人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用当堂达标检测题

人教A版（2019）选择性必修第三册《8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知、的取值如下表所示：  

从散点图分析、与线性相关，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知，的取值如表，从散点图知，，线性相关，且，则下列说法正确的是

A. 回归直线一定过点
B. 每增加个单位，就增加个单位
C. 当时，的预报值为
D. 每增加个单位，就增加个单位

4.（5分）已知两个变量，之间具有线性相关关系，试验测得的四组值分别为，，，，则与之间的回归直线方程为

A.  B.
C.  D.

5.（5分）年以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月手机的实际销量，如表所示：

若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列结论错误的是

A.
B. 与正相关
C. 与的相关系数为负数
D. 预计年月份该手机商城的手机销量约为部

6.（5分）在两个变量 与 的回归模型中，分别选择了 个不同模型，它们的相关指数 如下，其中拟和效果最好的模型是   

A. 模型 的相关指数 为  B. 模型 的相关指数 为
C. 模型 的相关指数 为  D. 模型 的相关指数 为

7.（5分）某产品的广告费用百万元与销售额百万元的统计数据如表：

根据表中数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）我市在年月日晚普降大雨，全市多地受灾严重，多条河流水位超警戒水位．某水文观测站，测得某条河流的水深与观测时间的线性回归方程为及变量，之间的相关数据如表所示：

则下列说法正确的是

A.  B. 该回归直线方程恒过点
C. 可以预测，当时， D. 变量，之间呈正相关关系

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹某贫困区县为脱贫致富引入电商扶贫，每年都会举行“特产特销”商业促销狂欢活动，现统计了该县从年到年共年“特产特销”期间的销售额单位：亿元并作出散点图，将销售额看成以年份序号年作为第年的函数运用软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法正确的是
 

A. 销售额与年份序号呈正相关关系
B. 三次函数回归曲线的拟合效果差于回归直线的拟合效果
C. 销售额与年份序号线性相关显著
D. 根据三次函数回归曲线可以预测年“特产特销节”期间的销售额约为亿元

10.（5分）下列说法正确的是

A. 一个人打靶，打了发子弹，有发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为
B. 某地发行福利彩票，其回报率为，有个人花了元钱买彩票，一定会有元回报
C. 根据最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心点
D. 大量试验后，可以用频率近似估计概率

11.（5分）在研究某种产品的零售价单位：元与销售量单位：万件之间的关系时，根据所得数据得到如表所示的对应表：

利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为：，则下列说法中正确的是

A.
B.
C. 回归直线必过点
D. 若该产品的零售价定为元，则销售量一定是万件

12.（5分）下列说法正确的是     

A. 从某社区户高收入家庭，户中等收入家庭，户低收入家庭中选出户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样
B. 线性回归直线一定过样本中心点
C. 对于一组数据，，，，，如果将它们改变为，，，，，则平均数与方差均发生变化
D. 若一组数据、、、的众数是，则这组数据的中位数是

13.（5分）某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近年借阅数据如表：

根据上表，可得关于的经验回归方程为，下列结论正确的有

A.
B. 借阅量，，，，的分位数为
C. 与的线性相关系数
D. 年的借阅量一定不少于万册

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额单位：万元与当天的平均气温单位：有关．现收集了春节期间这个销售公司天的与的数据列于下表：

根据以上数据，用线性回归的方法，求得与之间的线性回归方程的系数，则______．

15.（5分）已知由一组样本数据确定的回归直线方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为，那么当时，的估计值为______．

16.（5分）某饮料店的日销售收入单位：百元与当天平均气温单位：之间有下列数据：  

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了与之间的三个线性回归方程：  
；；，，其中正确方程的序号是 ______ ．

17.（5分）某商家统计，甲产品以往的先进技术投入千元与月产利润千元…，的数据可以用函数来拟合，且，，其中，，，预测先进生产技术投入为千元时，甲产品的月产利润大约为 ______千元．

18.（5分）下面是两个变量的一组数据：

这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间单位：月与这种鱼类的平均体重单位：千克得到一组观测值，如下表：在给出的坐标系中，画出关于、两个相关变量的散点图；请根据上表提供的数据，求出变量关于变量的线性回归直线方程；预测饲养满个月时，这种鱼的平均体重单位：千克参考公式：，
 

20.（12分）现代医院使用的市值较高、体积较大的医疗设备有，核磁共振、系统、、工频光机、推车式型超声波诊断仪，体外冲击波碎石机、高压氧舱、直线加速器等这些医疗器械的日常维护费用高，某科研团队对某医院的医疗设备的使用年限单位：年与维护维修费用单位：万元的统计数据如表所示：

根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱； 
求关于的线性回归方程，当该种机械设备维护维修费用是万元时，试估计使用年限. 
可能用到的公式和数据：，当时，表明与的相关性很强；当时，表明与的相关性一般；当时，表明与的相关性很弱，，，

