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专题5.3 三角函数的图象与性质（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题5.3 三角函数的图象与性质（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题53三角函数的图象与性质原卷版docx、专题53三角函数的图象与性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.结合不等式、三角函数线考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．三角函数的图象和性质与二次函数相结合，考查函数的值域(最值)，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．借助三角函数的图象、数形结合思想考查函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
知识点一
“五点法”做函数的图象
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
知识点二
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
常考题型剖析
题型一：三角函数的定义域和值域
【典例分析】
例1-1.（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）设函数，在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例1-2.（2017新课标2）函数fx=sin2x+3csx−34（x∈0,π2）的最大值是__________．
例1-3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【规律方法】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cs x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
【变式训练】
变式1-1.（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023春·四川成都·高一树德中学校考期末）函数取得最小值时，的值为（ ）
A．B．0C．D．
变式1-3.（2021秋·高一校考课时练习）求函数的定义域．
题型二：三角函数的单调性及其应用
例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
例2-3.【多选题】（2023·广东东莞·校考三模）已知，且，则下列命题中成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【规律方法】
1.常见考题类型：（1）求三角函数的单调区间；（2）已知函数的单调性求参数值或范围；（3）比较大小.
2.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
3.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.
4．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
5.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，(eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))∪…上是增函数．
【变式训练】
变式2-1.（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2-3.（2023·全国·高三对口高考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：三角函数的周期性及其应用
【典例分析】
例3-1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
例3-2.（2020·全国·统考高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
1.求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.
2.使用周期公式，必须先将解析式化为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，正切函数的最小正周期公式是 SKIPIF 1 < 0 ；注意一定要注意加绝对值.
3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
【变式训练】
变式3-1.【多选题】（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
变式3-2.（2023春·甘肃·高一校联考阶段练习）已知函数，则 ．
题型四：三角函数的奇偶性及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例4-2.（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
例4-3.（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【规律方法】
1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 SKIPIF 1 < 0 ；最后比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系，如果有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则函数是偶函数，如果有 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
【变式训练】
变式4-1.（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2.（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）下列函数中最小正周期是的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式4-3.（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型五：三角函数的对称性及其应用
【典例分析】
例5-1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．.
C．D．
例5-3.（2020·全国·统考高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【规律方法】
1.函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
2.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
3.正切函数图象的对称中心是(eq \f(kπ,2)，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．
【变式训练】
变式5-1.（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
变式5-2.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）以点为对称中心的函数是（ ）．
A．B．
C．D．
变式5-3.（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
题型六：三角函数的零点问题
【典例分析】
例6-1．【多选题】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（ ）
A．B．
C．直线是函数的对称轴D．
例6-2.（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
例6-3.（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
例6-4.（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 .
【总结提升】
重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题．
【变式训练】
变式6-1.【多选题】（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知为R上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数
B．若的一个零点为，且，则
C．在区间的零点个数为3个
D．若大于1的零点从小到大依次为，，…，则
变式6-2.（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，则f（x）在上的零点可能有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
变式6-3.（2024·四川成都·成都七中校考一模）函数零点个数为（ ）
A．B．C．D．
变式6-4.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
题型七：三角函数中有关ω问题
【典例分析】
例7-1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【总结提升】
常见考题类型：1. 三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系
【变式训练】
变式7-1.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2.（2023春·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是
题型八：三角函数图像与性质综合问题
【典例分析】
例8-1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）
A．的取值范围是
B．在单调递增
C．若是在上的第一个极值点，则；
D．若是在上的第一个极值点，是的切线
例8-2.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .
【总结提升】
常见考题类型：1. 三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系
【变式训练】
变式8-1.【多选题】（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）已知函数的图象如图所示，则正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．直线是函数的一条对称轴
D．，使得
变式8-2.（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第一中学阶段练习）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ．
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）设函数的图象关于直线对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知函数，其中，若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是（ ）
A．关于对称B．
C．一定是奇数D．有两个不同的值
6．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．图象的一条对称轴的方程为
C．在区间上单调递增
D．的解集为
7．（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
二、多选题
8．（重庆市江津中学校等七校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，该图象与轴的交点坐标是，若的图象关于点对称，且在区间上单调递减，则的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．11
9．（2023·河北张家口·统考三模）关于函数，下列选项正确的有（ ）
A．为偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最小值为2
D．在区间上有两个零点
三、填空题
10.（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调，则的最大值为 .
解答题
12．（2023·全国·高三对口高考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式，并求出其增区间；
(2)若函数定义域为，求其值域.
