中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 锐角三角函数（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 锐角三角函数（含答案），共13页。试卷主要包含了三角函数定义等内容，欢迎下载使用。
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： SKIPIF 1 < 0
（2）商数关系： SKIPIF 1 < 0
3.互为余角的三角函数关系
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
特殊角的三角函数值
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤csα≤1，tanα≥0，
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1） SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
（2）Rt△面积公式： SKIPIF 1 < 0
（3）直角三角形外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径 SKIPIF 1 < 0
结论：直角三角形斜边上的高 SKIPIF 1 < 0
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即 SKIPIF 1 < 0 .
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用 SKIPIF 1 < 0 表示）的关系：i=tan SKIPIF 1 < 0 .坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、csA、tgA、ctA表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
《锐角三角函数》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.2cs30°的值等于（ ）
A.1 B.eq \r(2) C. eq \r(3) D.2
2.如果α是锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，那么cs(90°﹣α)的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3.如果sin2α＋cs230°＝1，那么锐角α的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3)
5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(10),5) D.1
6.如图，过点C(﹣2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,2) D.eq \f(3,2)
7.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝6cm，则tan∠EAF的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C.2 D.5
8.如图，在△ABC中，CA=CB=4，csC=eq \f(1,4)，则sinB的值为( )
A． B． C． D．
9.如图，河流的两岸PQ,MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树CD之间的距离为50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=45°，然后沿河岸走了130米到达B处，测得∠CBN=60°则河流的宽度CE为（ ）
A.80 B.40(3-eq \r(3)) C. 40(3+-eq \r(3)) D.40eq \r(2)
10.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）

A.6sin15°cm B.6cs15°cm C.6tan15°cm D.cm
11.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
12.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋ eq \f(\r(5),5) BD的最小值是( )
A.2 eq \r(5) B.4 eq \r(5) C.5 eq \r(3) D.10
二、填空题（每空3分，共18分）
13.计算：(eq \f(1,3))-1 SKIPIF 1 < 0 ﹣|﹣2＋eq \r(3)tan45°|＋(eq \r(2)﹣1.41)0＝________.
14.已知α为锐角，sin(α﹣20°)＝eq \f(\r(3),2)，则α＝________.
15.如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csB的值为 .
16.如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB＝4 m，此时，他距离地面高度为h＝2 m，则这个土坡的坡角∠A＝____.
17.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
18.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝3 eq \r(2)，CD＝2 eq \r(2)，P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若点P到BD的距离为eq \f(5,2)，则满足条件的点P有________个.
三、解答题（7个小题，共66分）
19.计算：|﹣3|＋eq \r(3)•tan30°﹣(2015﹣π)0﹣(eq \f(1,3))﹣1.
20.计算：(﹣1)2 024＋(﹣eq \f(1,2))﹣2﹣|2﹣eq \r(12)|＋4sin 60°.
21.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sin A＝eq \f(4,5)，求AD的长.
22.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝2eq \r(2)，BC＝1.
求：(1)sin∠ABD；(2)CE的长.
23.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800 m，BC＝200m，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.
(1)求AB段山坡的高度EF；
(2)求山峰CF的高度(eq \r(2)≈1.414，CF结果精确到米).

24.图1是张乐同学在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是张乐锻炼时上半身由与地面垂直的EM位置运动到EN位置时的示意图.已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝30°.
(1)求AB的长；
(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)

25.如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度(精确到1m)(参考数据：eq \r(3)≈1.7)
答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.A.
8.D
9.C
10.C
11.D
12.B
13.答案为：2＋eq \r(3).
14.答案为：80°
15.答案为：eq \f(\r(2),2).
16.答案为：30°.
17.答案为：eq \f(4,3)
18.答案为：2.
19.解：|﹣3|＋eq \r(3)•tan30°﹣(2015﹣π)0﹣(eq \f(1,3))﹣1＝0.
20.解：原式＝1＋4﹣(2eq \r(3)﹣2)＋4×eq \f(\r(3),2)＝1＋4﹣2eq \r(3)＋2＋2eq \r(3)＝7.
21.解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝eq \f(BE,AB)，
∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6eq \r(3).
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝eq \f(CD,CE)，∠E＝30°，
∴CE＝eq \f(CD,sin E)＝8.
∴BC＝BE﹣CE＝6eq \r(3)﹣8.
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝eq \f(4,5)＝eq \f(BE,AE)，
∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x，
由勾股定理可得AB＝3x，
∴3x＝6，解得x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
∴tan E＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(6,8)＝eq \f(CD,DE)＝eq \f(4,DE)，解得DE＝eq \f(16,3).
∴AD＝AE﹣DE＝10﹣eq \f(16,3)＝eq \f(14,3).
22.解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，AB＝eq \r(（2\r(2)）2＋12)＝3，
又∵CD⊥AB，
∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2\r(2),3)
(2)eq \f(CE,BC)＝sin∠ABC，
∴CE＝BC·sin∠ABC＝1×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(2\r(2),3)
23.解：(1)如图，过点B作BH⊥AF于点H，
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH＝eq \f(BH,AB)，
∴BH＝800·sin30°＝400(m)，
∴EF＝BH＝400 m；
(2)∵在Rt△CBE中，sin∠CBE＝eq \f(CE,BC)，
∴CE＝200·sin45°＝100eq \r(2)＝141.4(m)，
∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(m).
答：AB段山坡高度为400 m，山峰CF的高度约为541 m.
24.解：(1)作AF⊥BC于F.
∴BF＝BC﹣AD＝0.4米，
∴AB＝BF÷sin30°＝0.8米；
(2)∵∠NEM＝90°＋30°＝120°，
∴弧长为＝π米.
25.解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．
由题意知，AP＝39m．
在直角△APH中，PH＝36(m)；
在Rt△ADH中，DH＝15eq \r(3)(m)．
在Rt△CDQ中，DQ＝78(m)．
则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣15eq \r(3)≈114﹣15×1.7＝88.5≈89(m)．
答：PQ的长度约为89m．
α
sinα
Csα
tanα
0°
0
1
0
30°
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
45°
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
60°
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
90°
1
0
不存在
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°