广东深广州市白云区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东深广州市白云区2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、是二次根式，故C符合题意；
D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A. ，，B. 8，， C. 3，4，6D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、，，不是正整数，故该选项是错误的；
B、8，，满足，且均为正整数，故该选项是正确的；
C、3，4，6不满足，故该选项是错误的；
D、，，不是正整数，故该选项是错误；
故选：B
3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，同类二次根式的概念即可求解．
【详解】解：选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意；
选项，，根指数相同，被开方也相同，符合题意；
选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意；
选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式的综合，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的概念，分母有理数等知识是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次对各选项进行计算后，再进行判断即可.
【详解】A选项：不能直接相加，故错误；
B选项：，故错误；
C选项：，故正确；
D选项：，故错误；
【点睛】考查了二次根式的计算，解题关键是熟记其计算法则进行计算.
5. 若，则等于（ ）
A. 1B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．
6. 在中，，则（ ）
A. 3B. 1C. 或1D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．在中，分两种情况：当时，当时，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
7. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和为，即可判断A、B；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断C；根据勾股定理的逆定理，即可判断D．
【详解】解：A、∵，，
∴，解得：，
能判定是直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴，，，
不能判定是直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴，
能判定是直角三角形，不符合题意；
D、设，
，
能判定是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，矩形的边在数轴上，点表示数，点表示数，，以点为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点表示的数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为，可得该点表示的数．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，
则点A到该交点E的距离为，
∵点A表示的数为，
∴点E表示的数为：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
9. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．
【详解】解：设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
（舍去）或，
，
连接，过点作于，如图所示：
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，




，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明 ，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故选：A．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____．
【答案】x≥﹣3
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．
【详解】解：由题意可得2x+6≥0，
解得：x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负性是解题关键．
12. “同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是_____________________________.
【答案】两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【详解】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补．
详解：
命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，
故答案为两直线平行，同旁内角互补．
点睛：考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13. 如图，，点在点的北偏西方向，则点在点的______方向．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴点B在点O的北偏东方向，
故答案为：．
14. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么化简__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，有理数的加法，有理数的大小比较，绝对值，解题的关键是先根据数轴分析，，之间的大小关系，再进行化简．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
15. 如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m， BC＝20m，则这块地的面积为____________ .
【答案】96m2
【解析】
详解】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，
∴AC=15m，
又∵AC2+BC2=152+202=252=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积-△ACD的面积=×15×20-×9×12=96（平方米）．
故答案为96m2．
16. 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则______．

【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了正方形面积的求解，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系．
【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为S，
由图形可得知，，，
，
∵正方形的边长为，
∴
∴．
故答案为：30．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
18. 若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，，
∴．
19. 化简求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【详解】试题分析：中括号内的部分进行通分，然后按照同分母分式的减法法则进行计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再把x代入求值即可．
试题解析：原式===，
将代入得：原式====1．
考点：分式的化简求值．
20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
（1）图中线段________，________，________；
（2）求证：是直角三角形．
【答案】（1），，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，化为最简二次根式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理逆定理，即可求解；
【小问1详解】
解：，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形；
21. 已知三角形三边之长能求出三角形面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
22. 如图，在中，过点A作，交于点D．
（1）若，求的长；
（2）在（1）的条件下，，求的面积；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．
（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求解；
（2）作于E，求出的底和高即可求出面积．
【小问1详解】
解：，，
，
，
即，
，
．
【小问2详解】
解：作于E，
，
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
．
23. 如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）
（1）求此刻风筝离地面的高度；
（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
【答案】（1）此刻风筝离地面的高度为16.6米
（2）该同学应该收回7米
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为16.6米；
小问2详解】
解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ，
在中，由勾股定理可知，
，

答：该同学应该收回7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
24. 已知在中，，，于．
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
（2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；
②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，
由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．

（1）求证：；
（2）当点是边的中点时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
【小问3详解】
解：当时，设，
第一种情况，点在线段上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．