2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在中，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

2. 若二次函数的图象有最低点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为了调查市一中学生的视力情况，在全校的名学生中随机抽取了名学生，下列说法正确的是(    )

A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是
C. 名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体

5. 如图，在平行四边形中，点，，分别为，，的中点，则与▱的面积之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 二次函数其中，，是常数，的图象如图所示，则下列判断正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7. 三角函数，，的大小关系是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 西周数学家商高总练了用“矩”如图测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端人眼望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高令，，若，，，则关于的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在正方形中，为边上的中点，点在边上，且，若，延长交的延长线于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线经过，，三点，若，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 二次函数的顶点坐标是______．
12. 如图，把缩小后得到，则与的相似比为______．
     
13. 已知一组数据，，，的众数是，则这组数据的方差为______．
14. 如图，在中，，于点，，，则的值为______．

15. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点______、 ______若曲线段扫过的面积为圈中的阴影部分，则新图象的函数表达式是______．

16. 如图，▱中，对角线与相交于点，，是线段上一点，且，
    当时，的值为______，
    当时，的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    如图，是的边上的点，已知，，，求证：∽．

19. 本小题分
    已知二次函数的图象经过、、．
    求二次函数的表达式；
    画出该二次函数的图象；
    若，请写出的取值范围______．

20. 本小题分
    某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：

若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请通过计算，说明小张、小王谁将获胜？
根据实际情况，学校决定足球知识、身体贵质、足球技能三项成绩按：：的权重来确定最终评价成绩，请你通过计算，说明小张、小王谁将获胜？

21. 本小题分
    如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜校的坡度：根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．结果保留根号

22. 本小题分
    若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
    知识理解：
    如图，与互为“旋转位似图形”．
    若，，，则______；
    若，，，则______；
    知识运用：
    如图，在四边形中，，于点，，求证：
    ；
    与互为“旋转位似图形”．

23. 本小题分
    如图，下面是某同学在平面直角坐标系中设计的一动画示意图，点、在轴上，在上方有五个水平台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴的距离为从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点．
    点恰好落在台阶上，求此时落点的坐标；
    当点落到台阶上后立即向右弹起，又形成了另一条与原抛物线形状相同的新抛物线，且最大高度为，求新抛物线的表达式；
    如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，若沿抛物线下落的点必须落在筐里，需将筐沿轴向左移动，直接写出的取值范围．

24. 本小题分
    如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分，交于点．
    如图，求证：；
    如图，求证：；
    如图，过点作，垂足为，若，，求的值______．
     
25. 本小题分
    已知抛物线与轴交于，两点，直线：与抛物线交于、两点．
    求抛物线的解析式；
    当时，点为直线上方抛物线上的点，与相交于，探究是否有最大值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
    若，直线与抛物线的对称轴相交于点，点在对称轴上．当时，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，．
故选：．
根据正弦值的定义解决此题．
本题主要考查三角函数的正弦值，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：已知二次函数的图象有最低点，
，
，
故选：．
根据题意，函数图象的开口方向可得，据此求出的取值范围即可．
本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，
解得：，
故选：．
根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式，列出不等式并解之即可求出的取值范围．
本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是，故此选项符合题意；
C、名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．
此题主要考查了总体、个体、样本．正确理解总体、个体、样本的概念是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，，分别为，，的中点，
，，分别是的中位线，
，
∽，相似比为：，
，
而四边形为平行四边形，
，
．
则与▱的面积之比为：．
故选：．
首先根据中点得到中位线，然后利用中位线的性质得到∽，最后利用相似三角形的性质和平行四边形的性质解决问题．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了平行四边形的性质和中位线的性质，有一定的综合性．
 

6.【答案】 

【解析】解：开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，
，
故选：．
将化为，再根据正弦值随角度的增大而大可得，由于是锐角，因此，再根据一个锐角的正切值随着角度的增大而增大可得，而，进而得出，从得出，，的大小关系．
本题考查同角三角函数的关系以及锐角三角函数的增减性，掌握同角三角函数的关系以及锐角三角函数的增减性是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
化简，得，
故选：．
根据题意和图形，可以得到，，，，然后根据相似三角形的性质，可以得到与的函数关系式．
本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
在中，，
四边形为正方形，且，
，
，，
，
∽，
，即：，
，
，
故选：．
根据，为的中点，知，，证明∽可得，故BG，从而，
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
抛物线经过，，三点，，
点到对称轴的距离最大，点在对称轴上，
．
故选：．
根据解析式求得开口向下，对称轴直线，然后根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标为，
故答案为：．
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

