人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数综合训练题

这是一份人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数综合训练题，共20页。试卷主要包含了实数的分类，1010010001…，实数与数轴上的点一 一对应，实数的三个非负性及性质，实数的运算，实数的大小的比较等内容，欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点01 平方根和立方根
知识点02 实数
和 统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
注意：
(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统
称有理数， 小数叫做无理数．
(2)无理数分成三类：
① 的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
(4) 和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
(1)任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
(2)任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
(1)非负数有最小值零；
(2)有限个非负数之和仍是非负数；
(3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
能力拓展
考法01 平方根与算数平方根的定义
【典例1】下列说法错误的是
A．5是25的算术平方根B．1的立方根是
C．没有平方根D．0的平方根与算术平方根都是0
【即学即练】16的平方根是_________，算术平方根是__________.
【即学即练】若的平方根是±4，则a＝___．
【即学即练】(1)的平方根是________；
(2)的平方根是________，算术平方根是________；
(3)的平方根是________，算术平方根是________；
(4)的平方根是________，算术平方根是________．
【即学即练】填空：
(1)一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________．
(2)一个数的立方等于它本身，这个数是________；一个数的立方根等于它本身，这个数是________．
考法02 平方根的性质
【典例2】已知一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，则这个数是____
【即学即练】若2a+1和a﹣7是数m的平方根，则m的值为___．
【即学即练】若4a＋1的平方根是±5，则的算术平方根是_________．
考法03 算数平方根的性质
【典例3】|x+2|++(2y﹣8)2＝0，则x+y+z＝_____．
【典例4】被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．
考法04 解方程
【典例5】解方程：
【即学即练】求方程中x 的值(x﹣1)2 ﹣16 = 0
【即学即练】求下列式子中的x值：4(1+x)2＝49．
考法05 立方根
【典例6】(1)一般地，如果___________，那么这个数叫做a的立方根或___________；数a的立方根记为___________：在“”中，a是___________，3是___________；
(2)正数的立方根是___________；负数的立方根是___________；0的立方根是___________．___________都有立方根．
【即学即练】计算：______．
【即学即练】计算：(1)______； (2)_______； (3)_______；(4)______； (5)______； (6)______；(7)______．
【典例7】已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝________．
【即学即练】；；；；；______，_______．
【典例8】求下列各式中的值：
；
【即学即练】求下列各式中的x的值．
【即学即练】求下列各式中的x，
【即学即练】求下列各式中的：
【即学即练】已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，求3a-b的值．
【即学即练】若与互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值．
【典例9】正方体的体积为，则它的棱长为________．
【即学即练】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
课程标准
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
算术平方根
平方根
立方根
定义
若正数x，，正数x叫做a的 ， EMBED Equatin.DSMT4 。
若数x，，数x叫做a的 ，
若数x，，数x叫做a的 ， 。
a的范围


a是
表示
(根号a)
(正负根号a)
(三次根号a)
有一个算术平方根，是正数
正数有 个平方根，它们互为
正数有 个立方根，是正数
0的算术平方根是
0的平方根是
0的立方根是
负数 算术平方根
负数 平方根
负数有 个立方根，是负数
性质
双重非负性





被开方数的小数点向右(左)每移动 位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
被开方数小数点向右(左)每移动 位，立方根的小数点向右(左)移动一位。
第10课 实数全章复习与巩固
目标导航
知识精讲
知识点01 平方根和立方根
知识点02 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
注意：
(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统
称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
(2)无理数分成三类：
①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
(4)实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
(1)任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
(2)任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
(1)非负数有最小值零；
(2)有限个非负数之和仍是非负数；
(3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
能力拓展
考法01 平方根与算数平方根的定义
【典例1】下列说法错误的是
A．5是25的算术平方根B．1的立方根是
C．没有平方根D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根和平方根及立方根的定义逐一求解可得．
【详解】
解：是25的算术平方根，此选项说法正确；
B.1的立方根是1，此选项说法错误；
C.没有平方根，此选项说法正确；
D.0的平方根与算术平方根都是0，此选项说法正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根及立方根的定义．
【即学即练】16的平方根是_________，算术平方根是__________.
【答案】 ±4 4
【解析】
【详解】
∵42=16，(−4)2=16，
∴16的平方根为±4；
算术平方根为4.
