专题7.4 数列求和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

这是一份专题7.4 数列求和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题74数列求和原卷版docx、专题74数列求和解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。



【核心素养】
1．结合具体问题的计算，考查等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
2．与实际应用问题、数学文化相结合，考查数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
3.考查各种数列的求和，凸显逻辑推理、数学运算及数学应用等核心素养.
知识点一
数列的求和公式
1. 等差数列的前和的求和公式：.
2．等比数列前项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 常见数列前项和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
知识点二
几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①；
②；
③.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
常考题型剖析
题型一：公式法求和
【典例分析】
例1-1.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
例1-2.（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【规律方法】
关键是明确数列类型，正确计算公式所需元素，选用公式加以计算.
【变式训练】
变式1-1.（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用 与 的关系可得是以3为首项，2为公差的等差数列；进而根据等差求和公式即可.
【详解】因为为数列的前项积，所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，得，所以，
故是以3为首项，2为公差的等差数列；
，
故选：A
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
【答案】(1)0.0125kg；
(2)一共倒出0.39375kg盐，最后的质量分数为0.3125％．
【分析】（1）根据给定的信息，构造等比数列并求其通项作答.
（2）由（1）中信息，利用等比数列前n项和公式求和，再代值求出项作答.
【详解】（1）每次倒出的1kg盐水中含盐的质量依次排成一列，构成数列，
每次倒出1kg盐水，再加入1kg清水后，盐的质量分数依次排成一列，构成数列，记原有盐的质量分数为，
则，，当时，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，显然也满足上式，
依题意，，，，
所以第5次倒出的1kg盐水中含盐.
（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，
经6次倒出后，共倒出的盐（），
此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为.
所以一共倒出盐，最后盐的质量分数为．
题型二：分组求和与并项求和
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，当时，，则等于（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当时，，，
两式作差可得，
即，
即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，
所以，
故选：．
例2-2.（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
【规律方法】
分组转化法求和的常见类型
(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．
(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.
提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出等比数列的公比即可作答.
（2）利用（1）的结论，利用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）（1）设等比数列的公比为，依题意，
于是，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以.
变式2-2.（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，数列满足，数列的前n项和为，当n为偶数时，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求解的通项；
（2）根据（1）中的数列通项，结合等差数列和等比数列求和公式采用分组求和即可.
【详解】（1）当时，，即,解得或（负值舍去），
当时，，，
两式相减得：，因为，
所以，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）因为，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以，
当n为偶数时，
.
题型三：裂项相消法求和
【典例分析】
例3-1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
例3-2.（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【规律方法】
1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【变式训练】
变式3-1.（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项和等差数列的通项公式列式求出和，可得数列的通项公式；
（2）根据，裂项求和可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
所以，又，所以，所以，
所以，
解得，所以，
所以的通项公式．
（2）由（1）知，
所以
变式3-2.（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式；
（2）根据（1）的结果可知，再利用裂项相消法求和证明即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
所以，
且符合，
所以的通项公式为
（2）由（1）得：，
，
.
题型四：错位相减法求和
【典例分析】
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
例4-2.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”（如下图所示）所蕴含的二项式系数性质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具.

