专题7.1 数列的概念与简单表示（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

这是一份专题7.1 数列的概念与简单表示（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题71数列的概念与简单表示原卷版docx、专题71数列的概念与简单表示解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。


【核心素养】
与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养．
知识点一
数列的概念
1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.
2.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
知识点二
数列的分类
知识点三
数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
知识点四
数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
知识点五
an与Sn的关系
数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
知识点六
数列的性质
数列的性质----主要指：
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
（2）数列的周期性.
常考题型剖析
题型一：数列的概念与通项公式
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·高三专题练习）数列…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
例1-2.（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ．
【规律方法】
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.【多选题】（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（ ）
A．数列第16项为144B．数列第16项为128
C．200是数列第20项D．200不是数列中的项
题型二：数列的增减性
例2-1.【多选题】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的通项为，，则（ ）
A．数列的最小项为B．数列的最大项为
C．数列的最小值为－0.8D．数列的最大值为2.4
例2-2.（2022·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【规律方法】
解决数列的增减性问题可用以下三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
(2)用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
(3)结合相应函数的图象直观判断．
【变式训练】
变式2-1.【多选题】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2023春·海南儋州·高二校考期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递减数列
B．
C．当时，
D．当或4时，取得最大值
题型三：数列的周期性
【典例分析】
例3-1．（2020·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）设数列满足：，记数列的前项之积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【变式训练】
变式3-1.（上海·高考真题）若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ）
A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a6k+1}
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则（ ）
A．B．1
C．D．2
题型四：数列最大项或最小项问题
【典例分析】
例4-1．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
例4-2.（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则此数列最大项的值是 .
【规律方法】
数列最大项或最小项的方法
1.利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项；
2.利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项．
3.根据通项公式，利用其性质或比较相邻两项的差
变式4-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A．1，B．0，C．，D．1，
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的最大项的值是 ．
题型五：由递推公式推导通项公式
【典例分析】
例5-1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例5-2．（2020·全国·统考高考真题）数列满足，前16项和为540，则 .
例5-3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
例5-4．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【规律方法】
递推公式推导通项公式方法：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.
（5）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（6）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（7）待定系数法：（其中均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.
取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.
（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数
解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
变式5-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则通项公式 .
变式5-4.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
题型六：与的关系求通项
【典例分析】
例6-1．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
例6-2．（广东·高考真题）设数列的前项和为，满足，，且.
（1）求、、的值；
（2）求数列的通项公式.
【规律方法】
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．
【变式训练】
变式6-1.（江苏·高考真题）设数列的前n项和为，（对于所有），且，则的数值是 ．
变式6-2.（全国·高考真题）已知数列{}中，=1，前n项和．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{}的通项公式．
一、单选题
1．（江西·高考真题）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·广西桂林·高二统考期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5.（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（全国·高考真题）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式 .
7.（2023·全国·高三专题练习）设数列满足．
（1）若，则 ；
（2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ．
8．（2012·湖北·高考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：
（Ⅰ）是数列中的第 项；
（Ⅱ） ．（用表示）
四、解答题
9．（江西·高考真题）已知数列的前项和满足，且，，求数列的通项公式．
10.（2013·江西·高考真题）正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
11.（2017·全国·高考真题）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；
(2)求出数列的通项公式．
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…