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湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.18 平方差公式解决几何问题（专项练习）
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这是一份湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.18 平方差公式解决几何问题（专项练习），共29页。
专题2.18 平方差公式解决几何问题（专项练习）一、单选题1.(2023八上·丹江口期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 ( 如图1所示 ) ，然后将剩余部分拼成一个长方形 ( 如图2所示 ). 根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ） 图1 图2A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. a(a-b)=a2-ab C. b(a-b)=ab-b2 D. a2-b2=(a+b)(a-b)2.(2023八上·渝北月考）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ） A. a2-b2=(a+b)(a-b) B. (a+b)2-(a-b)2=4ab C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. (a-b)2=a2-2ab+b23.(2023八上·重庆月考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，从图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. (a+b)(a-b)=a2-b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-ab=a(a-b)4.(2023八上·朔城月考）在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b(a>b) 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. a2-b2=(a+b)(a-b) B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-ab=a(a-b)5.(2023八上·城厢期中）如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( ) A. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D. (a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b26.(2023八上·长春月考）从下图的变形中验证了我们学习的公式（ ） A. a2-b2=(a-b)2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-b2=(a+b)(a-b)7.(2023八上·广西月考）把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（ ） A. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B. （a+b）2=a2+2ab+b2 C. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D. （a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b28.(2023·郴州）如图 1 ，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. x2-2x+1=(x-1)2 B. x2-1=(x+1)(x-1) C. x2+2x+1=(x+1)2 D. x2-x=x(x-1)9.(2023八下·宝安月考）如图，在边长为6.75cm的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25cm的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3.5cm2 B. 12.25cm2 C. 27cm2 D. 35cm210.(2023七下·涡阳月考）如图①，边长为 a 的大正方形中四个边长均为 b 的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图②）则这个长方形的面积为（ ） A. (a+2b)(a-2b) B. (a+b)(a-b) C. (a+2b)(a-b) D. (a+b)(a-2b)11.(2023七下·哈尔滨月考）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y(其中x＞y)表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中错误的是( ) A. x+y=7 B. x﹣y=2 C. x2﹣y2=4 D. 4xy+4=4912.(2023七下·长兴期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x>y），则①x-y=n；②xy= m2-n24 ；③x2-y2=mn；④x2+y2= m2-n22 中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③① D. ①②③①13.(2023·迁安模拟）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( ) A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b² C. 2a(a+b)=2a2+2ab D. (a+b)(a-b)=a2-b²14.(2023八下·襄阳开学考）如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（ ） A. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C. a（a+b）＝a2+ab D. （a+b）2＝a2+2ab+b215.(2023八上·绵阳期末）如图所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的 小正方形 (a > b) ，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ） A. a2 - b2 = (a + b)(a - b) B. (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 C. (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 D. (a + 2b)(a - b) = a2 + ab - 2b216.(2023八上·德城期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. a2-b2=（a+b）（a-b） B. （a+b）2=a2+2ab+b2 C. （a-b）2=a2-2ab+b2 D. a2-ab=a（a-b）17.(2023七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( ) A. a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B. a2﹣ab＝a(a﹣b) C. a2﹣b2＝(a﹣b)2 D. a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)18.(2023七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( ) A. a2－b2＝(a＋b)(a－b) B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D. (a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b219.