
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2023-2024学年安徽省芜湖市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市九年级(上)期末数学试卷(含解析),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.如图为芜湖市轨道交通Lg,将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年前三季度,芜湖市实现全市进出口总额135亿美元,135亿用科学记数法表示为( )
A. 1.35×1010B. 135×108C. 13.5×109D. 1.35×1011
3.若分式1x−3有意义,则x的取值范围是( )
A. x>3B. x<3C. x≠3D. x=3
4.下列关于方程x2−8x+10=0实数根的情况,说法正确的是( )
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
5.如图,在⊙O中弦AB=7,C在⊙O上,且∠BCA=30°,则⊙O的半径为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6.已知反比例函数y=kx(k≠0)图象经过一、三象限,若点A(a−b,−3),B(a−c,5)是该反比例函数图象上的两点,则a,b,c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC=2,∠ODC=40°,则在扇形OCD中,弧CD长是( )
A. π2
B. 2π9
C. 4π9
D. 5π9
8.如图,正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,且⊙O的半径为2 2,则S正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A. 8
B. 8 2
C. 16 2
D. 16
9.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造,其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的一部分,下列选项错误的是( )
A. 4月份的利润为50万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D. 9月份该厂利润达到200万元
10.如图,等边△ABC边长为4 3,E、F分别是边BC、CA上两个动点且BE=CF.分别连接AE、BF,交于P点,点M为AC的中点,N为BC上一动点,则PN+MN的最小值为( )
A. 2 3+1
B. 2 19−4
C. 19−2
D. 4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
11.已知A(a,1)和A′(−2,b)关于原点对称,则a+b= ______.
12.小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,则根据题意可列方程为______.
13.2024年“元旦”期间,小明与小亮准备从芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是______.
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点P是Rt△ABC外接圆上的一点,且∠ACP=45°,连接BP,AP.点M为弧AP上一点(不与A,P重合),过P作PD⊥BM于D点.
(1)△ABP的形状为______;
(2)若AM=2,DM= 3,则BM= ______.
三、解答题:本题共9小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
求不等式2x+1>5的解集.
16.(本小题8分)
已知△ABC的一边长为10,另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根,请判断△ABC的形状,并说明理由.
17.(本小题8分)
观察下列点阵:图1中共有3个点,图2中共有5个点,图3中共有8个点.
(1)按此规律,图4中有______个点,图8中有______个点;
(2)按此规律,图n中共有______个点.
18.(本小题8分)
如图,在小正方形的边长均为1的正方形网格中,点A、B、C都是格点.
(1)在图中仅用无刻度的直尺作∠ABC的平分线;
(2)连接AC,求△ABC内切圆的半径.
19.(本小题10分)
如图,某人对地面的压强ρ(单位:N/m2)与这个人和地面接触面积S(单位:m2)满足反比例函数关系.
(1)图象上点A坐标为(10,80),求函数解析式;
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400cm2,那么此人双脚站立时对地面的压强有多大?
(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为320N/m2,那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷(木板的质量忽略不计)?
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2−4ax+2.
(1)抛物线的对称轴为直线______,抛物线与y轴的交点坐标为______;
(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,求此时y的最大值.
21.(本小题12分)
为了提高学生书写汉字的能力,增强保护汉字的意识,我市举办了首届“汉字听写大赛”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时听写50个汉字,若每正确听写出一个汉字得1分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
请结合图表完成下列各题:
(1)求表中a的值;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于40分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(4)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.
22.(本小题12分)
李明同学在研究一道直线和圆的关系题目时,有如下发现:如图1,点B是⊙O外一点,射线BC经过点O与⊙O交于点M和点N,BP是∠ABC的平分线,BA与⊙O相切于点D,过D作BP的垂线交BP于点E,交BC于点F,交⊙O于点G.当∠ABC=60°时,可以得到FG=2DF.
(1)李明的研究结论正确吗?若正确,请证明;若不正确,请说明原因;
(2)如图2,如果我们将∠ABC的角度变小,使得BA与⊙O相交于点D和D′,仍过点D′作BP的垂线交BP于点E′,交BC于点F,交⊙O于点G′,其他条件保持不变,请你猜想F′G′与FG之间的关系,并证明.
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,如图①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点M(−3,0)和点N(1,0),与y轴交于点B,且OM=OB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图②,若过(1)中抛物线上的点A作线段AC平行于x轴,交对称轴于H点,且AH=2CH,过C作y轴的平行线交抛物线于D点,A点横坐标x满足−4≤xA<−3,求四边形AMDO面积S的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是.
故选:B.
直接利用旋转的性质得出对应图形即可.
此题主要考查了生活中的旋转现象,正确掌握旋转方向是解题关键.
