故答案为：60°；
②证明：∠AFD=60°，AG⊥BD，
∴∠FAG=90°−60°=30°，
∴AF=2FG，
∵AF=2BF，
∴BF=FG，BG=AF，
∵∠BAF+∠FAD=∠BAD=60°，∠CBG+∠ABG=∠CBA=60°，∠FAD=∠ABG，
∴∠BAF=∠CBG，
∵AB=BC，
∴△AFB≌△BGC(SAS)，
∴GC=FB，
∴GF=GC；
(2)解：∵n=32，
∴AB=AC=32BC，
令AB=AC=3，BC=2，
如图所示，过点A作AM/​/BC且使得AM=AC，连接DM，
∴∠ACE=∠MAD，
又∵AD=CE，AM=CA，
∴△ACE≌△MAD(SAS)，
∴AE=DM，
∴AE+BD=DM+BD，
∴当B、D、M三点共线时，DM+BD 最小，即此时AE+BD最小，设此时点D与点D′重合，
过点D′作D′G⊥AB，D′H⊥BC垂足分别为G、H，过点B作BT⊥AC于T，
∵AB=AC=AM，
∴∠ABM=∠AMB，
∵AM/​/BC，
∴∠AMB=∠CBM，
∴∠ABM=∠CBM，
∵D′G⊥AB，D′H⊥BC，
∴D′H=D′G，
∴S△ABD′S△BCD′=12AB⋅D′G12BC⋅D′H=12AD′⋅BT12CD′⋅BT，
∴AD′CD′=ABBC=32，
∴AD′=35AC=95，
∴CE=AD′=95，
∴BE=BC−CE=15，
∴BECE=19．
(1)①当n=1时，△ABC是等边三角形，得到∠C=∠BAD=60°，然后结合AD=CE，AC=BA，证明△BAD≌△ACE(SAS)，得到∠ABD=∠CAE，则由三角形外角的性质可得∠AFD=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°；②先由∠AFG=60°、∠AGF=90°得到∠FAG=30°，进而得到AF=2FG，再结合AF=2BF得到BF=FG，即可得到AF=BG，再结合△BAD≌△ACE得到∠ABD=∠CAE，进而得到∠CBG=∠BAF，最后结合AB=BC得证△ABF≌△BCG，从而得到BF=CG，进而得证FG=CG；
(2)根据题意可令AB=AC=3，BC=2，则BG=CG=1，如图所示，过点A作AM/​/BC且使得AM=AC，连接DM，证明△ACE≌△MAD(SAS)，得到AE=DM，则当B、D、M三点共线时，DM+BD 最小，即此时AE+BD最小，设此时点D与点D′重合，过点D′作D′G⊥AB，D′H⊥BC垂足分别为G、H，过点B作BT⊥AC于T，证明∠ABM=∠CBM，由角平分线的性质得到D′H=D′G，利用等面积法证明AD′CD′=ABBC=32，得到CE=AD′=95，则BE=BC−CE=15，由此可得BECE=19．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形三边关系，角平分线的性质，等角对等边等等，解题的关键在于构造全等三角形确定出AE+BD最小时的情形．