21.（12分）某服装商场为了了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 

做出散点图； 
求线性回归方程； 
气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．

22.（12分）寒冷的冬天，某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地，研究种子发芽与温度控制技术的关系，他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数，得到如下数据：

Ⅰ若从五组数据中选取两组数据，求这两组数据平均温度相差不超过概率； 
Ⅱ求关于的线性回归方程； 
Ⅲ若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问Ⅱ中所得的线性回归方程是否可靠？ 
注：，

23.（12分）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对、、、四家同类运动服装网店的关注人数千人与其商品销售件数百件进行统计对比，得到表格：

由散点图得知，可以用回归直线方程来近似刻画它们之间的关系 
求与的回归直线方程； 
在的回归模型中，请用说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？精确到 
参考公式：：；； 
参考数据：；．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】

此题主要考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解答该题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．

解：两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于， 
这个模型的拟合效果越好， 
在所给的四个选项中是相关指数最大的值， 
故选
 

2.【答案】C;

【解析】解：点在回归直线上，  
计算得，；  
因为线性回归方程为，  
得；  
故选：． 
由求线性回归直线方程中系数的公式，知 在回归直线上，根据表中数据求出，将其代入回归直线方程即可得到答案．  
该题考查回归直线方程的求法，是统计中的一个重要知识点，由公式得到在回归直线上．
 

3.【答案】D;

【解析】解：由已知得，，，故A错误； 
由回归直线方程恒过样本中心点，得，解得． 
回归直线方程为． 
每增加个单位，就增加个单位，故B错误； 
当时，的预测值为，故C错误； 
每增加个单位，就增加个单位，故D正确． 
正确的是． 
故选：． 
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值，进一步求得线性回归方程，然后逐一分析四个选项即可得答案． 
该题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

4.【答案】C;

【解析】解：依题意知，，， 
回归直线方程恒过样本中心点， 
代入选项，可得与之间的回归直线方程为． 
故选：． 
由样本数据可得，，，利用回归直线方程恒过样本中心点，可得结论． 
该题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
 

5.【答案】C;

【解析】解：根据表中数据，可得， 
， 
于是，，即，故正确； 
由回归方程中的系数大于，可知与正相关，且相关系数，故正确，错误； 
月份时，，部，故正确． 
故选： 
由已知求得，得到，即可求得值判断；再由的系数判断与；取求得值判断 
此题主要考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】C;

【解析】 
该题考查了拟合效果的判断问题，相关指数越大，其拟合效果越好． 
两个变量与的回归模型中，相关指数越大，拟合效果越好． 
 
解：相关指数越大，拟合效果越好． 
在四个选项中最大， 
其模型拟合效果最好． 
故选：． 

 

7.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 
由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出的值即可． 
 
解：由表中数据，计算， 
， 
回归直线方程过样本中心， 
， 
解得：． 
故选：． 

 

8.【答案】C;

【解析】解：对于，，， 
将样本中心代入可得，，解得，故错误， 
对于，该回归直线恒过，故错误， 
对于，当时，，故正确， 
对于，某条河流的水深与观测时间的线性回归方程为，，故变量，之间呈负相关关系，故选项错误． 
故选： 
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解． 
此题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

9.【答案】AC;

【解析】解：根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额与年份序号呈正相关关系，故选项正确； 
因为相关系数，靠近，所以销售额与年份序号线性相关显著，故选项正确； 
根据三次函数回归曲线的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好， 
所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项错误； 
由三次多项式函数， 
当时，亿元，故选项错误． 
故选： 
由题中给出的回归曲线的图象，对四个选项进行逐一分析判断即可． 
此题主要考查了散点图的应用以及回归方程的理解和应用，相关系数与相关指数的应用，考查了数据分析能力，属于中档题．
 

10.【答案】CD;

【解析】 
此题主要考查概率的含义，考查回归直线方程的性质，属于基础题． 
根据概率的含义以及回归直线方程的性质，即可判断结果． 
 
解：一个人打靶，打了发子弹，有发子弹中靶， 
因此这个人中靶的频率为，故错误； 
某地发行福利彩票，其回报率为，有个人花了元钱买彩票，不一定会有回报，故错误； 
回归直线一定经过样本中心点，故正确； 
大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确． 
故选
 

11.【答案】BC;

【解析】解：， 
， 
样本点的中心的坐标为，代入， 
得，即，故错误，正确，正确； 
把代入，得，故错误． 
故选： 
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，即可判断、、，把代入线性回归方程，求出的值判断 
此题主要考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

12.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查统计中的基础知识，理解统计学中的基础概念与性质是解答该题的关键，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于基础题． 
根据分层抽样和系统抽样的定义与特征可分别判断；根据线性回归方程的特征可判断；根据中位数、众数、平均数和方差的概念可分别判断 
 