12.【答案】： 

【解析】解：由平面直角坐标系可知：，，
与的相似比为：，
故答案为：：．
根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可．
本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，的众数是，
，
这组数据的平均数是，
则方差为，
故答案为：．
先根据众数的定义求出的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算可得．
本题主要考查方差，根据众数定义求得的值，掌握方差的计算公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据已知求出，然后利用列式求出即可解答．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】、     

【解析】解：把点，分别代入得，，
曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移个单位，
平移后的对应点分别为点、，
新图象的函数表达式是，
故答案为：、，．
曲线段扫过的面积，则，然后根据平移规律即可求解．
本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
即，
四边形为正方形，
．
．
，，
，
，
故答案为：；
过点作于点，过点作于点，如图，

，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
，，，
，．
设，则，，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
∽，
．
．
四边形是平行四边形，
，
，
，

，
，
．
故答案为：．
利用平行四边形的性质，正方形的判定与性质和角平分线的性质定理解答即可；
过点作于点，过点作于点，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理，设，则，，，，，，再利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求得，再进一步求得，则，则结论可求．
本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据以及特殊锐角三角函数值进行计算即可．
本题考查同角三角函数的关系，特殊锐角三角函数值，掌握以及特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
 

18.【答案】证明：，，，
，
，
，
即，
∽． 

【解析】求出，根据求出，再根据相似三角形的判定定理证明即可．
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，有两角对应相等的两三角形相似，有三边对应成比例的两三角形相似，有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
 

19.【答案】当或 

【解析】解：设抛物线的解析式为，
把点的坐标代入得，
解得．
故抛物线的解析式为；
，
二次函数的顶点坐标为，
如图所示：

由图象可得，当或时，．
故答案为：当或．
设抛物线的解析式为，把点的坐标代入即可求得的值；
用五点法画出函数图象，
根据图象即可求得的取值．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．
 

20.【答案】解：小张的期末评价成绩为分；
小王的期末评价成绩为分；
，
小王将获胜；

小张的最终评价成绩为分，
小王的最终评价成绩为分；
则小王将获胜． 

【解析】利用算术平均数的定义求出小张和小王各自的成绩，再进行比较，即可得出答案；
根据加权平均数的定义列式算式，求出小张和小王各自的成绩，再进行比较，即可得出答案．
本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过作于，延长交于．
则四边形是矩形，
，
在中，米，：：，
米，
米，
在中，，
是等腰直角三角形，
米，
在中，，，
米，
米．
即建筑物的高度约为米． 

【解析】过作于，延长交于则四边形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

22.【答案】   

【解析】解：和互为“旋转位似图形”，
∽，
，
又，，
；
∽，
，
，，，
，
，
故答案为：；；
证明：，，
∽，
，
；
，
，
又，
∽，
，
又，，
，
∽，
，
绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
和互为“旋转位似图形”；
依据和互为“旋转位似图形”，可得∽，依据相似三角形的对应角相等，即可得到；
依据∽，可得，根据，，，即可得出；
通过证明∽，即可得到，可得结论；
通过证明∽，可得，通过证明∽，进而得出和互为“旋转位似图形”；
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，理解旋转位似图形的定义并运用是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，台阶的纵坐标为，
当时， ，
解得舍去或，
落点的坐标为；
由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为，
则，
解得：或，
当时，顶点坐标为，不符合题意，舍去，
新抛物线的解析式为；
令，解得或舍，
若沿抛物线下落的点必须落在筐里，则，
解得：． 

【解析】由题意台阶的纵坐标为，代入求出的值即可；
由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，，可得结论；
先令线，求出此时的值，再根据点必须落入框中，可得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查了二次函数应用，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解．
 

24.【答案】 

【解析】证明：平分，
，
，
，，
，
；
证明：，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：连接，
，
，
平分，
，
∽，
，
设，，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
故答案为：．
利用角平分线的定义，通过等量代换求出，即可证明；
先求出，由勾股定理得到，再证明∽，得到，即可证明；
连接，先证明∽，可得，设，，则，再推导出，可求，然后证明∽，得到，求出，即可求出．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：将，代入，
则，解得：，
；

存在，理由：
当时，，即点，
过点、分别作轴的平行线分别交于点、，则，

由、的坐标得，直线得表达式为，
当时，，即，
设点的坐标为，则点，
则，
，
，
，故最大值，
当时，点的坐标为；

在直线上，
，
点在抛物线上，
，
，
直线为，
直线与抛物线的对称轴相交于点，
的横坐标为，
，
，
设：，而，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，得到，即可求解；
由，得到，化简得到：，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理，数形结合，分类讨论是解题的关键．