故答案为±4，4.
【即学即练】若的平方根是±4，则a＝___．
【答案】256
【解析】
【分析】
根据平方根与算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：∵的平方根是±4，
∴，
∴，
故答案为：256．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根与算术平方根的定义：如果，那么就叫做b的平方根，如果对于两个正数有，则a是b的算术平方根．
【即学即练】(1)的平方根是________；
(2)的平方根是________，算术平方根是________；
(3)的平方根是________，算术平方根是________；
(4)的平方根是________，算术平方根是________．
【答案】 5
【解析】
【分析】
分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可．
平方根的定义：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根；
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．
【详解】
(1)的平方根是________；
(2)的平方根是________，算术平方根是____5____；
(3)的平方根是________，算术平方根是_____；
(4)的平方根是____，算术平方根是___．
故答案为： (1)；(2)，5(3)，；(4)，
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
【即学即练】填空：
(1)一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________．
(2)一个数的立方等于它本身，这个数是________；一个数的立方根等于它本身，这个数是________．
【答案】 0或1 0 0或1 0或 0或
【解析】
【分析】
平方表示两个相同因数的相乘；平方根，又叫二次方根，一个正数有两个实数平方根，它们互为相反数，负数没有平方根；正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根；
立方表示指数为3的乘方运算即表示三个相同数的乘积；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根．也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．
根据特殊数的平方、平方根、算术平方根、立方、立方根，对各空填写即可．
【详解】
解：(1)一个数的平方等于它本身，这个数是0或1；
一个数的平方根等于它本身，这个数是0；
一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1；
(2)一个数的立方等于它本身，这个数是0或；
一个数的立方根等于它本身，这个数是0或．
故答案为：0，1；0；0或1；0或；0或．
【点睛】
本题是对平方，平方根，算术平方根，立方根的考查，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．
考法02 平方根的性质
【典例2】已知一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，则这个数是____
【答案】16
【解析】
【分析】
根据平方根的概念可得，然后求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，
∴，
解得：，
∴这个数是；
故答案为16．
【点睛】
本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．
【即学即练】若2a+1和a﹣7是数m的平方根，则m的值为___．
【答案】25或225
【解析】
【分析】
由题意易知2a+1+a-7=0，然后求解a的值，进而问题可求解．
【详解】
解：∵2a+1和a﹣7是数m的平方根，
∴2a+1+a-7=0或2a+1=a-7，
解得：a=2或a=-8，
∴或 m=225；
故答案为25或225．
【点睛】
本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．
【即学即练】若4a＋1的平方根是±5，则的算术平方根是_________．
【答案】6
【解析】
【详解】略
考法03 算数平方根的性质
【典例3】|x+2|++(2y﹣8)2＝0，则x+y+z＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由绝对值与算术平方根、平方的非负性解得x=-2，z=1，y=4，即可计算x+y+z的值．
【详解】
解：根据题意得，
x+2=0，=0，2y﹣8=0
解得x=-2，z=1，y=4，
所以x+y+z=-2+4+1=3
故答案为：3．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及绝对值与算术平方根、平方的非负性，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【典例4】被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．
【答案】10
【解析】
略
考法04 解方程
【典例5】解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解方程即可．
【详解】
【点睛】
本题考查了根据平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
【即学即练】求方程中x 的值(x﹣1)2 ﹣16 = 0
【答案】或
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解方程即可，平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数)
【详解】
解：(x﹣1)2 ﹣16 = 0
或
解得或
【点睛】
本题考查了根据平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
【即学即练】求下列式子中的x值：4(1+x)2＝49．
【答案】或．
【解析】
【分析】
利用平方根解方程即可得．
【详解】
解：，
，
或，
或．
【点睛】
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键．
考法05 立方根
【典例6】(1)一般地，如果___________，那么这个数叫做a的立方根或___________；数a的立方根记为___________：在“”中，a是___________，3是___________；
(2)正数的立方根是___________；负数的立方根是___________；0的立方根是___________．___________都有立方根．
【答案】 (1)一个数的立方等于a， 三次方根， ， 被开方数， 根指数； (2)正数， 负数， 0； 任何一个数
【解析】
【分析】
根据立方根的概念可得答案．
【详解】
⑴一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；数a的立方根记为：在中，a是被开方数，3是根指数；
⑵正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．任何一个数都有立方根．
故答案为：①一个数的立方等于a， ②三次方根，③，④被开方数，⑤根指数；⑥正数，⑦负数， ⑧0，⑨任何一个数．
【点睛】
本题考察了立方根的概念，牢记概念填空即可．
【即学即练】计算：______．
【答案】-5
【解析】
【分析】
由题意直接根据立方根的性质即可进行分析求值.
