2024届高考数学复习第一轮讲练测专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 教师版

专题5.5   函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用

1．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）函数的周期､振幅､初相分别是（    ）

A．，2， B．，，

C．，2， D．，2，

【答案】C

【解析】

根据三角函数的特征即可得出选项.

【详解】

由，

则，振幅为，

当时，，即初相为.

故选：C

2．（2021·江西新余市·高一期末（理））函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（    ）

A．向右移个单位长度

B．向右移个单位长度

C．向左移个单位长度

D．向左移个单位长度

【答案】A

【解析】

由图中最低点纵坐标得到振幅A,利用相邻零点的距离等于四分之一周期，得到ω，由五点作图法对应的最高点的相位求得初相φ的值，得到函数的解析式，进而利用平移变换法则得到答案.

【详解】

由函数图象可得，则，可得.

再由五点作图法可得，得，故函数的解析式为.

由，

故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.

故选:A.

3．（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．收缩压为 B． C．舒张压为 D．

【答案】B

【解析】

通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，，利用周期公式求出得解．

【详解】

由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；

 周期，知，所以选项B错误；

由题得，所以所以选项D正确.

故选：B

4．（2022·河南高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

化简函数的解析式为，根据三角函数的图象变换，求得平移后的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象的解析式为：

，

令，解得，

当时，可得，所以函数的一个对称中心为.

故选：C.

5.（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】

因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故选：B.

6．（2018·天津高考真题（文））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间 上单调递增    B．在区间 上单调递减

C．在区间 上单调递增    D．在区间 上单调递减

【答案】A

【解析】

由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；

本题选择A选项.

7．（2019·天津高考真题（文理））已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C.

8.（2021·兰州市第二中学高三月考（文））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

有题意设，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果.

【详解】

设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，

周期为120s，，

最高点的纵坐标为，

最低点的纵坐标为，

所以，

当t=0时，H=0，，

所以.

故选：A.

9.【多选题】（2021·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为

【答案】ABD

【解析】

由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解．

【详解】

解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，

则，故B正确；

振幅A为筒车的半径，即，故A正确；

由题意，t=0时，d=0，，即 ，

，∴，故C错误；

，

由d=6，得，

得

∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．

故选：ABD．

10．【多选题】（2021·福建高三三模）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（    ）

A．对一切恒成立

B．在区间上不单调

C．在区间上恰有1个零点

D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称

【答案】AB

【解析】

由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论.

【详解】

解：∵函数的最小正周期为，∴，.

令，求得为最大值，故有对一切恒成立，故A正确；

在区间上，，函数没有单调性，故B正确；

在区间上，，函数有2个零点，故C错误；

将函数的图像向左平移个单位长度，所得的图像关于不原点对称，故D错误，

故选：AB.

1．【多选题】（2021·福建师大附中高三其他模拟）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（    ）

A．点的纵坐标为

B．是的一个单调递增区间

C．对任意，点都是图象的对称中心

D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到

【答案】BC

【解析】

首先求出函数的周期，再根据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；

【详解】

解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；

因为，所以，所以，因为

所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；

令，，解得，，所以函数的对称中心为，，故C正确；

将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；

故选：BC

2.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（    ）.

A．函数的图像关于直线对称

B．当时，函数的最小值为

C．若，则的值为

D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位

【答案】BD

【解析】

由题知：函数的最大值为，所以.

因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，

所以，，，.

又因为的图像关于点对称，

所以，，.

所以，.因为，所以.

即.

对选项A，，故A错误.

对选项B，，，

当时，取得最小值， 故B正确.

对选项C，，

得到.

因为，

故C错误.

对选项D，

的图像向右平移个单位得到

，

故D正确.

故选：BD

3．【多选题】（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数，则下列结论中错误的是（    ）

A．点是的一个对称中心点

B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到

C．在上单调递增

D．是方程的两个解，则

【答案】BCD

【解析】

首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即，然后根据三角函数的性质进行判断.

【详解】

对于A：令，解得，

当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；

对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；

对于C：当时，，而函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；

对于D：令，解得或，

即或，所以，故D错误.

故选：BCD.

4．（2021·北京石景山区·高一期末）设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：

①；

②；

③既不是奇函数也不是偶函数；

④的单调递增区间是．

正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．

【答案】①③

【解析】

利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.

【详解】

由题设，且，

∵对一切恒成立，

∴，即，则,

①，正确；

②，而，所以，错误；

③，故，即是非奇非偶函数，正确；

④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；

故答案为：①③

5．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）已知平面单位向量，满足，，记为向量与的夹角，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

设，，，由可得点在直线上运动，由可得点在直线上运动，即点是与的交点，然后过点 作交于点，可得，然后向量与的夹角为角，在中，由正弦定理可得，然后利用三角函数的单调性可求出答案.

【详解】

如图所示，设，，

因为，所以

所以点在直线上运动，

又因为，所以点在直线上运动，

故点是与的交点．

利用相似可知，过点 作交于点

所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．

又因为向量与的夹角为角，

在中，，由正弦定理可得

所以

因为与都单调递增，

所以当时最大，此时，

所以的最大值为

6．（2021·浙江高二期末）将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为________．

【答案】       

【解析】

利用三角函数图象的平移可得第一空，通过解析式画出函数的图象，结合条件“对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得”，求出的取值范围，进而确定的最小值．

【详解】

函数的图像向右平移个单位得到，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则．

画出其图象如图，

由图可知，对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，的取值范围为．

所以的最小值为．

故答案为：；．

7．（2017·浙江高考真题）已知函数

（I）求的值

（II）求的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， .

【解析】

（Ⅰ）由， ，

．

得．

（Ⅱ）由与得

．

．

所以的最小正周期是．

由正弦函数的性质得

，

解得，

所以， 的单调递增区间是．

8．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.

（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

参考数据：

【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.

【解析】

（1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；

（2）由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.

【详解】

（1）

由图象可知，，

则有

又因为时取最大值6.5，可得，

所以

（2）货船需要的安全水深为米，

所以当时就可以进港.

令，

得

得，

即，

当时，；当时，，

所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.

9．（2021·天津高二期末）已知函数，

（1）求函数的定义域和最小正周期；

（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；

（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.

【详解】

（1）因为，即，所以函数的定义域

所以函数的最小正周期，

（2）因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

所以，

因为又向右平移()个单位长度，

所以，

又因为平移后函数的图象关于轴对称，所以，

即，所以当时，取得最小值，此时，

所以取得最小值为.

10．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数，．

(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；

(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．

【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．

【解析】

(1) 把函数通过图像变换变为，然后根据已知单调区间求的最大值；

(2) 利用函数()和()的图象进行分类讨论来解决函数零点问题.

【详解】

(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，

因为，所以，

因为，所以，

又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，

所以的最大值为.

(2) ，

令，

因为，所以，，

所以，，

令，显然不是其方程的解，所以得，，

画出函数和函数的图象，如下图，

则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；

当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；

当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；

当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意；

当时，令，得或 ，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；

当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；

故的取值范围为.

1．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

2．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

【答案】

【解析】

首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】

由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

3.（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】

先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】

由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

4．（2020·江苏省高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

【答案】

【解析】

当时

故答案为：

5. （2017·北京高考真题（文））已知函数.

（I）求f(x)的最小正周期；

（II）求证：当时，．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）.

所以的最小正周期.

（Ⅱ）因为，

所以.

所以.

所以当时，.

6.（2021·浙江高考真题）设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】

（1）由辅助角公式得，

则，

所以该函数的最小正周期;

（2）由题意，

，

由可得，

所以当即时，函数取最大值.