湘教版初中数学七年级下册第二单元《整式的乘法》单元测试卷（困难）（含答案解析）

湘教版初中数学七年级下册第二单元《整式的乘法》单元测试卷（困难）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个边长为的大正方形，则需要类卡片(    )

A. 张 B. 张 C. 张 D. 张

3.  已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解若，则代数式当时，此方程组一定有组整数解为整数其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  我们知道下面的结论：若，且，则利用这个结论解决下列问题：设，，，下列，，三者之间的三个关系式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，，那么、、之间满足的等量关系不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若中不含的一次项，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

8.  已知实数满足，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知实数，满足，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片____张．

14.  不论为何值，等式恒成立，则的值是_______．

15.  已知，则__________________ ．

16.  若，，则等于____________

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

若，，求的值。

若，求值。

18.  本小题分

如图，我们在某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”先将十字星左右两数，上下两数分别相乘，再将所得的积作差，即为该十字星的“十字差”该十字星的十字差为，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为．

如图，将正整数依次填入列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为          ．

若将正整数依次填入列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗如果是，请求出这个定值如果不是，请说明理由．

若将正整数依次填入列的长方形数表中，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并说明理由．

19.  本小题分

规定两数，之间的一种运算，记作如果，那么例如因为，所以．

根据上述规定，填空___，___

小明在研究这种运算时发现一个现象，小明给出了如下的证明设，则请你将小明的证明过程写完整尝试证明下面这个等式

20.  本小题分
小明与小乐两人共同计算，小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为．
式子中的，的值各是多少？
请计算出原题的答案．

21.  本小题分
求如图所示的窗户的边框面积上部为半圆单位：

22.  本小题分

若满足，求的值．

解：设，，则，，

．

请仿照上面的方法求解下面问题：

若满足，求的值．

若满足，求代数式的值．

已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．

23.  本小题分

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，，，因此，，都是“神秘数”．

和这两个数是“神秘数”吗？为什么？

设两个连续的偶数为和其中取非负整数，由这两个连续构造的神秘数是的倍数吗？为什么？

两个连续奇数的平方差取正数是神秘数吗？为什么？

24.  本小题分
图甲是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后按图乙所示拼成一个大正方形．
写出图乙中的阴影部分的正方形的边长等于______用含有、的式子表示；
请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：
方法一：______
方法二：______
观察图乙，尝试写出、、三个式子之间的等量关系：______．
根据题中的等量关系，解决如下问题：若，，求式子的值．

25.  本小题分
一个个位不为零的四位自然数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列即千位与个位对调，百位与十位对调得到一个新数，记．
请任意写出一个“隐等数”，并计算的值；
若某个“隐等数“的千位与十位上的数字之和为，为正数，且能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：法一：，
，
又由，，，
得，
同理得：，，
所以原式．
故选B．

法二：，
，
，
，
．
故选：．
已知条件中的几个式子有中间变量，三个式子消去即可得到：，，，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
则需要类卡片张，
故选D．
根据正方形面积公式列出关系式，利用完全平方公式化简，即可确定出所求．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二元一次方程组的解法和应用，同底数幂的乘法的计算法则，以及整数解的意义，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键．当时，原方程组可求出解为，，因此不正确，若，求出方程组的解为，，进而求出，代入求代数式的值即可，将代入求出关于、的方程组的解，使其均是整数，得出结论，
【解答】
解：：当时，原方程组可变为：
，解得：，，因此方程组有解，不正确，
当时，原方程组可变为：
，解得，，
，
代数式；
因此选项是正确的，
当时，原方程组变为：
，解得：，
、、均为整数，
，，，，，，
因此对应方程组有八组整数解，选项正确，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案．
本题主要考查多项式乘以多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据同底数幂的乘法公式即可求出、、的关系．
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，依此即可得到、、之间的关系．
【解答】
解：，，
，
，
；
，
；
，
．
错误的为．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查多项式乘以多项式的法则注意不含某一项就是说含此项的系数等于先根据已知式子，可找出所有含的项，合并系数，令含项的系数等于，即可求的值．

【解答】

解：

，
不含的一次项，
，
解得：．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
由题意实数、、满足，可以将，用和表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】
解：实数、、满足，

当，且时，的最大值是．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的化简求值，偶次方的非负性，完全平方公式，利用已知条件将原式化简是解题的关键．
先将原式化简，再将代入，得出原式，设，推出，进而得出原式，即可得出答案．
【解答】
解：，
，





，
设，则，
，
，
原式，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是整式的混合运算，完全平方公式的有关知识，先用含有、的代数式分别表示，，再根据，整理可得结论．
【解答】
解：由题意可得：
，
；
，
，
，
；
，
，
，
，
，
．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据完全平方式，将与的值代入即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式的运用，要求能熟练运用公式解题．由已知条件，利用平方差公式将因式分解，再代入求的值．
【解答】

