中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 相似（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 相似（含答案），共11页。

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形
知识点2：相似三角形的判定:
定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
知识点3：相似三角形的性质:
性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
性质2.相似三角形周长的比等于相似比。
性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
知识点4：位似
1.位似图形、位似中心、位似的定义
每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。
2.位似比
两个相似图形的相似比，成为位似比。
3.位似图形的性质。
4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些他们的实际应用的例子。
《相似》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.下列线段中，能成比例的是( )
A.3cm、6cm、8cm、9cm B.3cm、5cm、6cm、9cm
C.3cm、6cm、7cm、9cm D.3cm、6cm、9cm、18cm
2.如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB为( )
A.3∶5∶4 B.1∶3∶2 C.1∶4∶2 D.3∶6∶5
3.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,,则EC的长是（ ）
A.4.5 B.8 C.10.5 D.14
4.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB＝4，则DE的长等于( )
A.6 B.5 C.9 D.eq \f(8,3)
5.下列说法中正确的是( )
A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似
C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似
6.已知△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(1,2)，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
7.如图，在▱ABCD 中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD 的角平分线分别交 AD 于 E 和F， BE 与 CF 交于点 G，则△EFG 与△BCG 面积之比是（ ）
A．5：8 B．25：64 C．1：4 D．1：16
8.制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元 B.720元 C.1 080元 D.2 160元
9.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：36，则S△BDE与S△BAC的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：36
11.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.
①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )
A.①②④ B.②③④ C.①②③④ D.①③
12.一块矩形木板ABCD，长AD＝3cm，宽AB＝2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为( )
A.eq \f(1,2)cm B.1cm C.eq \f(3,2)cm D.2cm
二、填空题（每空3分，共18分）
13.在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为______m.
14.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(﹣1，﹣1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 .
15.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
16.在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是 米．
17.如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处(不与B、C重合).已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD＝15，BF＝7，则CE＝ .
18.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是 .
三、解答题（7个小题，共66分）
19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在所给的网格中画出与△ABC相似(相似比不为1)的△A1B1C1(画出一个即可)；
(2)在所给的网格中，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C，并直接写出在此旋转过程中点A经过的路径长.
20.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF.
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21.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
(2)求∠BAC的度数．
22.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：
(1) ∠EAF＝∠B；
(2) AF2＝FE·FB.
23.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.
24.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.
(1)求证△ADC∽△BGC；
(2)求证CG·AB＝CB·DG.
25.正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点.
(1)求证：△ABE≌△BCF；
(2)若正方形边长为4，AH＝eq \f(16,5)，求△AGD的面积.
答案
1.D
2.B
3.B
4.A.
5.C
6.C
7.D
8.C
9.C.
10.D.
11.C.
12.C.
13.答案为：9
14.答案为：(1，0)、(﹣5，﹣2).
15.答案为：4：9.
16.答案为：12.
17.答案为：9.8.
18.答案为(﹣eq \r(3)×4n﹣1，4n).
19.解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C，即为所求，
点A经过的路径长为：eq \r(5)π.
20.解：∵AB∥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB∥EF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得EF=4cm.
21.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：
∵AB＝eq \r(5)，BC＝5，BP＝1，
∴，
∵∠PBA＝∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
(2)∵△PBA∽△ABC
∴∠BAC＝∠BPA，
∵∠BPA＝90°＋45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
22.证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∠C＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠B
(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，
∴△AFE∽△BFA，
则eq \f(AF,BF)＝eq \f(FE,FA)，
∴AF2＝FE·FB
23.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得＝(米).
答：两岸间的大致距离为100米.
24.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°.
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC.
(2)∵△ADC∽△BGC，
∴ eq \f(CG,DC)＝ eq \f(BC,AC) .
∴ eq \f(CG,BC)＝ eq \f(DC,AC).
又∠C＝∠C，
∴△GDC∽△BAC.
∴ eq \f(CG,BC)＝ eq \f(DG,AB).
∴CG·AB＝CB·DG.
25.证明：(1)正方形ABCD中，∠ABE＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又AE⊥BF，
∴∠3＋∠2＝90°，
则∠1＝∠3
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA)
(2)延长BF交AD延长线于M点，
∴∠MDF＝90°
由(1)知△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE
∵E点是BC中点，
∴BE＝eq \f(1,2)BC，即CF＝eq \f(1,2)CD＝FD，
在△BCF和△MDF中，
∴△BCF≌△MDF(ASA)
∴BC＝DM，即DM＝AD，D是AM中点
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
∴GD＝eq \f(1,2)AM＝AD
又∵正方形边长为4，
∴GD＝4
S△AGD＝eq \f(1,2)GD•AH＝eq \f(1,2)×4×eq \f(16,5)＝eq \f(32,5).