(2023七下·福田期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为（ ） A. a2-b2=(a-b)2 B. a2-b2=(a+b)(a-b) C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. (a+b)2=a2+2ab+b220.(2023七下·太仓期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是( )A. (a+b)(a-b)=a2-b2 B. (a-b)2=a2-b2 C. b(a-b)=ab-b2 D. ab-b2=b(a-b)二、填空题（共22题；共25分）21.(2023七下·天桥期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． ①图2中的阴影部分的面积为________；②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是________；③根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y= 94 ，则（x﹣y）2=________；④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是________．22.(2023八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为________. 23.(2023七上·平山期中）如图，边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是________． 24.(2023七下·太原期中）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式________． 25.(2023七下·高新期中）如图，大正方形的边长为 m, 小正方形的边长为 n, 若用 x,y 表示四个小长方形两边长（x>y）， 观察图案以下关系式正确的是________. （填序号） ① xy=m2-n24 ；② x+y=m; ③ x2-y2=m⋅n ；④ x2+y2=m2+n22 26.(2023八上·通辽期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是________ 27.(2023八上·丰台期末）如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a > 0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为________． 28.(2023八上·孝感月考）如图，从边长为 a+5 的正方形纸片中剪去一个边长为 a+2 的正方形（ a>0 ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为________ m2 . 29.(2023八上·江汉期中）如图，边长为n的正方形纸片剪出一个边长为n -3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若该长方形一边的长为3,则另一边的长为________. 30.(2023七下·萧县期末）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________．（用字母表示） 31.(2023七下·北区期末）如图1，把一个边长为（a+b）的大正方形切成4个全等的长方形和1个小正方形，大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为16．图2中两个正方形的边长分别为a、b，则阴影部分的面积为________． 32.(2023七下·即墨期末）如图，有两个大小不同的正方形A和B，现将A、B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为4，则正方形A、B的面积之差为________. 33.(2023·北京模拟）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是________（用含a，b的等式表示）． 34.(2023·平谷模拟）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是________． 35.(2023七下·西安期中）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是________. 36.(2023七下·长春月考）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为________． 37.(2023·孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1 ， S2 ， 则 S1S2 可化简为________． 38.(2023七下·大石桥期末）如图所示，把三张边长均为 25 cm的正方形卡片A,B,C叠放在一个底面为正方形的盒底上，若底面未被卡片覆盖（阴影部分）的面积为5cm²,则盒底的边长是________. 39.(2023·顺义模拟）如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式：________． 40.(2023八上·黑龙江期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），由两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证________（填写序号）．① (a+b)2=a2+2ab+b2② (a-b)2=a2-2ab+b2③ a2-b2=(a+b)(a-b)④ (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b241.(2023八上·兴义期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式________42.(2023七下·昌平期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a ， b的等式表示为________ 三、综合题（共8题；共75分）43.(2023七下·溧水期末）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）. （1）探究：上述操作能验证的等式的序号是________. ① a2＋ab＝a（a+b） ② a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ③ a2－b2＝（a＋b）（a－b）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；②计算 (1-122)×(1-132)×(1-142)×(1-152)×⋯×(1-11002)44.(2023七下·肃州期末）如图1，边长为 a 的大正方形有一个边长为 b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式） （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________.（写成多项式乘法形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式________. （4）请应用这个公式完成下列各题： ①已知 4m2-n2=12 ， 2m+n=4 ，则 2m-n= ________.②计算： 20202-2018×2022________③计算： (1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-120192)(1-120202)________45.(2023七下·北京期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形 ， 并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=________ （2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2 ． 根据你画的长方形，可得到恒等式________ （3）如图③，大正方形的边长为m ， 小正方形的边长为n ， 若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）． A.xy = m2-n24 B.x+y=m C.x2－y2=m·n D.x2+y2 = m2+n2246.