高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时课后测评，共6页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 eq \r(6)B．64
C．16D．96
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )
A．1∶3B．1∶4
C．1∶8D．1∶9
【答案】C
【解析】两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8．
3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
【答案】C
【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故选C．
4．(2023年重庆月考)若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的高为( )
A． eq \r(2)B．2 eq \r(2)
C．2 eq \r(3)D．3 eq \r(2)
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥侧面展开图的面积为 eq \f(120,360)×πl2＝3π，解得l＝3，所以2πr＝ eq \f(2π,3)×3，解得r＝1，所以圆锥的高为h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(32－12)＝2 eq \r(2)．故选B．
5．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，解得r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π．故选B．
6．(多选)用边长分别为2与4的矩形作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积可能为( )
A． eq \f(4,π) B． eq \f(6,π)
C． eq \f(8,π) D． eq \f(10,π)
【答案】AC
【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为2时，圆柱的底面半径是 eq \f(4,2π)＝ eq \f(2,π)，此时圆柱体积是π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,π))) eq \s\up12(2)×2＝ eq \f(8,π)；当母线为4时，圆柱的底面半径是 eq \f(1,π)，此时圆柱的体积是π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π))) eq \s\up12(2)×4＝ eq \f(4,π)．综上，所求圆柱的体积是 eq \f(4,π)或 eq \f(8,π)．
7．(2023年温州期中)羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为8 cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是6 cm，底部所围成圆的直径是2 cm，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为( )
A． eq \f(2π,3)B． eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,2)D． eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】将圆台补成圆锥，如图所示，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差．设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋8，由相似得 eq \f(x,x＋8)＝ eq \f(2,6)，解得x＝4，所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为α＝ eq \f(2π×1,4)＝ eq \f(π,2)．故选C．
8．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是__________．
【答案】 eq \f(2,3)
【解析】因为VC－A′B′C′＝ eq \f(1,3)VABC－A′B′C′＝ eq \f(1,3)，所以VC－AA′B′B＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3)．
9．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为__________．
【答案】168π
【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝ eq \r(h2＋(R－r)2)＝ eq \r((4r)2＋(3r)2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π．
10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝ eq \f(1,3)πl，得l＝6r．
又因为S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，解得r＝ eq \r(\f(15,7))，
所以圆锥的高h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(35r2)＝ eq \r(35×\f(15,7))＝5 eq \r(3)．
所以V＝ eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(1,3)π× eq \f(15,7)×5 eq \r(3)＝ eq \f(25\r(3),7)π．
B级——能力提升练
11．(2023年天津模拟)侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是( )
A． eq \f(9\r(3),2)B． eq \f(3\r(3),4)
C． eq \f(3\r(3),2)D． eq \f(9\r(3),4)
【答案】B
【解析】如图，取AB中点D，连接CD，过点S作SO⊥平面ABC交CD于点O．∵S－ABC为正三棱锥，∴S在平面ABC上的射影为△ABC的中心O．SC＝2，底面△ABC的周长为9，∴AB＝3．∴CD＝ eq \f(3\r(3),2)，CO＝ eq \r(3)．∴三棱锥的高SO＝ eq \r(SC2－CO2)＝1．∴VS－ABC＝ eq \f(1,3)S△ABC×SO＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×3× eq \f(3\r(3),2)×1＝ eq \f(3\r(3),4)．故选B．
12．(2023年包头二模)正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体(即正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体．若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36，则生成它的正方体的棱长为( )
A．8B．6
C．4D．3
【答案】B
【解析】如图，设生成它的正方体的棱长为a，则AB＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋a2)＝ eq \f(\r(2),2)a，PQ＝a．∵该正八面体的体积为36，∴V＝ eq \f(1,3)×S正方形ABCD×PQ＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a)) eq \s\up12(2)×a＝36，解得a＝6．故选B．
13．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是__________，表面积是__________．
【答案】90 138
【解析】该几何体的体积V＝4×6×3＋ eq \f(1,2)×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋ eq \f(1,2)×4×3×2＋ eq \r(32＋42)×3＋3×4＝138．
14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是__________．
【答案】8
【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为2 eq \r(2)，其面积为8．
eq \(\s\up7(),\s\d5(图1)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图2))
15．降水量是指水平平面上单位面积降水的深
度，现用上口直径为38 cm、底面直径为24 cm、深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的 eq \f(1,7)，求本次降雨的降水量是多少毫米．(精确到1 mm)
解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的 eq \f(1,7)，所以水深为 eq \f(1,7)×35＝5(cm)．
如图，设水面半径为r cm，因为 eq \f(AC,A′C′)＝ eq \f(CB,C′B)，所以 eq \f(7,r－12)＝7，r＝13．所以V水＝ eq \f(1,3)×(π×122＋ eq \r(π×122×π×132)＋π×132)×5＝ eq \f(2 345,3)π(cm3)．
水桶的上口面积是S＝π×192＝361π(cm2)，
所以 eq \f(V水,S)＝ eq \f(\f(2 345,3)π,361π)×10≈2.2(cm)＝22 mm．
故此次降雨的降水量约是22 mm．