解：，
将代入，解得．
故选A．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键，拼成的大长方形的面积是，即需要一个边长为的正方形，个边长为的正方形和个类卡片．

【解答】

解：要拼一个长为，宽为的大长方形，实质就是看需要，，类卡片各多少张把与相乘得，故需要张类卡片，张类卡片，张类卡片．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了单项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式化简后合并，利用多项式相等的条件即可求出与的值，进而即可求得结果．
【解答】
解：恒成立，
，，
解得：，，
因此．
故答案为．

已知等式化简后合并，利用多项式相等的条件即可求出与的值

15.【答案】 

【解析】

【分析】 
此题主要考查了完全平方式的运用，本题利用好乘积二倍项不含字母是常数项是解题的关键．根据完全平方公式两边平方，然后整理即可求解． 
【解答】
解：，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式和求代数式的值，利用完全平方公式即可求解．
【解答】
解：将平方得：
，
把代入得：，．
故答案为．  

17.【答案】解：，，
；

，，
又，
，，
或；
或． 

【解析】利用同底数幂的除法与幂的乘方的知识，即可将原式化为：，将，代入，即可求得答案；
由，，，即可求得与的值，继而求得答案．
此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的知识．此题难度适中，注意掌握同底数幂的除法与幂的乘方的运算法则的逆运算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：
是，这个定值是； 
设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，
上下两数分别为，，
十字差为
定值为
证明：设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为，
故这个定值为． 

【解析】

【分析】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
定值为，理由为：设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，进而表示出十字差，化简即可得证；
定值为，理由为：设十字星中心的数为，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
【解答】
解：根据题意得：；
故答案为：．
见答案
见答案．  

19.【答案】解：，；
设，则，即
所以，即，
所以；
设，，
则，，
，
所以，
故． 

【解析】

【分析】
本题主要考查有理数的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握新定义的特点．
分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
根据运算法则可得所以，即，即可得；
设，，根据运算法则即可求解．
【解答】
解：，，
，．
故答案为，；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：，

，

联立方程，
可得
解得


． 

【解析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据两人出错的结果列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值；
将与的值代入计算即可求出正确的结果．
 

21.【答案】解：



即窗户的边框面积是． 

【解析】首先根据圆的面积的求法，求出虚线上方的窗户的边框面积；然后根据长方形的面积的求法，求出虚线下方的窗户的边框面积；最后把它们求和，求出窗户的边框面积是多少即可．
此题主要考查了列代数式、单项式乘多项式，还考查了长方形和圆的面积的求法，要熟练掌握．
 

22.【答案】解：设，，
则，，

设，，
，，
，
，
，
，
；
正方形的边长为，，，
，，
，
，
阴影部分的面积，
设，，
则，，
，，，
．
即阴影部分的面积是． 

【解析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，理解题干的求法是解题的关键，
设，，仿照例题的解法求值即可；
设，，利用完全平方公式求出，由题可得，可得代数式的值；
由题意可得，，阴影部分的面积，设，，求出，，，再代入解答即可．
 

23.【答案】解：设和都是“神秘数”，设是和两数的平方差得到，
则，
解得：，，
即，
设是和两数的平方差得到，
则，
解得：，
，
即，
所以，都是神秘数．
，
由和构造的神秘数是的倍数，且是奇数倍．
设两个连续奇数为和，
则，
即：两个连续奇数的平方差是的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为的奇数倍这一条件．
两个连续奇数的平方差不是神秘数． 

【解析】本题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．
试着把、写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
化简两个连续偶数为和的差，再判断；
设两个连续奇数为和，则，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
 

24.【答案】       

【解析】解：由题可得，图乙中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
方法一：
图乙中阴影部分的面积
方法二：
图乙中阴影部分的面积；
故答案为：，；
和表示同一个图形的面积；
；
故答案为：；
，
而，，
．
根据图乙中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断；
图乙中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算；
根据和表示同一个图形的面积进行判断；
根据，进行计算即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
 

25.【答案】解：，则，
；

设“隐等数“的千位、百位分别为、，则十位数为，个位数为，
，
为正数，且能表示两个连续偶数的平方差，
可设为自然数，
，即为的奇数倍，
的千位与十位上的数字之和为，
，，
，
，
，或，，
或． 

【解析】根据“隐等数”的定义解答即可；
设“隐等数“的千位、百位分别为、，可得，再根据能表示为两个连续偶数的平方差，确定出、的值即可解答．
此题考查了平方差公式，理清题意以及熟练掌握平方差公式是解本题的关键．