2.【答案】A
【解析】解:135亿=13500000000=1.35×1010.
故选:A.
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:∵分式1x−3有意义,
∴x−3≠0,
∴x≠3,
故选:C.
分式有意义的条件是分母不为0.
本题考查的是分式有意义的条件:当分母不为0时,分式有意义.
4.【答案】D
【解析】解:∵方程x2−8x+10=0中的a=1,b=−8,c=10,
∴Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×10=24>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:D.
先计算根的判别式的值,然后根的判别式的意义判断根的情况.
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,用根的判别式Δ=b2−4ac来判断,若Δ>0,则有两个不相等的实数根;Δ=0,则有两个相等的实数根;Δ<0,则无实数根.
5.【答案】C
【解析】解:连接OA,OB,
∴∠BCA=12∠AOB,∠BCA=30°,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=7,
∴⊙O的半径为7.
故选:C.
连接OA,OB,由圆周角定理得到∠BCA=12∠AOB,求出∠AOB=60°,又OA=OB,判定△OAB是等边三角形,推出OA=AB=7,得到⊙O的半径为7.
本在题考查圆周角定理,等边三角形的判定和性质,关键是由圆周角定理求出∠AOB=60°,得到△OAB是等边三角形.
6.【答案】D
【解析】解:∵反比例函数y=kx(k≠0)图象经过一、三象限,点A(a−b,−3),B(a−c,5)在反比例函数图象上,
∴点A在第三象限,点B在第一象限,
∴a−b<0a−c>0a−b∴b>a>c.
故选:D.
依题意得点A在第三象限,点B在第一象限,由此可得a−b<0a−c>0a−b此题主要考查了反比例函数图象上的点,不等式的应用,根据反比例函数图象上的点所在的位置列出不等式组是解决问题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:∵在矩形ABCD中,AC=2,∠ODC=40°,
∴OD=OC=1,∠COD=180°−40°−40°=100°,
∴弧CD的长为100π×1180=5π9,
故选:D.
先求出∠COD的度数及OC的长度,再利用弧长公式即可得出答案.
本题考查矩形的性质和弧长的计算,解决本题的关键是熟记弧长公式.
8.【答案】C
【解析】解:连接AO,BO,CO,AC,
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2 2,
∴AO=BO=CO=R,∠AOB=∠BOC=360°8=45°,
∴∠AOC=90°,
∴AC= 2OA=4,此时AC与BO垂直,
∴S四边形AOCB=12BO×AC=12×2 2×4=4 2,
∴正八边形面积为:4 2×4=16 2.
故选:C.
首先根据正八边形的性质得出AO=BO=CO=2 2,∠AOB=∠BOC=360°8=45°,进而得出AC的长,即可得出S四边形AOCB的面积,进而得出答案.
此题主要考查了正多边形和圆的有关计算,根据已知得出中心角∠AOC=90°再利用勾股定理得出是解题关键.
9.【答案】C
【解析】解:A、设反比例函数的解析式为y=kx,
把(1,200)代入得,k=200,
∴反比例函数的解析式为:y=200x,
当x=4时,y=50,
∴4月份的利润为50万元,故此选项正确,不合题意;
B、治污改造完成后,从4月到6月,利润从50万到110万,故每月利润比前一个月增加30万元,故此选项正确,不合题意;
C、当y=100时,则100=200x,
解得:x=2,
设一次函数解析式为:y=kx+b,
则4k+b=506k+b=110,
解得:k=30b=−70,
故一次函数解析式为:y=30x−70,
当y=100时,则x=173,
则只有3月,4月,5月,共3个月的利润低于100万元,故此选项不正确,符合题意.
D、一次函数解析式为:y=30x−70,
故y=200时,200=30x−70,
解得:x=9,
则治污改造完成后的第5个月,即9月份该厂利润达到200万元,故此选项正确,不合题意.
故选:C.
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案.
此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用,正确得出函数解析式是解题关键.
