专题4.4 导数与不等式（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.不等式问题，主要考查解不等式、不等式的证明、不等式恒成立或不等式存在性问题、由不等式成立求参数问题等，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
2.将函数、导数与数列、放缩法相结合证明不等式、与三角函数相结合考查函数的性质问题等，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性.
知识点一
与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
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知识点二
利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
常考题型剖析
题型一：具体函数不等式求解
【典例分析】
例1-1.（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例1-2.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
具体函数不等式求解问题，主要利用导数研究函数的单调性，将函数值关系转化成自变量的关系，即转化得到一个代数不等式求解.
【变式训练】
变式1-1.（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2.（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______________．
题型二：含导数抽象函数不等式求解问题
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例2-2.（2023·广东广州·统考三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，构造函数的常见类型有：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
若f′(x)>a(a≠0)，则构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
若f′(x)±g′(x)>0，则构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
若f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，则构造函数F(x)＝f(x)g(x)
若f′(x)g(x)－f(x)g′(x)，则构造可导函数y＝eq \f(fx,gx).
【变式训练】
变式2-1.（2023春·河南三门峡·高三校考阶段练习）已知函数的导函数为，若，则关于的不等式的解集为______.
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x>0时，，且，则不等式的解集为_________________________.
题型三：比较函数值大小
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3-3.（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
比较函数值的大小，通常有三种类型，一是利用函数的单调性或通过引入-1,0,1等中介值完成解答；二是给出看似独立的几个函数值，通过观察其特征，构造函数，应用导数求解；三是给出抽象函数关系，比较函数值大小，一般也要通过构造函数，应用导数求解，构造函数的常见类型和题型二类似.
【变式训练】
变式3-1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为 为函数的导函数，当时， ，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2. （2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3. （2022年高考全国I卷）设，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：不等式恒成立求参数
【典例分析】
例4-1.（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________．
例4-2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，，且时，恒成立，则的取值范围是_________.
例4-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【总结提升】
利用导数研究不等式的恒成立问题求解策略：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与有解问题的区别．
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，（其中，是自然对数的底数），若对定义域内的任意两个不同的数、，恒有，则实数的取值范围是______．
变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
题型五：不等式能成立或有解问题
【典例分析】
例5-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．若在区间上有解，求实数的取值范围．
【总结提升】
1.不等式存在成立问题
(1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)．
(2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2.
2．有关存在成立问题的解题方法
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)3．【特别提醒】不等式恒成立与存在成立的异同
不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对存在x∈D能成立等价于f(a)≥g(x)min(f(a)≤g(x)max)，f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对任意x∈D都成立等价于f(a)≥g(x)max(f(a)≤g(x)min)，应注意区分，不要搞混．
【变式训练】
变式5-1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是________________.
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数为实常数）．若存在，使得成立，求实数的取值范围．
题型六：利用导数证明不等式
【典例分析】
例6-1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
例6-2.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的导函数的单调性；
(2)若，求证：对，恒成立．
【规律方法】
1.利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；
（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
2．利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0.
3．证明不等式时的一些常见结论
(1)ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到；
(2)ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到；
(3)ln x0；
(4)eq \f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x，x>－1，等号当且仅当x＝0时取到．
【变式训练】
变式6-1.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
变式6-2.（2023·天津·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
一、单选题
1．（2022秋·海南·高三校联考期末）已知函数对任意的，都有，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·江西南昌·高三统考阶段练习）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知定义在上函数满足：，写出一个满足上述条件的函数__________.
6.（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为______.
7．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．
8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上.若.则实数的取值范围为__________.
9．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）设函数，的导函数是，，当时，，那么关于的不等式的解是______.
10.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）定义在R上的函数，若的解集为[1，+∞)，则a的取值范围为____________.若关于x的不等式恒成立，则a的最大值为_____________.
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）当时，证明：恒成立.
12．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.