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
0
0
3
0
-3
0
0
x
2
0
【核心素养】
1.结合不等式、三角函数线考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．三角函数的图象和性质与二次函数相结合，考查函数的值域(最值)，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．借助三角函数的图象、数形结合思想考查函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
知识点一
“五点法”做函数的图象
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
知识点二
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
常考题型剖析
题型一：三角函数的定义域和值域
【典例分析】
例1-1.（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）设函数，在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例1-2.（2017新课标2）函数fx=sin2x+3csx−34（x∈0,π2）的最大值是__________．
例1-3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【规律方法】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cs x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
【变式训练】
变式1-1.（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023春·四川成都·高一树德中学校考期末）函数取得最小值时，的值为（ ）
A．B．0C．D．
变式1-3.（2021秋·高一校考课时练习）求函数的定义域．
题型二：三角函数的单调性及其应用
例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
例2-3.【多选题】（2023·广东东莞·校考三模）已知，且，则下列命题中成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【规律方法】
1.常见考题类型：（1）求三角函数的单调区间；（2）已知函数的单调性求参数值或范围；（3）比较大小.
2.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
3.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.
4．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
5.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，(eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))∪…上是增函数．
【变式训练】
变式2-1.（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2-3.（2023·全国·高三对口高考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：三角函数的周期性及其应用
【典例分析】
例3-1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
例3-2.（2020·全国·统考高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
1.求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.
2.使用周期公式，必须先将解析式化为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，正切函数的最小正周期公式是 SKIPIF 1 < 0 ；注意一定要注意加绝对值.
3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
【变式训练】
变式3-1.【多选题】（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
变式3-2.（2023春·甘肃·高一校联考阶段练习）已知函数，则 ．
题型四：三角函数的奇偶性及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例4-2.（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
例4-3.（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【规律方法】
1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 SKIPIF 1 < 0 ；最后比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系，如果有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则函数是偶函数，如果有 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
【变式训练】
变式4-1.（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2.（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）下列函数中最小正周期是的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式4-3.（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型五：三角函数的对称性及其应用
【典例分析】
例5-1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．.
C．D．
例5-3.（2020·全国·统考高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【规律方法】
1.函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
2.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
3.正切函数图象的对称中心是(eq \f(kπ,2)，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．
【变式训练】
变式5-1.（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
变式5-2.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）以点为对称中心的函数是（ ）．
A．B．
C．D．
变式5-3.（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
题型六：三角函数的零点问题
【典例分析】
例6-1．【多选题】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（ ）
A．B．
C．直线是函数的对称轴D．
例6-2.（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
例6-3.（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
例6-4.（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 .
【总结提升】
重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题．
【变式训练】
变式6-1.【多选题】（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知为R上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数
B．若的一个零点为，且，则
C．在区间的零点个数为3个
D．若大于1的零点从小到大依次为，，…，则
变式6-2.（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，则f（x）在上的零点可能有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
变式6-3.（2024·四川成都·成都七中校考一模）函数零点个数为（ ）
A．B．C．D．
变式6-4.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
题型七：三角函数中有关ω问题
【典例分析】
例7-1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【总结提升】
常见考题类型：1. 三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系
【变式训练】
变式7-1.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2.（2023春·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是
题型八：三角函数图像与性质综合问题
【典例分析】
例8-1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）
A．的取值范围是
B．在单调递增
C．若是在上的第一个极值点，则；
D．若是在上的第一个极值点，是的切线
例8-2.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .
【总结提升】
常见考题类型：1. 三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系
【变式训练】
变式8-1.【多选题】（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）已知函数的图象如图所示，则正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．直线是函数的一条对称轴
D．，使得
变式8-2.（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第一中学阶段练习）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ．
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）设函数的图象关于直线对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知函数，其中，若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是（ ）
A．关于对称B．
C．一定是奇数D．有两个不同的值
6．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．图象的一条对称轴的方程为
C．在区间上单调递增
D．的解集为
7．（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
二、多选题
8．（重庆市江津中学校等七校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，该图象与轴的交点坐标是，若的图象关于点对称，且在区间上单调递减，则的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．11
9．（2023·河北张家口·统考三模）关于函数，下列选项正确的有（ ）
A．为偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最小值为2
D．在区间上有两个零点
三、填空题
10.（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调，则的最大值为 .
解答题
12．（2023·全国·高三对口高考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式，并求出其增区间；
(2)若函数定义域为，求其值域.
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
0
0
3
0
-3
0
0
x
2
0
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