中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 轴对称（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 轴对称（含答案），共15页。试卷主要包含了对称轴，对称点，线段的垂直平分线定义，等边三角形角的特点，等边三角形的判定等内容，欢迎下载使用。
1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线的性质
（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
知识点2：画轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
知识点3：等腰三角形与等边三角形
1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
3.等腰三角形的判定：等角对等边。
4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，
5.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
有两个角是60°的三角形是等边三角形。
6.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
7．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
一、学习线段的垂直平分线要求
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
二、线段的垂直平分线要点梳理
要点一、线段的垂直平分线
线段的垂直平分线定义。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂
直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法。求作线段AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之
一。同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段
垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点解读：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点解读:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
3.外心到三顶点的距离相等.
要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.
三、线段的垂直平分线试题类型
类型一：线段的垂直平分线定理
类型二：线段的垂直平分线的逆定理
类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
类型四：尺规作图
《轴对称》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式.下列共享单车图标，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列图标中，是轴对称图形的是( )
A.(1)(4) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(1)(2)
3.若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A.2 B.﹣2 C.12 D.﹣12
4.如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得到的图形是( )
5.若点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是( )
A.a＜－1 B.－1＜a＜eq \f(3,2) C.－eq \f(3,2)＜a＜1 D.a＞eq \f(3,2)
6.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于eq \f(1,2)AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为( )
A.16 cm B.19 cm C.22 cm D.25 cm
7.如图，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
8.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )
A.102° B.100° C.88° D.92°
9.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
10.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A.(1，1) B.(eq \r(3)，1) C.(eq \r(3)，eq \r(3)) D.(1，eq \r(3))
11.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A.BH垂直平分线段AD B.AC平分∠BAD
C.S△ABC＝BC·AH D.AB＝AD
12.等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．
下列结论：
①BD＝CE；②∠BPE＝180°-2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
其中一定正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每空3分，共18分）
13.室内墙壁上挂一平面镜，小浩在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时间是________.
14.如图，在△ABC中，∠B＝40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A＝ °.
15.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′= °.
16.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 .
17.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为______．
三、解答题（7个小题，共66分）
19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3，5)，B(﹣2，1)，C(﹣1，3).
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
(3)如果AC上有一点M(a，b)经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 .
20.在直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称.
(1)试确定点A，B的坐标；
(2)如果点B关于x轴的对称点是C，求△ABC的面积.
21.如图，点D是BC中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，
求证：DF是AB的垂直平分线.
22.如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB及AC延长线上的点，且BD＝CE，连接DE交BC于点O.过点D作DH⊥BC，过E作EK⊥BC，垂足分别为H、K.
(1)求证：DH＝EK；
(2)求证：DO＝EO.
23.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线.
求证：△ADE是等边三角形.
24.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．
(1)求BC的长；
(2)求证：BD＝CD．
25.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD、BE相交于点F.
(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；
(2)如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.
参考答案
1.A.
2.D.
3.C
4.B.
5.A
6.B
7.A.
8.D
9.C.
10.D
11.A
12.C
13.答案为：3：40
14.答案为：60.
15.答案为：40.
16.答案为：3cm.
17.答案为：2eq \r(3).
18.答案为：15°.
19.解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；
(3)由(1)(2)轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是：(a＋4，﹣b).
故答案为：(a＋4，﹣b).
20.解：由题意，得a+b=5-a，2-a=b-2a，解得a=1,b=3.
∴点A的坐标是(4，1)，点B的坐标是(－4，1).
(2)∵点B关于x轴的对称点是C，
∴点C的坐标是(－4，－1).
∴AB=8，BC=2.
∴S△ABC=8.
21.证明：连接AD，如图，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝DC，
∴DA＝BD，
∵F为BA的中点，
∴DF垂直平分AB.
22.解：(1)∵DH⊥BC，EK⊥BC，
∴∠DHB＝∠K＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠B＝∠ECK，
在△BDH和△CEK中
∵∠ACB＝∠ECK，∠B＝∠ECK，BD＝CE
∴△BDH≌△CEK(AAS).
∴DH＝EK.
(2)∵DH⊥AC，EK⊥BC，
∴∠DHO＝∠K＝90°，
由(1)得EK＝DH，
在△DHO和△EKO中，
∵∠DHO＝∠K，∠DOH＝∠EOK，DH＝EK
∴△DHO≌△EKO(AAS)，
∴DO＝EO.
23.证明：∵点A在DE的垂直平分线上，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AB⊥DE，
∴∠ADE＝90°－∠BAD，
∵AD⊥BD，
∴∠B＝90°－∠BAD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
24.解：(1) 在△ABC中，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∵CE⊥AD，CE＝5，
∴AC＝10，
∴BC＝10；
(2)证明：过D作DF⊥BC于F
在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，
∴∠ACD＝75°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCD＝15°，
在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝∠ACD-∠ACE＝15°，
∴∠ECD＝∠FCD，
∴DF＝DE．
∵在Rt△DCE与Rt△DCF中，
DC＝DC，DE＝DF.
∴Rt△DCE≌Rt△DCF(HL)，
∴CF＝CE＝5，
∵BC＝10，
∴BF＝BC-CF＝5，
∴BF＝FC，
∵DF⊥BC，
∴BD＝CD．
25.解：(1)BF＝AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴BF＝AC；
(2)NE＝eq \f(1,2)AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD＝DC，
∵DE∥AM，
∴AE＝EC，
∵BE⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠ABE＝∠CBE，
由(1)得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF＝∠MAD，
∵∠DBA＝∠BAD＝45°，
∴∠DBA﹣∠DBF＝∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE＝∠BAN，
∵∠ANE＝∠ABE＋∠BAN＝2∠ABE，
∠NAE＝2∠NAD＝2∠CBE，
∴∠ANE＝∠NAE＝45°，
∴AE＝EN，
∴EN＝eq \f(1,2)AC.