中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 全等三角形（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 全等三角形（含答案），共13页。试卷主要包含了全等三角形，三角形中作辅助线的常用方法，全等三角形辅助线做法顺口溜等内容，欢迎下载使用。

1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
知识点2：全等三角形的判定
（1）“边角边”简称“SAS”；
（2）“角边角”简称“ASA” ；
（3）“边边边”简称“SSS”；
（4）“角角边”简称“AAS”；
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
知识点3：角平分线的性质
角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
2.三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
3.全等三角形辅助线做法顺口溜
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
《全等三角形》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.下列说法正确的是( )
A.面积相等的两个图形全等
B.周长相等的两个图形全等
C.形状相同的两个图形全等
D.全等图形的形状和大小相同
2.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是( )
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠D
3.在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是( )
A.∠B＝∠B′ B.∠C＝∠C′ C.BC＝B′C′ D.AC＝A′C′
4.如图，AB＝CD，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
5.如图， OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， 且OD=OE， 则△AOD与△AOE全等的理由是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.HL
6.在下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等
D.一条斜边和一条直角边对应相等
7.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
9.数学课上，小明进行了如下的尺规作图(如图所示)：
(1)在△AOB(OA＜OB)边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；
(2)分别以点D、E为圆心，以大于0.5DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；
(3)作射线OC交AB边于点P.
那么小明所求作的线段OP是△AOB的( )
A.一条中线 B.一条高 C.一条角平分线 D.不确定
10.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5
11.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP.
有以下结论：
①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBD+S△PCE＝S△PBC.
其中正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（每空3分，共18分）
13.如果Rt△ABC≌Rt△DEF，AC=DF=4，AB=7，∠C=∠F=90°，则DE= .
14.已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若两个三角形全等，则x＝ .
15.如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，那么可以添加条件 .
16.在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE＝BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE＝30°，那么∠EFC＝ .
17.在△ABC中，AB＝8，AC＝10，则BC边上的中线AD的取值范围是 .
18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为 .
三、解答题（7个小题，共66分）
19.如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.
求证：BC＝DC．
20.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED;
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
21.已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC.
求证：DG=EG.
22.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上.求证：BD＝CE.

23.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性.
24.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
(1)求证：∠EFA＝90°﹣eq \f(1,2)∠B；
(2)若∠B＝60°，求证：EF＝DF.
25.活动一：
如图1，已知AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且AB＝CD．求证：△ABC≌△DCE．
活动二：
动手操作，将两个斜边长相等的直角三角形纸片按图2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△MCN．
如图3，连接MB，找出图中的全等三角形，并说明理由；
活动三：
如图，已知点C坐标为(0，2)，B为x轴上一点，△ABC是以BC为腰的等腰直角三角形，∠BCA＝90°，当B点从原点出发沿x轴正半轴运动时，在图中画出A点运动路线．并请说明理由．
答案
1.D
2.A
3.C
4.B.
5.D.
6.D
7.D
8.D
9.C.
10.D.
11.C
12.C
13.答案为：7.
14.答案为：4.
15.答案为：DC＝BC(或∠DAC＝∠BAC或AC平分∠DAB等).
16.答案为：30°.
17.答案为：1＜AD＜9.
18.答案为：6.
19.证明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴BC＝DC．
20.解：(1)∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))
∴△AEC≌△BED(ASA)；
(2)∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°.
21.证明：作FQ⊥BD于Q，
∴∠FQB=90°
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD
∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°
∴QF//CD
∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F为BC中点
∴BF=FC
在Rt△BQF与Rt△FGC中
∴△BQF≌△FGC(AAS)
∴QF=GC
∵QF=DG
∴DG=GC
在Rt△DEC中，
∵G为DC中点
∴DG=EG.
22.证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD＝AE，AB＝AC，
又∵∠EAC＝90°+∠CAD，∠DAB＝90°+∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD＝CE.
23.解：做法正确.证明：
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB＝DE
24.证明：(1)∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝eq \f(1,2)∠BAC，∠FCA＝eq \f(1,2)∠BCA，
∴∠FAC＋∠FCA＝eq \f(1,2)×(180°﹣∠B)＝90°﹣eq \f(1,2)∠B，
∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，
∴∠EFA＝90°﹣eq \f(1,2)∠B.
(2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH＋∠DFH＝120°，
∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG(AAS)，
∴EF＝DF.
25.解：活动一：证明：如图1中，
∵AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，
∴∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠B＝∠ECD，
∵AB＝CD，
∴△ABC≌△DCE．
活动二：解：结论：△ACB≌△CBM．
理由：∵∠CNM＝90°，∠CMN＝30°，
∴∠MCN＝60°，
∵∠BCN＝15°，
∴∠MCB＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠A＝∠BCM，
∵AB＝CM，AC＝CB，
∴△ACB≌△CBM(ASA)．
活动三：解：作AH⊥y轴于H．
∵C(0，2)，
∴OC＝2，
∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，
∴∠HAC+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCO＝90°，
∴∠HAC＝∠BCO，
∵AC＝CB，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH＝OC＝2，
∴点A到y的距离为定值，
∴点A在平行于y轴的射线上运动，射线与y轴之间的距离为2(如图中虚线).