高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第1课时课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第1课时课后练习题，共7页。试卷主要包含了随机误差的主要来源有，已知x与y之间的一组数据等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．(多选)随机误差的主要来源有( )
A．线性回归模型与真实情况引起的误差
B．省略了一些因素的影响产生的误差
C．观测产生的误差
D．计算产生的误差
【答案】ABCD
2．已知x与y之间的一组数据：
已求得关于y与x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，则m的值为( )
A．1B．0.85
C．0.7D．0.5
【答案】D 【解析】 eq \x\t(x)＝ eq \f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5， eq \x\t(y)＝ eq \f(m＋3＋5.5＋7,4)，将其代入 eq \(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5.
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为( )
A． eq \(y,\s\up6(^))＝x＋2B． eq \(y,\s\up6(^))＝x－2
C． eq \(y,\s\up6(^))＝－x＋2D． eq \(y,\s\up6(^))＝－x－2
【答案】C 【解析】设经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，由题干中散点图可知变量x，y之间负相关，经验回归直线在y轴上的截距为正数，所以 eq \(b,\s\up6(^))<0， eq \(a,\s\up6(^))>0，因此其经验回归方程可能为 eq \(y,\s\up6(^))＝－x＋2.
4．根据如下样本数据得到的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，则( )
A． eq \(a,\s\up6(^))＞0， eq \(b,\s\up6(^))＞0B． eq \(a,\s\up6(^))＞0， eq \(b,\s\up6(^))＜0
C． eq \(a,\s\up6(^))＜0， eq \(b,\s\up6(^))＞0D． eq \(a,\s\up6(^))＜0， eq \(b,\s\up6(^))＜0
【答案】B 【解析】画出散点图，知 eq \(a,\s\up6(^))＞0， eq \(b,\s\up6(^))＜0.
5．已知x与y之间的一组数据：
若y与x线性相关，则y与x的经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))必过点( )
A．(2，2)B．(1.5，0)
C．(1，2)D．(1.5，4)
【答案】D 【解析】∵ eq \x\t(x)＝ eq \f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5， eq \x\t(y)＝ eq \f(1＋3＋5＋7,4)＝4，∴经验回归直线必过点(1.5，4).
6．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66%B．67%
C．79%D．84%
【答案】D 【解析】由y与x具有线性相关关系，且满足经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，当x＝5时，可得 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6×5＋1.2＝4.2，即估计该市的职工人均消费额为4.2千元，所以可估计该市人均消费额占人均工资的百分比为 eq \f(4.2,5)×100%＝84%.故选D．
7．某同学研究了气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数y与当天气温x(℃)之间的线性关系是由经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋147.77来反映的，则下列说法错误的是( )
A．所卖的热饮杯数与当天气温成负相关
B．可以预测温度在20 ℃时，该小卖部一定能卖出100杯热饮
C．气温每升高1 ℃，所卖的热饮约减少2杯
D．如果某天气温为2 ℃时，那么该小卖部能卖出热饮大约是143杯
【答案】B 【解析】对于A，因经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋147.77中－2.35<0，则y与x成负相关，A正确；对于B，经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋147.77中，当x＝20时， eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35×20＋147.77＝100.77，大约卖出100杯，这是一个预测值，不能肯定会卖出100杯，B不正确；对于C，由经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋147.77知，气温每升高1 ℃，所卖的热饮约减少2杯，C正确；对于D，经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋147.77中，当x＝2时， eq \(y,\s\up6(^))＝－2.35×2＋147.77≈143，即小卖部能卖出热饮大约是143杯，D正确．故选B．
8．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
由表中数据得到的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))中 eq \(b,\s\up6(^))＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
【答案】14.5 【解析】由表中数据得 eq \x\t(x)＝4， eq \x\t(y)＝9，代入经验回归方程得 eq \(a,\s\up6(^))＝4.6，∴当x＝9时， eq \(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5.
9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y(分)对总成绩x(分)的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
【答案】20 【解析】令两人的总成绩分别为x1，x2，则对应的数学成绩估计为 eq \(y,\s\up6(^))1＝6＋0.4x1， eq \(y,\s\up6(^))2＝6＋0.4x2，所以| eq \(y,\s\up6(^))1－ eq \(y,\s\up6(^))2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
10．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数为5～32，船员人数y关于吨位x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2x.
