专题3.4 幂函数（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以常见幂函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
幂函数的定义
幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

知识点二
常见的5种幂函数的图象
常见的5种幂函数的图象
知识点三
常见的5种幂函数的性质
常见的5种幂函数的性质
常考题型剖析
题型一：幂函数的概念
【典例分析】
例1-1. （2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设，则，
所以.
故选：B
例1-2. （2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则___________.
【答案】/
【分析】根据幂函数过点，求出函数解析式，将数值代入即可计算.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得：，
所以，则，
故答案为：.
【知识拓展】
1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.
【变式训练】
变式1-1. （2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】设幂函数为，代入点计算得到，计算得到答案.
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
变式1-2. （2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数的图像经过点与，
则，则
故，
故答案为：81
题型二：幂函数的图象
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.
【详解】由，排除A，D．当时，，所以，排除C．
故选：B．
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
例2-3.（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
例2-4.（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.
【答案】
【分析】求出点、的坐标，代入相应的幂函数解析式，求出、的值，即可得解.
【详解】直线与、轴的交点分别是、，
因为，是线段的三等分点，可得，，
且与函数、的图像交点分别是、，其中，
所以，解得，所以，.
故答案为：.
【规律方法】
函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
【变式训练】
变式2-1.（2011·陕西·高考真题）函数的图象是( )
A． B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），（），可排除C．
故选B．
变式2-2. （2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值.
【详解】解：由题意知，
因为其图像关于y轴成轴对称，则.
故选：C．
变式2-3. （2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
变式2-4.（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质既可以求得.
【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点.
故答案为：
题型三：幂函数的性质
【典例分析】
例3-1.（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是( )
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】
考查幂函数.
∵>0，根据幂函数的图象与性质
可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选A.
点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
例3-2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，
故选A.
例3-3．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
例3-4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
【变式训练】
变式3-1. （2020·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
变式3-2. （2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
变式3-3. 【多选题】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
变式3-4.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
题型四：幂函数综合问题
【典例分析】
例4-1. （2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【详解】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D
例4-2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
例4-3．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
【答案】－1或
【解析】
设点，则
令
令
（1）当时，时取得最小值，，解得
（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值
，解得
综上可知：或
所以答案应填：-1或.
例4-4．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
【变式训练】
变式4-1. （2023·广东佛山·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得，，，即可得出答案.
【详解】由题知，，，
，所以.
故选：A.
变式4-2. （2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由且横坐标对应相等，知纵坐标差的绝对值对应相等，化简即得.
【详解】因为，且，，故.故，则.
故选：D.
变式4-3. （2023·高三课时练习）已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为______．（写出满足条件的所有取值）
【答案】、、0或
【分析】根据幂函数的性质，结合题意，根据函数值的正负情况，一一判断的取值是否符合题意，可得答案.
【详解】因为，所以 ，
要使则在区间上应大于0，
所以时在区间可取到负值，不合题意；
当时，，在区间上恒有成立，符合题意；
当时，，当时，，
当时，，
即在区间上有成立，不合题意；
当时，，当时，为递增函数，，则；
当时，为递减函数，，则，
故在区间上有恒成立，符合题意；
当 时，，由，及，
知恒成立，符合题意；
当 时，，由及，
知恒成立，符合题意，
综上所述，的取值为、、0或，
故答案为：、、0或
变式4-4. （2020秋·江西上饶·高三校考阶段练习）已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;
(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.
【详解】（1）由题意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函数,则，
故 ;
（2）,
的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,
则 , 解得: .
所以实数的取值范围为.
一、单选题
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；
易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意.
综上.
故选：A.
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
5．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
6．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确， 函数为奇函数，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；
对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故选：C
7.（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】特殊值法判断A,C,D选项错误，根据已知条件结合式子范围及指数幂判断证明B选项.
【详解】令
A,C选项错误;
,D选项错误;
,
,
,
,B选项正确.
故选:B.
8．（2012·山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【详解】令,可得．
设
根据题意与直线只有两个交点，
不妨设，结合图形可知，当时如右图，
与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得，即，此时，
，
同理可得，当时如左图，，
故选：B．
二、填空题
9. （2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
10．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
11.（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
【答案】
【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.
【详解】设幂函数为，由题意，，
解得，所以幂函数解析式为，
所以.
故答案为：
12．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．
【答案】，，
【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数的零点.
【详解】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得
所以，则函数的零点为方程的根，解得或，
所以函数的零点为，，.
故答案为：，，.
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