【详解】
解：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查立方根求值，熟练掌握立方根的性质是解题的关键.
【即学即练】计算：(1)______； (2)_______； (3)_______；(4)______； (5)______； (6)______；(7)______．
【答案】 3 30 2.3
【解析】
【分析】
(1)直接利用立方根的定义即可求解；
(2)直接利用立方根的定义即可求解；
(3)直接利用立方根的定义即可求解；
(4)直接利用立方根的定义即可求解；
(5)直接利用立方根的定义即可求解；
(6)利用算术平方根和立方根的定义即可求解；
(7)利用算术平方根和立方根的定义即可求解．
【详解】
解：(1)∵，
∴；
(2)∵，
∴；
(3)∵，
∴，即；
(4)
∵，
∴，即；
(5)，
∵，
∴；
(6)；
(7)．
故答案为：3，，，，30，，2.3．
【点睛】
本题考查立方根和算术平方根．熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．
【典例7】已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝________．
【答案】﹣3780
【解析】
【分析】
由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y．
【详解】
解：∵≈1.558，≈﹣15.58，
∴y＝﹣3780．
故答案为：﹣3780．
【点睛】
本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．
【即学即练】；；；；；______，_______．
【答案】 5.848， 12.60
【解析】
【分析】
根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．
【详解】
解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：5.848，12.60．
【点睛】
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．
【典例8】求下列各式中的值：
；
【答案】；
【解析】
【分析】
把原方程化为，再利用立方根的含义解方程即可；
【详解】
解：

解得：
【点睛】
本题考查的是利用立方根的含义与平方根的含义解方程，掌握“立方根与平方根的含义”是解本题的关键.
【即学即练】求下列各式中的x的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据立方根解方程即可．
【点睛】
本题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
【即学即练】求下列各式中的x，
【答案】
【解析】
【分析】
方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.
解：方程变形得：，
开立方得：1-2x＝−3，
解得：x＝2.
【点睛】
此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【即学即练】求下列各式中的：
【答案】x=-3．
【解析】
【分析】
先求得(x+1)3的值，然后依据立方根的定义列方程求解即可．
解：∵2(x+1)3=-16，
∴(x+1)3=-8．
∴x+1=-2，
解得x=-3．
【点睛】
本题主要考查的是立方根、平方根，熟记立方根及平方根的定义是解题的关键．
【即学即练】已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，求3a-b的值．
【答案】18
【解析】
【分析】
利用平方根，立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，
∴2a-1=9，3a+b-4=8，
解得：a=5，b=-3，
∴3a-b=18．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【即学即练】若与互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据互为相反数的和为零，可得方程，再根据等式的性质变形．
【详解】
由题意可得：，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相反数的概念以及立方根，利用互为相反数的和为零得出方程是解题关键．
【典例9】正方体的体积为，则它的棱长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可．
【详解】
正方体的体积为
它的棱长为cm
故答案为：
【点睛】
本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．
【即学即练】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
【答案】(1)0.5h；(2)9.65km
【解析】
【分析】
(1)根据，其中d=6km是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；
(2)根据，其中t=6h，是雷雨持续时间，开立方，可得答案；
【详解】
(1)．这场雷雨大约能持续0.5h．
(2)
【点睛】
本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
课程标准
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
算术平方根
平方根
立方根
定义
若正数x，，正数x叫做a的算术平方根，。
若数x，，数x叫做a的平方根，
若数x，，数x叫做a的立方根，。
a的范围
a是任意数
表示
(根号a)
(正负根号a)
(三次根号a)
正数有一个算术平方根，是正数
正数有两个平方根，它们互为相反数
正数有一个立方根，是正数
0的算术平方根是0
0的平方根是0
0的立方根是0
负数没有算术平方根
负数没有平方根
负数有一个立方根，是负数
性质
双重非负性
被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
被开方数小数点向右(左)每移动三位，立方根的小数点向右(左)移动一位。