10.【答案】B
【解析】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=60°,
又∵BE=CF,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,
∴∠APF=∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=60°,
∴∠APB=120°,
∴点P在以AB为弦,且AB所对一个圆周角为120°的圆周上,如图,点P在⊙O的AB上,
作出△ABC和点M关于直线BC的对称图形△A′BC和点M′,连接OM′交⊙O于点P′,连接P′N,
则MN=M′N,
∴PN+MN=P′N+M′N≥P′M′=OM′−OP′,
即PN+MN的最小值为OM′−OP′,
连接OA,OB,过点M′作M′H⊥OB,交OB的延长线于点H,交A′B于点Q,过点O作OG⊥AB于点G,
由圆周角定理,得∠AOB=360°−240°2=120°,
由垂径定理,得BG=12AB=2 3,
由三角形内角和定理和等腰三角形性质,得∠OBA=180°−120°2=30°,
∴OB=BGcs30∘=2 3cs30°=4,∠OBC=∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°,
∴OP′=4,M′H//BC,
∴△A′M′Q为等边三角形,
∵点M为AC的中点,
∴点M′为A′C的中点,
∴M′Q=A′M′=A′Q=2 3,
∴BQ=2 3,
在Rt△BQH中,
BH=BQ⋅sin60°=3,HQ=BQ⋅cs60°= 3,
∴OH=OB+BH=4+3=7,M′H=M′Q+HQ=2 3+ 3=3 3,
在Rt△OM′H中,
由勾股定理,得OM′= OH2+M′H2= 72+(3 3)2=2 19,
∴PN+MN的最小值为OM′−OP′=2 19−4,
故选:B.
先探究出点P的运动路线,再利用轴对称和圆外一点到圆上各点的最短问题模型作出图形,利用勾股定理,垂径定理求出OM′和OP′的长即可解决问题.
本题考查轴对称−最短路线问题,解答中涉及到动点的运动路线,勾股定理,等边三角形的性质,三角函数,探究出点P的运动路线是解题的关键.
11.【答案】1
【解析】解:∵A(a,1)和A′(−2,b)关于原点对称,
∴a=2,b=−1,
∴a+b=2−1=1.
故答案为:1.
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得a、b的值,再代入计算即可.
本题考查了关于原点对称的点的坐标,利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数得出a、b的值是解题关键.
12.【答案】200(1+x)2=242
【解析】解:依题意得200(1+x)2=242.
故答案为:200(1+x)2=242.
利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×(1+该快递店揽件日平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
13.【答案】13
【解析】解:用A、B、C分别表示:芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇;
画树状图如下:
∵共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,
∴两家抽到同一景点的概率是39=13,
故答案为:13.
画树状图,共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,再由概率公式求解即可.
本题考查的是用树状图法求概率,树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14.【答案】等腰直角三角形 2+2 3
【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,
∴AB为直径,
∴∠APB=90°,
∵AP=AP,
∴∠ACP=∠ABP=45°,
∴∠ABP=∠BAP=45°,
∴AP=BP,
∴△ABP的形状为等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角三角形;
(2)证明:作PE⊥AM,交AM的延长线于E,如图,
∵∠ACB=90°,
∴AB为直径,
∴∠AMB=90°,
∵PD⊥BM,
∴四边形PDME为矩形,
在△PBD和△PAE中,
∠PDB=∠PEA∠PBD=∠PAEPB=PA,
∴△PBD≌△PAE(AAS),
∴PD=PE,BD=AE,
∴四边形PDME为正方形,
∴MD=ME,
∴BD=AE=ME+AM=MD+AM=2+ 3,
∴BM=BD+DM=2+2 3.
故答案为:2+2 3.
(1)由等腰直角三角形的性质可得出结论;
(2)作PE⊥AM,交AM的延长线于E,如图,证明△PBD≌△PAE(AAS),由全等三角形的性质可得出PD=PE,BD=AE,证出四边形PDME为正方形,得出MD=ME,则可得出结论.
本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.
15.【答案】解:2x>5−1,
2x>4,
x>2.
【解析】先移项,再合并同类项,把x的系数化为1即可.
本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.
16.【答案】解:x2−14x+48=0,
(x−6)(x−8)=0,
∴x=6或8,
∵另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根,
∴△ABC一边长为10,另外两边长为6,8,
∵62+82=102,
∴△ABC为直角三角形.
【解析】首先解方程求出三角形的另外两边,然后判断三角形形状即可.
本题主要考查解一元二次方程的能力、直角三角形的判定,解题的关键是选择适当的方法熟练解一元二次方程方程.
17.【答案】12 38 [n(n+1)2+2]
【解析】解:(1)由所给图形可知,
图1中点的个数为:3=1×22+2;
图2中点的个数为:5=2×32+2;
图3中点的个数为:8=3×42+2;
图4中点的个数为:12=4×52+2;
…,
所以图n中点的个数为:n(n+1)2+2;
当n=8时,
n(n+1)2+2=8×92+2=38,
即图8中点的个数为38个.
故答案为:12,38.
(2)由(1)知,
图n中点的个数为:n(n+1)2+2;
故答案为:[n(n+1)2+2].
(1)根据所给图形,发现图中点个数的规律即可解决问题.
(2)根据(1)发现的规律即可解决问题.
本题考查图形变化的规律,能根据所给图形用含n的代数式表示出图n中点的个数是解题的关键.
18.【答案】解:(1)BD即为所求;
(2)∵点A、B、C都是格点,
由图可知AB=5,BC=5,AC=2 5.
