高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推练习，共6页。试卷主要包含了故选B，故选D等内容，欢迎下载使用。

A．0B．6
C．－6D．12
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1－an＝4n(n∈N＋)，则a5＝( )
A．31B．41
C．51D．61
3．在数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3B．－11
C．－5D．19
4．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝4n＋2B．an＝4n－2
C．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3，n＝1,4n＋2，n>1))D．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3，n＝1,4n－2，n>1))
5．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋an＋2＝an＋1，则a2023＝( )
A．－2B．1
C．3D．2
6．以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
7.(多选题)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(n,1＋n)an，则( )
A．数列{an}的前5项和为eq \f(137,60)
B．猜想数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,n)
C．数列{an}的图象在第一象限
D．an的最大值为1
8．已知数列{an}满足a1＝2，
an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时，))则a8＝( )
A．eq \f(1,64)B．1
C．2D．4
9．数列{an}满足an＋an＋1＝3(n∈N＋)，a2＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．11 B．17C．20 D．30
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝(3n－19)·5n，则当Sn取最小值时，n＝( )
A．5 B．6C．7 D．8
11．(多选题)已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn，k∈N＋，且Sn的最大值为8，则( )
A．k＝4B．Sn＝－eq \f(1,2)n2＋4n
C．a1＝eq \f(7,2)D．an＝eq \f(9,2)－n
12．已知数列{an}满足a1＝eq \f(2,3)，an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则an＝________.
13.在数列{an}中，eq \r(an＋1＋n＋1)＝eq \r(an＋n)＋2n－1，a1＝0，则a8＝________.
14．(多选题)在数列{an}中，已知a1＝1，Sn＝n2an，则下列式子成立的是( )
A．a2＝eq \f(1,3)
B．Sn＝eq \f(2n,n＋1)
C．eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n)
D．an＝eq \f(2,n（n＋1）)
15．已知数列{an}满足eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(an,2n)＝n2＋n，求数列{an}的通项公式．
5．1.2 数列中的递推
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为S10－S8＝6，所以a9＋a10＝6.故选B.
2．答案：B
解析：因为a1＝1，且an＋1－an＝4n(n∈N＋)，所以a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝4×4＋4×3＋4×2＋4×1＋1＝41.故选B.
3．答案：D
解析：由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.故选D.
4．答案：D
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3，
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))eq \s\up12(2)－1＝4n－2，
经检验，可得an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3，n＝1,4n－2，n>1)).故选D.
5．答案：B
解析：由已知an＋2＝an＋1－an，a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3－(－1)＝－2，a7＝(－2)－(－3)＝1，a8＝1－(－2)＝3，
因此数列{an}是周期数列，周期是6，
所以a2023＝a1＝1.
故选B.
6．解析：①通项公式法：an＝2n，n∈N＋.
②递推公式法：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N＋.))
③列表法：
④图象法：
关键能力综合练
7．答案：ABCD
解析：依题意，a1＝1，a2＝eq \f(1,1＋1)×1＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(2,1＋2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，a4＝eq \f(3,1＋3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,4)，a5＝eq \f(4,1＋4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,5).
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＝eq \f(137,60)，故A正确；
依题意eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,1＋n)，所以eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)⇒eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n)，故an＝eq \f(1,n)，B正确；{an}图象在第一象限，an的最大值为a1＝1，故C、D正确．故选ABCD.
8．答案：B
解析：由a1＝2，得a2＝eq \f(a1,2)＝1，a3＝3a2＋1＝4，a4＝eq \f(a3,2)＝2，a5＝eq \f(a4,2)＝1，a6＝3a5＋1＝4，a7＝eq \f(a6,2)＝2，a8＝eq \f(a7,2)＝1.故选B.
9．答案：B
解析：因为an＋an＋1＝3，a2＝1，所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n是奇数，,1，n是偶数，))
所以S11＝6×2＋5×1＝17.故选B.
10．答案：B
解析：根据题意，数列{an}中，an＝(3n－19)·5n，
当n≤6时，有an<0，当n≥7时，有an>0，
则当n＝6时，Sn最小．故选B.
11．答案：ABCD
解析：因为Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn＝－eq \f(1,2)(n－k)2＋eq \f(1,2)k2，其中k是常数，且k∈N＋，所以当n＝k时，Sn取最大值eq \f(1,2)k2，故eq \f(1,2)k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－eq \f(1,2)n2＋4n.
当n＝1时，a1＝S1＝－eq \f(1,2)＋4＝eq \f(7,2)；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)n2＋4n))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)（n－1）2＋4（n－1）))＝eq \f(9,2)－n.
当n＝1时，eq \f(9,2)－1＝eq \f(7,2)＝a1，
所以an＝eq \f(9,2)－n(n∈N＋).故选ABCD.
12．答案：eq \f(2,3n)(n∈N＋)
解析：由条件知eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，相乘，即eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)⇒eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n)，即an＝eq \f(2,3n).
当n＝1时，a1＝eq \f(2,3)，符合上式，所以an＝eq \f(2,3n)(n∈N＋).
核心素养升级练
13．答案：2492
解析：令bn＝eq \r( ,an＋n)，
则bn＋1－bn＝2n－1，b1＝1，
所以b8＝(b8－b7)＋(b7－b6)＋…＋(b2－b1)＋b1＝13＋11＋…＋1＋1＝50，
所以eq \r(a8＋8)＝50，所以a8＝2492.
14．答案：ABD
解析：a1＝1，S2＝4a2，S2－S1＝a2，即4a2－a1＝a2，所以a2＝eq \f(1,3)，故A正确；
又Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
所以(n2－1)an＝(n－1)2an－1，即eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，
故C错误；
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(2,n（n＋1）)(n≥2)，当n＝1时，符合上式，所以an＝eq \f(2,n（n＋1）)，
代入Sn＝n2an＝eq \f(2n,n＋1)，故B，D正确．故选ABD.
15．解析：∵eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(an,2n)＝n2＋n，
∴当n≥2时，eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(an－1,2n－1)＝(n－1)2＋n－1，
两式相减得eq \f(an,2n)＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2).
又∵当n＝1时，eq \f(a1,2)＝1＋1，∴a1＝4，满足an＝n·2n＋1.
∴an＝n·2n＋1.必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…