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则 eq \(y,\s\up6(^))1－ eq \(y,\s\up6(^))2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时， eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2×192≈11；当x＝3 246时， eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.故估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．
B级——能力提升练
11．(2023年蚌埠期中)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表．
由上表可得经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋ eq \(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
A．7B．8
C．9D．10
【答案】D 【解析】由表格，得 eq \x\t(x)＝ eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4， eq \x\t(y)＝ eq \f(1,5)×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因为线性回归直线恒过点( eq \x\t(x)， eq \x\t(y))，所以5＝0.81×4＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝1.76，所以线性回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋1.76.由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤ eq \f(824,81)≈10.17，由于x∈N*，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.
12．(多选)根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝1.5x＋0.5，且 eq \x\t(x)＝3.这组样本有两个样本数据(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，移除后重新求得的经验回归直线斜率为1.2，则( )
A．变量x与y具有正相关关系
B．移除两个误差较大的样本点后重新求得的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋1.6
C．移除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
D．移除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变慢
【答案】AD 【解析】因为经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝1.5x＋0.5，1.5>0，所以变量x与y具有正相关关系，A正确；当 eq \x\t(x)＝3时， eq \x\t(y)＝1.5×3＋0.5＝5，样本点中心为(3，5)，去掉(1.2，2.2)和(4.8，7.8)后，样本点中心还是(3，5)，又因为移除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，所以5＝1.2×3＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝1.4，故移除后的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋1.4，B错误；因为1.5>1.2，所以移除后y的估计值增加速度变慢，C错误，D正确．
13．某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
计算得 eq \(x,\s\up6(－))＝5， eq \(y,\s\up6(－))＝35， eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝－175， eq \i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)＝875，并求得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋45，但实验人员发现表中数据x＝－5的对应值y＝60录入有误，更正为y＝53，则更正后经验的回归方程为___________．
【答案】 eq \(y,\s\up6(^))＝－1.9x＋43.5 【解析】由题意知，更正后 eq \x\t(x)＝5， eq \x\t(y)＝ eq \f(1,7)(35×7－60＋53)＝34， eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝－175＋5×60－5×53＝－140， eq \i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)＝875，
∴ eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝ eq \f(－140－7×5×34,875－7×25)＝－1.9，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝34－(－1.9)×5＝43.5，
∴更正后的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝－1.9x＋43.5.
14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．
【答案】0.5 0.53 【解析】 eq \x\t(y)＝ eq \f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝ eq \f(2.5,5)＝0.5， eq \x\t(x)＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.由公式，得 eq \(b,\s\up6(^))＝0.01，从而 eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝0.5－0.01×3＝0.47.所以经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.47＋0.01x.所以当x＝6时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.47＋0.01×6＝0.53.
15．(2023年黄冈期末)某公司的生产部门调研发现，该公司第二，三季度的月用电量Y与月份x线性相关，且数据统计如下表所示：
但核对电费报表时发现一组数据统计有误．
(1)请指出哪组数据有误，并说明理由；
(2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，并预测统计有误那个月份的用电量．(结果精确到0.1)
解：(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在经验回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7，55)离其他点所在区域较远，故(7，55)这组数据有误．
(2)排除(7，55)这一组有误数据后，计算得 eq \x\t(x)＝6.4， eq \x\t(y)＝30.2， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)＝222， eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 138，
所以 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)－5\x\t(x)2)≈9.98，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \(y,\s\up6(^))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)≈－33.67.
所以经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝9.98x－33.67，
当x＝7时， eq \(y,\s\up6(^))≈36.2，
即7月份的用电量大约为36.2千瓦时．x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
产量x/千件
2
3
5
6
成本y/万元
7
8
9
12
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
存放温度x/℃
20
15
10
5
0
－5
－10
存活率y/%
6
14
26
33
43
60
63
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
月份
4
5
6
7
8
9
月用电量/千瓦时
6
16
27
55
46
56