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专题6.1 平面向量的概念及其运算（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题6.1 平面向量的概念及其运算（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题61平面向量的概念及其运算原卷版docx、专题61平面向量的概念及其运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.考查平面向量的有关概念，以及对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．考查向量的线性运算，以及用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
知识点一
向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二
平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
知识点三
共线向量定理
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
知识点四
两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
知识点五
平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
知识点六
数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
知识点七
向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
常考题型剖析
题型一：向量的有关概念
【典例分析】
例1-1.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】B
【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B， 表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误．
【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；
对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；
对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；
对于D，由得，所以，所以该选项错误．
故选：B．
例1-2.（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
【规律方法】
(1)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
（4）几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【易错提醒】
1．有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
【变式训练】
变式1-1.（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合向量的概念、性质，说明、情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，注意共线向量传递性的前提判断③、④.
【详解】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；
③若，即、分别为相等向量，故，对；
④若，，当为零向量时不一定成立，错.
故选：D
变式1-2.（2022秋·四川成都·高三校考期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；
选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
题型二：平面向量的线性运算
例2-1.（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
例2-2.（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【规律方法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
3.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
【变式训练】
变式2-1.（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
变式2-2.（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
题型三：利用向量线性运算求参数
【典例分析】
例3-1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
例3-2.（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，若点满足，设，则 .
【答案】
【分析】根据向量的线性运算可用表示，求出的值后可求的值.
【详解】
因为，故，
整理得到：，故，
而，故为线段靠近的三等分点，故不共线，
故即
故答案为：.
【规律方法】
利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【变式训练】
变式3-1.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.
【答案】
【解析】
因为向量不共线，
所以向量均不为零向量，
解得
故答案为：；
变式3-2.（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，则= .
【答案】.
【解析】
由题作图如图所示，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
题型四：共线向量及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，作＝，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
例4-2.（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【详解】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
例4-3.（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 .
【答案】
【分析】因为向量与的方向相反，
所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
【总结提升】
1.平面向量共线定理的三个应用
证明向量共线：对于非零向量a、b共线，若存在实数λ，使得b＝λa，则a、b共线.
（2）证明三点共线：
（3）求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件，列方程（组），求参数值.
2.求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
【变式训练】
变式4-1.（2005·山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.
【详解】因为，，不存在常数使得，所以不共线，则A，B，C不共线，B错；
因为，，不存在常数，使得，所以不共线，则B，C，D不共线，C错；
因为，，所以不存在常数，使得，所以不共线，则A，C，D不共线，D错；
因为，所以共线，又两向量都过点，故三点，，一定共线．
故选：A．
变式4-2.（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件，
故选：C
变式4-3.（2020·全国高一课时练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.
【答案】
【解析】
求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.
【详解】
由题意，，
又，且A、B、D三点共线，
由共线向量定理得，存在实数使得成立，
即，
则，解得.
故答案为：.
题型五：平面向量数量积的运算
【典例分析】
例5-1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
例5-2.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
例5-3.（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
【规律方法】
计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
【变式训练】
变式5-1.（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
变式5-2.（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
变式5-3.（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
题型六：平面向量的夹角问题
【典例分析】
例6-1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
例6-2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
例6-3.（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案.
【详解】，
由向量与的夹角是锐角，，解得或；
且向量与不共线，则，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【规律方法】
向量夹角问题的解答方法：
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
提醒：〈a，b〉∈[0，π]．
【变式训练】
变式6-1.（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
变式6-2.（2023·河北张家口·统考三模）已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，分别求得，，且，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由向量均为单位向量且，可得且，
则，，
且，
又由向量与向量的夹角为，则.
故答案为：.
变式6-3.（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
题型七：平面向量的模的问题
【典例分析】
例7-1．（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
【答案】D
【解析】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
例7-2.（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
例7-3.（2023·江西·校联考二模）平面向量满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用题给条件求得向量之间的关系，再利用托勒密定理数形结合即可求得的取值范围.
【详解】预备定理：
圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E，
则（，）
则
又（，）
则，又
则
由题意得，平面向量满足，
令，
则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上，
又，则向量两两夹角为，且为等边三角形，
则
不妨设点D在A、B为端点的优弧上，
由以上预备定理可得
又，则
则
又点D在圆O上任意移动，则，则
故答案为：
【规律方法】
平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．
【变式训练】
变式7-1.（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可得出答案.
【详解】设，的夹角为，
由可得：，
，所以，
在上的投影向量为，则，
所以，即，则.
故选：B.
变式7-2.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】求出的值，写出的表达式，即可求出最小值.
【详解】由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，，
当时，取得最小值，
∴的最小值为，
故选：A.
变式7-3.（2020·全国·统考高考真题）设为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
题型八：平面向量垂直的条件及其应用
【典例分析】
例8-1．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意结合向量数量积的运算律运算求解.
【详解】因为，所以①，
又因为，所以②，
由得：，所以.
故选：A.
例8-2.（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【规律方法】
平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【变式训练】
变式8-1.（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
变式8-2.（2022秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考开学考试）已知非零向量，的夹角为，，，则 .