(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得一数列：1，3，6，10，15，，请写出与（，）的递推关系，并求出数列的通项公式；
(2)设，证明：.
【答案】(1) ，，.
(2)证明见解析
【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算数列的通项公式；
（2）先求出，再由错位相减求出的前项和，即可证明.
【详解】（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：，当时， ，
因为，
故，
上式对也成立，所以 ， .
（2）解：由题意可得，所以，
设，
所以， ①
所以，② .
由①②可得，
所以， ...
即 ，
.
所以 ，又因为，
故.
【温馨提醒】
1.使用“错位相减法”的方法步骤：
2.特别提醒：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.
变式4-1.（2023·福建泉州·统考模拟预测）数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)3586
【分析】（1）两边去倒数后，构造等差数列求解即可；
（2）利用错位相减法即可.
【详解】（1）由，可得.
因为，所以.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，即.
（2）因为，所以.
又，所以①.
①式两边同乘以2，得②，
②①，得，
所以.
变式4-2.（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
题型五：倒序相加法求和
【典例分析】
例5-1．（2023·全国·高三专题练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对于A，利用函数的中心对称性公式即可求解；
对于B，利用倒序相加法求和及A选项的结论即可求解；
对于C，利用B选项的结论及与的关系，结合等差数列的前项和公式即可求解；
对于D，利用B选项的结论及裂项相消法求和即可求解.
【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，所以，令，
所以，故A正确；
对于B，因为
所以
因为，所以即，故B正确；
对于C，由题可知，当时，，当时，，取时，，满足此式，
故的通项公式为.所以，
而，所以.故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
因为，所以，即，故D正确.
故选：C.
例5-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式；
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为，
所以（倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
【温馨提醒】
注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则 ， .
【答案】 /
【分析】根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用倒序相加法求和.
【详解】解：由于，①，
当时，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时也成立，
当时，，
当时也成立，所以；
根据函数，
所以，，
所以；
所以
．
故答案为：；
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
题型六：其它求和方法
【典例分析】
例6-1．（2023秋·湖南益阳·高三南县第一中学校考阶段练习）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可.
【详解】（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
例6-2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式；
（2）设数列的第项与数列的第项相等，则可得，，，得，然后可列举数列的前5项，从而可求得结果.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为
则，解得，
所以，
因为，
所以，则，
所以，
因为，所以，，
所以．
（2）设数列的第项与数列的第项相等，
则，，，
所以，，，
因为，，
所以当时，，当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，
当时，，则，当时，
当时，，则，
故的前5项之和．
【变式训练】
变式6-1.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式；
（2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值.
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
变式6-2.（2023·全国·高三专题练习）已知公比不为的等比数列的前项和为，且，．数列满足，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等比数列求和公式可求得等比数列的公比和首项，由此可得；利用已知递推关系式可证得数列为等差数列，进而得到；
（2）由（1）可得，当为偶数时，采用并项求和法可求得；当为奇数时，由可求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
，又，，解得：，
，；
由得：，又，
，数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
（2）由（1）得：；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
一、单选题
1．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）已知等差数列中，是其前项和，若，，则（ ）
A．63B．90C．99D．117
【答案】C
【分析】代入等差数列的公式，求首项和公差，再代入前项和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，根据题意可知，
，解得，
所以.
故选：C
2．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用累加法求的通项公式，再由裂项相消求数列的前9项和.
【详解】由题设，，
所以，
故.
故选：C
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据递推关系式可求得为奇数和为偶数时的通项公式，进而确定，知AB正误；由可确定C正确；分别讨论和时，的通项公式，结合二次函数性质可确定D正确.
【详解】对于A，当为奇数时，，又，
，则，A正确；
对于B，当为偶数时，，又，；
由A知：当为奇数时，；
则当为偶数时，；
当为奇数时，；
，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
综上所述：，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【答案】1009
【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答.
【详解】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用裂项相消法及等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】依题意，，
所以
.
故答案为：
6．（2023·全国·高三对口高考）已知的前n项和，则 .
【答案】
【分析】利用与的关系，结合绝对值的定义及即可求解.
【详解】当时，，
当时，
取时，，此式不满足，
故的通项公式为，
根据通项公式知，.
所以
故答案为：.
7．（2023秋·北京·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，，.是等差数列，且，，则的通项公式为 ；设，求= .
【答案】
【分析】根据和项与通项关系求通项公式，再根据等差数列通项公式基本量运算求解的通项公式，利用等比数列求和公式求和即可.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以
因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，则，
所以，，设等差数列的公差为，则，
解得，所以；
所以，所以.
故答案为：，
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .
【答案】4038
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合倒序相加法求和作答.
【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则，
由，当时，，
于是，令，
则
因此，
所以.
故答案为：4038
四、解答题
9．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）记公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，
（2）由错位相减法求解．
【详解】（1）设的公比为q，
由，，，成等差数列，得，．
法一：因为，所以，所以，，
则．
法二：由题意得，，
解得，或（舍去），
所以．
（2）因为，，
所以，
则，
所以
，
所以．
10．（2023春·江苏扬州·高三仪征中学校考阶段练习）记，为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；
（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.
【详解】（1）解：已知，
当时，，；当时，，，所以．
因为①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列．
（2）解：由（1）知，，，．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
综上所述，.
11．（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知在正项数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对已知等式分解因式结合各项都为正数，可得，从而可得是首项为，公比为的等比数列，进而可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用分组求和法和裂项求和法可证得结果.
【详解】（1）解：由，
得，
的各项都为正数，，
故是首项为，公比为的等比数列，
.
（2）证明：由，
，
，
因为，所以，
所以，
所以.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 三个条件中选①或②作差可得通项,选③作商可得通项；
(2) 当时，，，根据分段可得40项和.
【详解】（1）选①：∵，时，，
∴两式相减得，即，又当n=1时，，
∴，满足上式，∴；
选②：当n=1时，，∴，
∵，时，，
∴两式相减得，
数列是以2为首项2为公比的等比数列，
∴；
选③∵，时，，
∴两式相除得，当n=1时，，满足上式，∴；
（2）因为当时，，，
所以当时，，
当时，，
当时，.
当时，，
当时，，
当时，，
所以.