中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题28 锐角三角函数（教师版）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题28 锐角三角函数（教师版），共35页。试卷主要包含了三角函数定义等内容，欢迎下载使用。

专题28 锐角三角函数
知识点一：锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°






2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：

（3）倒数关系：

3.互为余角的三角函数关系
，

，

或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
4. 特殊角的三角函数值
α
sinα
Cosα
tanα
cotα
0°
0
1
0
不存在
30°




45°


1
1
60°




90°
1
0
不存在
0









5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点二：解直角三角形
1.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。

(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．

每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、cotA表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件
一般解法
两边
两直角边a，b
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90°−∠A.
一直角边a，斜边c
(1)；
(2)由求出∠A；
(3)∠B=90°−∠A.
一边一锐角
一直角边a，锐角A
(1)∠B=90°−∠A；
(2)；
(3).
斜边c，锐角A
(1)∠B=90°−∠A；
(2)a=c·sin A；
(3)b=c·cos A.

二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
【例题1】（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解析】如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB，AC3，
∵S△ABCAC•BD3•BD1×3，
∴BD，
∴sin∠BAC．

【例题2】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】将∠A和∠DBE分别置身于Rt△AED和Rt△EDB中．
∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB= 90°．在Rt△AED中，cosA=．设AE=3k，则AD=5k，由勾股定理，得DE=4k．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，即3k+2=5k．解得k=1，∴DE=4．在Rt△EDB中，tan∠DBE==2．即选B．
【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表示，从而建立方程，实现所求．
【例题3】（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．


《锐角三角函数》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
2．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30，
∴BC＝30，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．


3．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）

A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【答案】B
【解析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°，
∴PT，
即河宽米
4．（2020•黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα，
∴A′C＝4sinα

5.（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝（ ）m．（结果保留根号）

A.． B.2 C.2． D.2+．
【答案】C．
【解析】据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4，
在Rt△BDC中，sin∠BCD，
∴sin60°，
∴BD＝2（m），自动扶梯的垂直高度BD＝2m
6.已知△ABC中，三边之比a：b：c=1：：2，则sinA+tanA的值为（ ）

A./2 B.+2 C.2 D.．
【答案】D．
【解析】根据题意，设a=k，b=k，c=2k（k＞0），
∵a2+b2=c2，∴∠C=90°．
∴sinA=，tanA=，
∴sinA+tanA=．
【点拨】在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形．
7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）

A.2 B. C. D.1
【答案】A
【解析】∠DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比．现设法将其置身在一个直角三角形中．

过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△BDE中，
tan∠DBA=．∵tan∠DBA=，∴=．设DE= k ，
则BE=5k，在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AE=DE= k，AB=6 k．
在等腰Rt△ABC中， ∠C=90o，AC=6，∴AB=6 ，解得k= ，
即DE=．在 Rt△ADE 中， ∠A=45° ，∴AD=DE =2．
【点拨】构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
8.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3．则cos∠BCD的值是（ ）
A ． B． C． D．


【答案】D
【解析】求cos∠BCD的值，用定义法不能直接求出．根据同角或等角的三角函数值相等，
考虑先用等角替换，再用定义去求．
AB=5．∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD．∴cos∠BCD=cosA==．
【点拨】依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换．
9.（2019•湖南长沙）如图所示，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【答案】D
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．

10．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a D．a
【答案】A
【解析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，


二、填空题（每空3分，共30分）
11.（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　 ．

【答案】2或2或2．
【解析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．

12. （2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　　．

【答案】15﹣5．
【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理．
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．

13. (2019海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°<<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转(0°<<90°)得到AF,连接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,则EF＝________.

【答案】
【解析】∵+＝∠B,∴∠EAF＝∠BAC+∠B＝90°,∴△AEF是直角三角形,且AE＝AB＝3,AF＝AC＝2,∴EF＝＝
14.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是____________．
【答案】
【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，
由勾股定理得：BD＝＝3，
同理CD＝3，∴BC＝6，
∴△ABC的周长为BC+AB+AC＝6+2+2＝6+4．

15.（2019•海南省）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．

【答案】
【解析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
16．（2019•山东临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　　 ．

【答案】8．
【解析】根据垂直的定义得到∠BCD＝90°，得到长CD到H使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到结论．
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，
故答案为：8．

17．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米（结果保留根号）．

【答案】6．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．

∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米）
18．（2020•济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：，则斜坡AB的长是　 　米．

【答案】20．
【分析】如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，根据三角函数的定义得到∠ABF＝30°，根据已知条件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF，
∴∠ABF＝30°，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，
∴∠HBP＝60°，
∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，
∴PB＝AB，
∵PH＝30m，sin60°，
解得：PB＝20，
故AB＝20（m），
答：斜坡AB的长是20m

19．（2020•金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是　 　．

【答案】．
【分析】如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边
心距a．求出BH，AH即可解决问题．
【解析】如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距a．

观察图象可知：BHa，AHa，
∵AT∥BC，
∴∠BAH＝β，
∴tanβ．
20．（2020•黔东南州）cos60°＝　 　．
【答案】．
【解析】根据记忆的内容，cos60°即可得出答案．
cos60°．
三、解答题（8个小题，共60分）
21.（5分）（2020贵州黔西南）计算：(－2)2－||－2cos45°＋(2020－π)0；
【答案】5－
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案。
原式＝4－－2×＋1＝＝4－－＋1＝5－．
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（5分）（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，求AB的长？

【答案】见解析。
【分析】根据∠C＝90°，tanA，可求出∠A＝30°，∠ABC＝60°，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠CBD＝∠ABD＝30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD，
∴BC3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB6．
答：AB的长为6．
23．（8分）（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．

（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【答案】见解析。
【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
【解析】（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，
∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，
∴AN2+300＝4AN2,∴AN＝10，∴AM＝20，
∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．
综上所述，长度增加了2米．

24．（8分）（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

【答案】见解析。
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
25．（8分）（2020•内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

【答案】见解析。
【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．
【解析】（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，
∴PB＝AB＝60海里；
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝60，
在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝6030，
∵3050，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

26．（8分）（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73）

【答案】见解析。
【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50，可求出AM即可；
（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100，可求出DN，进而求出DM和CD即可．
【解析】过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，
（1）在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝50，
∴AM＝2MC＝100BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN，即：tan30°，
∴DN＝300，
∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，
∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50264，
答：河流的宽度CD约为264米．

27．（9分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）

【答案】见解析。
【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出ACAD＝40海里即可．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝8040，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴ACAD4040（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．

28．（9分）（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【答案】见解析。
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH，
∵BC＝CH﹣BH，
∴6，
解得DH≈18，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD20．
答：轮船航行的距离AD约为20km．