【答案】6
【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】因为，故，
即，
故答案为：6
题型九：平面向量的投影
【典例分析】
例9-1．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到，再根据投影向量的公式计算得到答案.
【详解】，则，故，
在方向上的投影向量.
故选：D.
例9-2.（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，
所以，
所以，，
，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
【变式训练】
变式9-1.（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
变式9-2.（2023·全国·高三专题练习）若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 ．
【答案】5
【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.
【详解】因为，，则有，即，
而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为：5
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为知向量与的夹角为，且，，
在方向上的投影向量为．
故选：A．
2．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）如图，圆半径为，圆外一点到圆心的距离为，过引圆的两条切线，切点分别记为、，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用向量的线性运算可得，结合数量积的定义求其最小值.
【详解】由已知，，，
所以，
因为，
又，
，
当且仅当反向时取等号，
即的最小值为，
因为，
所以，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多选题
3.（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】，故A错误；
因为，故B正确；
，又，所以，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：.
三、填空题
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】向量，满足，，由，得，
因此，而，则，
所以与的夹角为.
故答案为：
5．（2023·福建宁德·校考二模）在平行四边形中，已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】设，根据题意化简求得，再由，即可求解.
【详解】如图所示，设，
因为，，可得，，
又因为，，
可得，，
两式相减得到，可得，
又由，所以.
故答案为：.
6．（2023·广东深圳·统考二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是 .
【答案】2
【分析】根据平面向量夹角公式列式可得结果.
【详解】因为，
所以，所以，
，
，
整理得，得（负值已舍去）.
故答案为：.
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）在直角坐标平面中，角的始边为轴的非负半轴，它的始边、终边分别与单位圆相交于两点，已知，则的一个可能取值是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】先利用数量积数量积运算律及模的运算求出两向量夹角，再由终边相同的角求出即可.
【详解】由题意，又，所以，所以，
所以，因为，所以，
所以或，故的一个可能取值是（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
8．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则 ．
【答案】
【分析】应用向量的性质即可列方程组求解.
【详解】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
9．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【分析】由得，展开可得关于的方程，解方程即得答案.
【详解】因为，所以，
即，
即，因为，所以可解得.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）设是向量，则“”是“”的 条件．
【答案】既不充分也不必要
【分析】将平方转化为，然后分析与的关系可得.
【详解】，
当同向，且时，，
当时，，的模不一定相等，
所以“”是“”既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要.
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
四、解答题
12.（2023·全国·高三对口高考）已知.
(1)求；
(2)k为何值时，.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
则，
所以，
.
（2）因为，则
，解得.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：；
(2)结合律：
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
【核心素养】
1.考查平面向量的有关概念，以及对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．考查向量的线性运算，以及用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
知识点一
向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二
平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
知识点三
共线向量定理
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
知识点四
两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
知识点五
平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
知识点六
数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
知识点七
向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
常考题型剖析
题型一：向量的有关概念
【典例分析】
例1-1.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】B
【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B， 表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误．
【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；
对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；
对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；
对于D，由得，所以，所以该选项错误．
故选：B．
例1-2.（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
【规律方法】
(1)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
（4）几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【易错提醒】
1．有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
【变式训练】
变式1-1.（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合向量的概念、性质，说明、情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，注意共线向量传递性的前提判断③、④.
【详解】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；
③若，即、分别为相等向量，故，对；
④若，，当为零向量时不一定成立，错.
故选：D
变式1-2.（2022秋·四川成都·高三校考期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；
选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
题型二：平面向量的线性运算
例2-1.（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
例2-2.（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【规律方法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
3.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
【变式训练】
变式2-1.（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
变式2-2.（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
题型三：利用向量线性运算求参数
【典例分析】
例3-1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
例3-2.（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，若点满足，设，则 .
【答案】
【分析】根据向量的线性运算可用表示，求出的值后可求的值.
【详解】
因为，故，
整理得到：，故，
而，故为线段靠近的三等分点，故不共线，
故即
故答案为：.
【规律方法】
利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【变式训练】
变式3-1.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.
【答案】
【解析】
因为向量不共线，
所以向量均不为零向量，
解得
故答案为：；
变式3-2.（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，则= .
【答案】.
【解析】
由题作图如图所示，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
题型四：共线向量及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，作＝，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
例4-2.（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【详解】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
例4-3.（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 .
【答案】
【分析】因为向量与的方向相反，
所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
【总结提升】
1.平面向量共线定理的三个应用
证明向量共线：对于非零向量a、b共线，若存在实数λ，使得b＝λa，则a、b共线.
（2）证明三点共线：
（3）求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件，列方程（组），求参数值.
2.求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
【变式训练】
变式4-1.（2005·山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.
【详解】因为，，不存在常数使得，所以不共线，则A，B，C不共线，B错；
因为，，不存在常数，使得，所以不共线，则B，C，D不共线，C错；
因为，，所以不存在常数，使得，所以不共线，则A，C，D不共线，D错；
因为，所以共线，又两向量都过点，故三点，，一定共线．
故选：A．
变式4-2.（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件，
故选：C
变式4-3.（2020·全国高一课时练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.