解：对于，所有的样本家庭可分为高收入、中等收入和低收入三个不同层次，符合分层抽样的特点，故正确； 
对于，根据线性回归直线方程的特点可知正确； 
对于，数据，，，，的平均数为， 
而，，，，的平均数为， 
所以平均数发生了变化，但方差不会发生变化， 
即错误； 
对于，若这组数据的众数为，则， 
所以数据的中位数为， 
故正确； 
所以正确的选项为 
故选
 

13.【答案】ABC;

【解析】解：对于，，， 
关于的经验回归方程为， 
，解得，故正确， 
对于，， 
故借阅量，，，，的分位数为，故正确， 
对于，， 
于的线性相关系数，故正确， 
对于，线性回归方程为，当时，， 
故年的借阅量约为万册，故错误． 
故选： 
对于，结合线性回归方程的性质，即可求解，对于，结合分位数的定义，即可求解，对于，结合相关系数的定义，即可求解，对于，将代入对应的线性回归方程，即可求解． 
此题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
 

14.【答案】;

【解析】解：由题意可得：， 
， 
． 
故答案为：． 
求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可． 
该题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查．
 

15.【答案】6;

【解析】解：由样本数据点集，，，求得的回归直线方程为，且，， 
故数据的样本中心点为， 
去掉与， 
重新求得的回归直线的斜率估计值为，回归直线方程设为：，代入， 
求得， 
回归直线的方程为：， 
将，代入回归直线方程求得的估计值， 
故答案为：． 
由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为，求解即可． 
该题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键，属于基础题．
 

16.【答案】②;

【解析】解：由题意知，，  
线性回归方程过这组数据的样本中心点，  
点满足线性回归方程，  
代入检验只有符合．  
故答案为：． 
由样本数据可得，，，利用点满足线性回归方程，即可得出结论．  
该题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
 

17.【答案】9690;

【解析】解：，所以回归方程为， 
当时，月产利润的预报值千元． 
故答案为： 
通过换元，将非线性回归方程转化为线性回归方程，利用回归直线过样本中心点求出，再进行预测． 
此题主要考查回归分析，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了线性回归方程过样本中心点的问题，是基础题． 
根据表中数据，求出，代人回归直线方程求，即可求出结果． 

解：根据表中数据，得； 
， 
， 
则缺少的数据为 
故答案为
 

19.【答案】（1）略；（2）；（3）平均体重约为千克.;

【解析】散点图如下：由题设，，，，，，故，，故回归直线方程为当时，，所以饲养满个月时，这种鱼的平均体重约为千克．
 

20.【答案】解：（1）由表知=，=， 
结合，，， 
相关系数r==． 
所以认为y与x线性相关性很强． 
（2）由（1）知，==， 
又=5，， 
故y关于x的线性回归方程为． 
令y=15.5，得到15.5=0.7x+1.5，得到x=20， 
估计经过20年该台设备的维护维修费用为15.5万元．;

【解析】 
求解样本中心坐标，结合相关系数公式求解即可． 
求解回归直线方程的系数，推出回归直线方程，然后求解使用年限． 
此题主要考查回归直线方程的求法与应用，是基础题．
 

21.【答案】解：（1）散点图如图． 
（2），…（3分） 
b==…（5分）， 
…（7分） 
∴线性回归方程为=-2x+58…（8分） 
（3）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计， 
该商场下个月毛衣的销售量为≈-2.0×6+58.1≈46（件）， 
因此估计下月毛衣销量约为46件．…（10分）;
 

【解析】 
以月平均气温为轴，月销售量轴，根据表格数据，可得散点图；  
根据所给的数据，做出变量，的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程．  
根据上一问做出的线性回归方程和所给的下个月的平均气温，代入线性回归方程求出对应的的值，这是一个预报值． 
该题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，是一个新课标中出现的新知识点，本题解答该题的关键是正确运算出线性回归方程系数的值，本题是一个中档题目．
 

22.【答案】解：Ⅰ设从五组数据中选取两组数据，平均温度相差不超过， 
则基本事件为，，，， 
，，，，，， 
所以； 
Ⅱ计算， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
关于的线性回归方程为； 
Ⅲ利用回归方程，得到五组估计数据如下表所示；

所以线性回归方程是可靠的． 
 
;

【解析】 
Ⅰ利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； 
Ⅱ计算平均数与回归系数，写出关于的线性回归方程； 
Ⅲ利用回归方程计算五组估计数据，验证线性回归方程是否可靠． 
此题主要考查了线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概率的问题，是中档题．
 

23.【答案】解：（1）由==5，==15，=320，=110， 
===2， 
∴=15-2×5=5， 
∴线性回归方程为=2x+5； 
（2）（-）2=54，（-）2=14， 
R2═1-=1-=0.74， 
说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．;

【解析】 
根据所给的数据，做出，的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．  
相关指数的计算公式，求得的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的． 
该题考查线性回归方程，考查最小二乘法求线性回归方程的系数及相关指数的计算，考查样本中心点的求法，属于基础题．