初中数学湘教版七年级下册第2章 整式的乘法综合与测试学案

这是一份初中数学湘教版七年级下册第2章 整式的乘法综合与测试学案，共10页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1. 理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
要点三、乘法公式
1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
；
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项考虑完全平方；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．
举一反三：
【变式】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
解：.
类型二、整式的乘除法运算
2、（2015秋•闵行区期中）解不等式：（x﹣6）（x﹣9）﹣（x﹣7）（x﹣1）＜7（2x﹣5）【答案与解析】
解：原不等可化为：x﹣15x+54﹣x+8x﹣7＜14x﹣35，
整理得：﹣21x＜﹣82，
解得：x＞．
则原不等式的解集是x＞．
【总结升华】此题考查了多项式乘多项式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3、已知，求的值．
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．
【答案与解析】
解：由已知，得，
即，，，
解得，，．
所以．
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.
举一反三：
【变式】（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值．
【答案】
解：（1）由题意，知．∴ ．
∴ ，解得．
（2）由已知，得，即．由已知，得．
∴ ，即．∴
∴ ．
（3）由已知，得．由已知，得．
∴ ．
类型三、乘法公式
4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？
【答案与解析】
解：∵
，
是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．
【总结升华】要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．
举一反三：
【变式】解下列方程(组)：

【答案】
解： 原方程组化简得，解得．
5、已知，，求： (1)；(2)
【思路点拨】在公式中能找到的关系.
【答案与解析】
解：(1)
∵，，
∴
(2)
∵，，
∴.
【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.
类型四、因式分解
6、 分解因式：
（1） （2）．
【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分作为一个整体，展开后再进行分解就容易了．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）

．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．
举一反三：
【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：
（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．
【答案】
解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）
=（a+b）2（a﹣b）2；
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1
=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
=（x﹣y﹣1）2．
ADDIN CNKISM.UserStyle【巩固练习】
一.选择题
1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是( )．
A.B.
C. D.
3.若是完全平方式，则的值是（ ）
A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—10
4. 将＋分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2015•本溪）下列运算正确的是（ ）
A．5m+2m=7m2 B．﹣2m2•m3=2m5
C．（﹣a2b）3=﹣a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2
6. 若是的因式，则为（ ）
A.－15 B.－2 C.8 D.2
7. 因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
9．化简＝______．
10．如果是一个完全平方式，那么＝______．
11．若，化简＝________．
12. 若，＝__________.
13.把分解因式后是___________.
14.的值是________．
15.（2015春•福田区期末）若x﹣y=8，xy=10，则x2+y2= ．
16.下列运算中，结果正确的是___________
①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，
⑧ ，⑨
三.解答题
17.分解因式：
（1）； （2）.
18. 解不等式，并求出符合条件的最小整数解．
19．（2015春•濉溪县期末）若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值．
20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.
2. 【答案】B；
3. 【答案】D；
【解析】
4. 【答案】C；
【解析】＋＝＝．
5. 【答案】C；
【解析】解：A、5m+2m=（5+2）m=7m，故A错误；
B、﹣2m2•m3=﹣2m5，故B错误；
C、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故C正确；
D、（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故D错误．
故选：C．
6. 【答案】D；
【解析】.
7. 【答案】A
【解析】＝.
8. 【答案】D；
【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
二.填空题
9. 【答案】.
10.【答案】±3；
【解析】.
11.【答案】1；
【解析】.
12.【答案】0；
【解析】.
13.【答案】；
【解析】.
14.【答案】－2；
【解析】
.
15.【答案】84；
【解析】解：∵x﹣y=8，
∴（x﹣y）2=64，
x2﹣2xy+y2=64．
∵xy=10，
∴x2+y2=64+20=84．
故答案为：84．
16.【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）＝；
（2）.

18.【解析】
解：

符合条件的最小整数解为0，所以.
19.【解析】
解：本题考查整体代入的思想.
∵a2+a=0，
∴原式=2（a2+a）+2015=2015．
20．【解析】
解：设为原来的价格
(1) 由题意得：
（2）由题意得：
（3）由题意得：.
所以前两种调价方案一样.