【答案】
【解析】
求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.
【详解】
由题意，，
又，且A、B、D三点共线，
由共线向量定理得，存在实数使得成立，
即，
则，解得.
故答案为：.
题型五：平面向量数量积的运算
【典例分析】
例5-1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
例5-2.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
例5-3.（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
【规律方法】
计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
【变式训练】
变式5-1.（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
变式5-2.（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
变式5-3.（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
题型六：平面向量的夹角问题
【典例分析】
例6-1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
例6-2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
例6-3.（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案.
【详解】，
由向量与的夹角是锐角，，解得或；
且向量与不共线，则，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【规律方法】
向量夹角问题的解答方法：
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
提醒：〈a，b〉∈[0，π]．
【变式训练】
变式6-1.（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
变式6-2.（2023·河北张家口·统考三模）已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，分别求得，，且，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由向量均为单位向量且，可得且，
则，，
且，
又由向量与向量的夹角为，则.
故答案为：.
变式6-3.（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
题型七：平面向量的模的问题
【典例分析】
例7-1．（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
【答案】D
【解析】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
例7-2.（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
例7-3.（2023·江西·校联考二模）平面向量满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用题给条件求得向量之间的关系，再利用托勒密定理数形结合即可求得的取值范围.
【详解】预备定理：
圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E，
则（，）
则
又（，）
则，又
则
由题意得，平面向量满足，
令，
则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上，
又，则向量两两夹角为，且为等边三角形，
则
不妨设点D在A、B为端点的优弧上，
由以上预备定理可得
又，则
则
又点D在圆O上任意移动，则，则
故答案为：
【规律方法】
平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．
【变式训练】
变式7-1.（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可得出答案.
【详解】设，的夹角为，
由可得：，
，所以，
在上的投影向量为，则，
所以，即，则.
故选：B.
变式7-2.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】求出的值，写出的表达式，即可求出最小值.
【详解】由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，，
当时，取得最小值，
∴的最小值为，
故选：A.
变式7-3.（2020·全国·统考高考真题）设为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
题型八：平面向量垂直的条件及其应用
【典例分析】
例8-1．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意结合向量数量积的运算律运算求解.
【详解】因为，所以①，
又因为，所以②，
由得：，所以.
故选：A.
例8-2.（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【规律方法】
平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【变式训练】
变式8-1.（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
变式8-2.（2022秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考开学考试）已知非零向量，的夹角为，，，则 .
【答案】6
【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】因为，故，
即，
故答案为：6
题型九：平面向量的投影
【典例分析】
例9-1．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到，再根据投影向量的公式计算得到答案.
【详解】，则，故，
在方向上的投影向量.
故选：D.
例9-2.（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，
所以，
所以，，
，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
【变式训练】
变式9-1.（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
变式9-2.（2023·全国·高三专题练习）若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 ．
【答案】5
【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.
【详解】因为，，则有，即，
而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为：5
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为知向量与的夹角为，且，，
在方向上的投影向量为．
故选：A．
2．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）如图，圆半径为，圆外一点到圆心的距离为，过引圆的两条切线，切点分别记为、，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用向量的线性运算可得，结合数量积的定义求其最小值.
【详解】由已知，，，
所以，
因为，
又，
，
当且仅当反向时取等号，
即的最小值为，
因为，
所以，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多选题
3.（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】，故A错误；
因为，故B正确；
，又，所以，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：.
三、填空题
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】向量，满足，，由，得，
因此，而，则，
所以与的夹角为.
故答案为：
5．（2023·福建宁德·校考二模）在平行四边形中，已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】设，根据题意化简求得，再由，即可求解.
【详解】如图所示，设，
因为，，可得，，
又因为，，
可得，，
两式相减得到，可得，
又由，所以.
故答案为：.
6．（2023·广东深圳·统考二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是 .
【答案】2
【分析】根据平面向量夹角公式列式可得结果.
【详解】因为，
所以，所以，
，
，
整理得，得（负值已舍去）.
故答案为：.
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）在直角坐标平面中，角的始边为轴的非负半轴，它的始边、终边分别与单位圆相交于两点，已知，则的一个可能取值是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】先利用数量积数量积运算律及模的运算求出两向量夹角，再由终边相同的角求出即可.
【详解】由题意，又，所以，所以，
所以，因为，所以，
所以或，故的一个可能取值是（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
8．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则 ．
【答案】
【分析】应用向量的性质即可列方程组求解.
【详解】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
9．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【分析】由得，展开可得关于的方程，解方程即得答案.
【详解】因为，所以，
即，
即，因为，所以可解得.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）设是向量，则“”是“”的 条件．
【答案】既不充分也不必要
【分析】将平方转化为，然后分析与的关系可得.
【详解】，
当同向，且时，，
当时，，的模不一定相等，
所以“”是“”既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要.
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
四、解答题
12.（2023·全国·高三对口高考）已知.
(1)求；
(2)k为何值时，.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
则，
所以，
.
（2）因为，则
，解得.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：；
(2)结合律：
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
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