(2023七下·新昌期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作： （1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________. （2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？ （3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？ 如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由. 参考答案一、单选题1.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是 a2-b2 ， 第二个图形的面积是 (a+b)(a-b) ，则 a2-b2=(a+b)(a-b) .故答案为：D.【分析】利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.2.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：∵左边阴影面积为 a2-b2 右边梯形面积为 (2a+2b)(a-b)2=(a+b)(a-b)∴ a2-b2=(a+b)(a-b)故答案为：A.【分析】 由第一个图可知，S阴影部分=S大正方形-S小正方形 ， 由第二个图可知，S梯形=12（上底+下底）高，由题意可得S阴影部分=S梯形 ， 整理即可判断求解.3.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：左边图形的面积可以表示为：（a＋b）（a−b）， 右边图形的面积可以表示为：（a−b）b＋a（a−b），∵左边图形的面积＝右边图形的面积，∴（a＋b）（a−b）＝（a−b）b＋a（a−b）= a2−b2 ， 即：（a＋b）（a−b）＝a2−b2.故答案为：A.【分析】观察图形，分别表示两个图形的面积，然后根据两个图形的面积相等即可判断求解.4.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：左图阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积＝a2−b2； 右图中矩形的长＝a＋b，宽＝a−b，右图的面积＝（a＋b）（a−b）．所以 a2-b2=(a+b)(a-b) ．故答案为：A． 【分析】由于左图阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积＝a2−b2；右图长方形的长＝a＋b，宽＝a−b，可得长方形的面积=长×宽（a＋b）（a−b），由于阴影面积相等，即可得出结论.5.【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：由题可得：a2﹣b2=(a﹣b)(a+b)． 故答案为：A． 【分析】由图（1）得阴影部分的面积为a2﹣b2=，由图（2）得阴影部分的面积为(a﹣b)(a+b)，根据阴影部分的面积相等即得结论.6.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2-b2 ， 右边长方形的面积为（a+b）（a-b），根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：D．【分析】根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．7.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：第一个图形剩下的部分面积为 a2-b2 ， 第二个图形的矩形面积为 (a+b)(a-b) ，则有 a2-b2=(a+b)(a-b) ，故答案为：A.【分析】第一个图形剩下的部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，再根据其与第二个图形的矩形面积相等即可得.8.【考点】列式表示数量关系，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1， 第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．故答案为：B．【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．9.【考点】平方差公式及应用，正方形的性质 【解析】【解答】图中阴影部分的面积S＝大正方形的面积﹣小正方形的面积， 即S＝6.752﹣3.252＝（6.75+3.25）×（6.75﹣3.25）＝10×3.5＝35cm2故答案为：D．【分析】根据图中阴影部分的面积S＝大正方形的面积﹣小正方形的面积分析即可得出答案．10.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为 a+2b ，宽为 a-2b ，因此其面积为 (a+2b)(a-2b) . 故答案为：A.【分析】根据图形，求出长方形的长和宽的表达式即可求出面积.11.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故此选项不符合题意； B、中间小正方形的边长为2，同时根据长方形长宽也可表示为x-y，故此选项不符合题意；C、根据A、B可知x+y=7，x-y=2，则x2-y2=（x+y）（x-y）=14，故此选项符合题意；D、因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2 ， 还可以是（4xy+4），即4xy+4=49，故此选项不符合题意；故答案为：C．【分析】分别根据大正方形边长、小正方形边长的不同表示可判断A、B，由A、B结论利用平方差公式可判断C，根据大正方形面积的整体与组合的不同表示可判断D．12.【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：小正方形边长为n； 小正方形边长又可以为x-小长方形的宽，即x-y； ∴x-y=n； 故①正确； S大正方形=m2 ， S大正方形=S小正方形+4S小长方形 =n2+4xy ∴m2=n2+4xy 即xy=m2-n24； 故②正确； x2-y2 =（x+y）（x-y） x+y为大正方形的边长m; x-y为小正方形的边长n； ∴x2-y2 =mn; 故③正确； x2+y2=m2-n22； m2-n2=2（x2+y2） ∵S大正方形-S小正方形=4xy； 故④错误； 故答案为：A. 【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积和平方差公式可以判断。13.【考点】列式表示数量关系，平方差公式及应用 【解析】【解答】解：图1阴影部分面积=a2-b2 图2阴影部分面积=（a+b）（a-b） ∴a2-b2=（a+b）（a-b） 故答案为：D.【分析】根据题意，由矩形面积的计算公式，分别计算得到阴影部分面积，两个面积相等即可列出等式，得到答案即可。14.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A.【分析】首先根据左图计算出左图的面积，然接下来求得右图的面积；最后依据左图和右图的面积相等列出等式即可.15.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为：A．【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2-b2 ， 根据矩形面积公式可知阴影部分面积为（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．16.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2−b2； 拼成的长方形的面积为：（a＋b）（a−b），所以验证的等式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b），故答案为：A．【分析】已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2−b2；因为拼成的长方形的长为（a＋b），宽为（a−b），则面积为（a＋b）（a−b），根据面积相等，进而得出结论．17.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2； 拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，故答案为：D．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．18.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解： ∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2 ， ∴（a-b）2=a2-2ab+b2 ． 故答案为：B 【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2 ， 阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.19.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2； 通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a-b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故答案为：B．【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2-b2 ， 新的图形面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．20.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解： S甲=(a+b)(a-b) ， S乙=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 .所以 (a+b)(a-b) =a2-b2故答案为：A.【分析】根据长方形的面积=长 × 宽，分别表示出甲乙两个图形的面积，即可得到答案.二、填空题21.【考点】列式表示数量关系，平方差公式的几何背景，探索数与式的规律 【解析】【解答】解：①（b﹣a）2； ②（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；③当x+y=5，x•y= 94 时，（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=52﹣4× 94=16；④（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2 ． 【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．22.【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12 ， 第二个阴影部分的面积=42－32 ， 第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202-192 ， 因此，图中阴影部分的面积为： （22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20=210.故答案为：210. 【分析】根据正方形面积公式分别列出每个阴影部分的面积，然后根据平方差公式把每个阴影部分面积关系式分解因式将原式化简，最后求和即可.23.【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：依题意得，剩余部分面积为：（m＋3）2−m2＝m2＋6m＋9−m2＝6m＋9， 而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是（6m＋9）÷3＝2m＋3，故答案为：2m＋3．【分析】由于边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么正方形剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．24.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4， ∵图①和图②的阴影面积相等，∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．25.【考点】平方差公式及应用，整式的混合运算 【解析】【解答】解： 由图得：x+y=m，x-y=n. ∵m2-n2=4xy，∴ xy=m2-n24 ，故①正确；由图得x+y=m，故②正确；∵ x2-y2=(x+y)(x-y)=m⋅n ，故③正确；∵ m2+n22=(x+y)2+(x-y)22=x2+2xy+y2+x2-2xy+y22=x2+y2 ，故④正确.故答案为：①②③④【分析】由图得：x+y=m，x-y=n.根据题意对各式进行变形即可得出结论.26.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2 ， 矩形的面积=(a+b)(a−b)，故a2−b2=(a+b)(a−b).故答案为 a2-b2=(a+b)(a-b) . 【分析】大正方形的面积为a2,小正方形的面积为b2 ， 矩形的面积为(a+b)(a−b)，根据矩形的面积=大正方形的面积−小正方形的面积，进行解答即可.27.【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：矩形的面积为： （a+4）2-a2=（a 2+8a+16）-a2=a2+8a+16-a 2=8a+16．答：长方形的面积是（8a+16）cm2 ． 故答案为: 8a+16.【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．28.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】根据题意，长方形的面积： [（a+5）+（a+2）][（a+5）－（a+2）]=3（2a+7）=6a+21故答案为： 6a+21【分析】由图形可知，长方形的长为两个正方形的和，宽为两个长方形的差，据此可得答案.29.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：依题意得剩余部分的面积为n2- （n -3）2=6n-9. ∴另一边的长为（6n-9）÷3=2n-3故答案为：2n-3. 【分析】用原图形的面积减去剪裁下来的正方形的面积=剩余部分的面积，用剩余部分的面积就是矩形的面积，进而根据矩形的面积计算方法，即可算出答案.30.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：在图1中，大正方形面积为a2 ， 小正方形面积为b2 ， 所以阴影部分的面积为a2-b2 ， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a-b，则面积为（a+b）（a-b），由于两个阴影部分面积相等，所以有a2-b2=（a+b）（a-b）成立．故本题答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）或（a+b）（a-b）=a2-b2 ． 【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．31.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为l6， ∴（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝16，∴a+b＝7，a﹣b＝4，∴阴影部分的面积为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝28．故答案为：28．【分析】直接利用已知结合正方形的性质得出a+b，a﹣b的值，进而列式计算阴影部分的面积即可．32.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得 （a+b）2-a2-b2=16 ，2ab=16，由图②得 a2-b2-2（a-b）×b=4 即 a2+b2-2ab=4所以 （a-b）2=4， （a+b）2=a2+b2-2ab+4ab=36，∴ a-b=±2,a+b=±6，∵a>b>0∴a-b=2，a+b=6∴ a2-b2=(a+b)(a-b)=12 ，则正方形A、B的面积之差为12，故答案为12.【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图①得 （a+b）2-a2-b2=16 ，2ab=16，由图②得 a2-b2-2（a-b）×b=4 即 a2+b2-2ab=4 ，进一步得 （a-b）2=4， （a+b）2=a2+b2-2ab+4ab=36， 据此求得a+b和a-b的值，由平方差公式可得答案．33.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：图中阴影部分的面积是：a2﹣b2 ， 阴影部分的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a2﹣b2 ， 阴影部分的面积是：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），即可得到乘法公式．34.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b） 又∵S甲＝S乙∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．35.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】试题解析：拼成的长方形的面积=（a+3） 2﹣3 2 ， =（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6. 【分析】由拼成的长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，先求出拼成的长方形的面积，再利用长方形的面积=长×宽，即可求出拼成的长方形的另一边长.36.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】根据图甲可得：阴影部分的面积= a2-b2 ；根据图乙可得：阴影部分的面积=(a+b)(a－b). 【分析】由图甲阴影的面积=边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积，图乙平行四边形的面积=底×高，分别求出图甲、图乙的面积，利用阴影部分的面积不变，即可求出结论.37.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解： S1S2 = a2-1(a-1)2 = (a-1)(a+1)(a-1)2 = a+1a-1 ， 故答案为： a+1a-1 ．【分析】首先表示S1=a2﹣1，S2=（a﹣1）2 ， 再约分化简即可．38.【考点】平方差公式的几何背景，二次根式的加减法 【解析】【解答】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，则 阴影部分面积＝（a-b）(a-b)=(a-b)2, ∵阴影部分）的面积为5cm², ∴(a-b)2=5 ∴a-b= 5 (- 5 舍去) ∴盒底的边长是a+(a-b)= 25 + 5 =3 5 . 故答案是：3 5 .39.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：如图所示，根据左图阴影部分的面积为a2﹣b2 ， 右图阴影部分面积为=（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；如图所示，根据图中的阴影部分面积可以表示为：（a﹣b）2图中的阴影部分面积也可以表示为：a2﹣2ab+b2可得：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）或（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ． （答案不唯一）【分析】根据阴影部分的面积的不同表示方法，即可求出答案，答案不唯一．40.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】∵图甲中阴影部分的面积= a2-b2 ，图乙中阴影部分的面积= (a+b)(a-b) ，而两个图形中阴影部分的面积相等，∴ a2-b2 = (a+b)(a-b) ．故可以验证③．故答案为：③．【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等可列方程。41.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：左图中阴影部分的面积=a2-b2, 右图中阴影部分的面积=（a+b）(a-b) ∴a2-b2,=（a+b）(a-b) 故验证了平方差公式【分析】分别表示出左图中阴影部分的面积与右图中阴影部分的面积，根据它们其实就是同一部分的面积即可列出等式，观察等式即可得出答案。42.【考点】平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：观察可得，根据这两个图形的面积相等可得a2－b2＝(a＋b)(a－b).三、综合题43.【考点】平方差公式的几何背景，因式分解的应用，探索数与式的规律 【解析】【解答】解：（1）第一个阴影部分的面积是 a2-b2 ，第二个图形的面积是 (a+b)(a-b) ， 则 a2-b2=(a+b)(a-b) 故答案为：③ 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把 4x2-9y2 利用（1）中的结论写成两个式子相乘的形式，然后把 2x+3y=4 代入即可求解；②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解.44.【考点】平方差公式及应用，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为 a2-b2 故答案为： a2-b2 ；（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为： (a+b)(a-b)故答案为：a-b；a+b； (a+b)(a-b) ；（ 3 ）由（1）（2）可得： (a+b)(a-b)=a2-b2 或 a2-b2=(a+b)(a-b) ；故答案为： (a+b)(a-b)=a2-b2 或 a2-b2=(a+b)(a-b) （4）①∵ 4m2-n2=12 ， 2m+n=4 ， ∴ (2m-n)(2m+n)=12 ∴ 2m-n=3 ， 故答案为：3；【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论； （2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论； （3）利用（1）（2）的结论即可得出公式； （4）①将 4m2-n2 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.45.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景 【解析】【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2 ， 画图如下：；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2 ， ；（3）根据图③得：x+y=m，∵m2-n2=4xy，∴xy= m2-n24 ，x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2× m2-n24 = m2+n22 ，∴选项A、B、C、D都符合题意．【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．（2）根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m，m2-n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．46.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景 【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2 ， 图1阴影部分面积为S2=2b+2aa-b2=a+ba-b ， 根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2 ， 所以 a2-b2=(a+b)(a-b) ; (2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4 ， 即 a2+b2+2ab=(a+b)2 ； (3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S， 即 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) .