∴AB=BC,
∴△ABC为等腰三角形,
设△ABC内切圆的半径为r,
过△ABC内切圆的圆心O作AB的垂线OE,
∵∠ABD=∠OBE,∠BEO=∠ADB,
∴△BOE∽△BAD,
则OEAD=BOAB,
则:r 5=2 5−r5,
解得:r=5− 52.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质作图;
(2)根据等腰三角形的性质求解.
本题考查了作图的应用与设计,掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
19.【答案】解:(1)由题可设p=kS(k≠0),
∵点A(10,80)在函数p=kS图象上,
∴80=k10,
解得k=800.
∴函数解析式为p=800S;
(2)S=400×2=800(cm2)=8×10−2(m2),
p=800S=8008×10−2=104(N|m2);
(3)将p=320代入函数解析式,得
S=800320=2.5(m2).
答:此人应站立在面积至少为2.5m2的木板上才不至于下陷.
【解析】(1)依题意可设P关于S的函数解析式为p=kS(k≠0),然后将点(10,80)代入即可;
(2)先求出双脚站立时对地面的接触面积S=S=800×10−4m2,然后将其代入到函数的解析式求出P即可;
(3)将p=320N/m2代入函数的解析式求出S即可.
此题主要考查了反比例函数应用,熟练掌握待定系数法求反比例解析式的方法,理解压强与受力面积成反比例是解答此题的关键.
20.【答案】x=2 (0,2)
【解析】解:(1)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=−−4a2a=2.
令x=0,则y=2.
∴抛物线y=ax2−4ax+2与y轴的交点为(0,2).
故答案为:x=2;(0,2).
(2)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=2,
∴顶点在1≤x≤5范围内,
∵当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,
∴当a<0时,抛物线开口向下,x=5时y有最小值−6,
∴25a−20a+2=−6,
解得a=−85,
∴抛物线为y=−85x2+325x+2
当x=2时,y=−85×22+325×2+2=425,
∴此时y的最大值为425.
当a>0,抛物线开口向上,x=2时y有最小值−6,
∴4a−8a+2=−6,
解得a=2,
∴抛物线为y=2x2−8x+2,
当x=5时,y=2×25−8×5+2=12,
∴此时y的最大值12.
综上,y的最大值为12.
(1)由对称轴方程,将对应系数代入可得,令抛物线解析式中的x=0,求得y,答案可得;
(2)利用当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,可求得a的值,再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值.
本题主要考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,熟练应用上述知识是解题的关键.
21.【答案】解:(1)表中a的值是:
a=50−4−8−16−10=12;
(2)根据题意画图如下:
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44.
答:本次测试的优秀率是0.44;
(4)用A表示小宇,B表示小强,C、D表示其他两名同学,根据题意画树状图如下:
共有12种情况,小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种,
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13.
【解析】(1)用总人数减去第1、2、3、5组的人数,即可求出a的值;
(2)根据(1)得出的a的值,补全统计图;
(3)用成绩不低于40分的频数乘以总数,即可得出本次测试的优秀率;
(4)用A表示小宇,B表示小强,C、D表示其他两名同学,画出树状图,再根据概率公式列式计算即可.
本题考查了频数分布直方图和概率,利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,概率=所求情况数与总情况数之比.
22.【答案】解:(1)李明的研究结论正确,
证明:如图1,连接OD、OG,
∵BA是⊙O的切线,
∴∠BDO=90°,
又∵∠ABC=60°,BP是∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP=30°∠BOD=30°,
过D作BP的垂线交BP于E,
∴∠BDF=∠BFD=∠OFG=60°,
∴∠ODG=∠BOD=30°,
∴DF=OF,
又∵OD=OG,
∴∠OGD=∠ODG=30°,
∴∠BOG=90°,
在Rt△OFG中,FG=2OF,
即FG=2DF;
(2)猜想F′G′与FG平行且相等,
证明:如图2,连接G′G,
∵D′G′⊥BP,DG⊥BP,
∴D′G′//DG.
即F′G′//FG,
∵D′G⊥BP,BP平分∠ABC,
∴∠BD′F′=∠BF′D′,
∵∠BF′D′=∠FF′G′,
∴∠BD′F′=∠FF′G′,
∵四边形D′G′GD是⊙O的内接四边形,
∴∠BD′F′=∠G,
又∵F′G′//FG,
∴∠G′+∠G=180°,
∴∠G′+∠BD′F′=180°,
即∠G′+∠FF′G′=180°,
∴F′F//G′G,
∴四边形F′G′GF为平行四边形,
∴F′G′=FG,
综上,F′G′与FG平行且相等.
【解析】(1)图1中,连接OD、OG,根据切线的性质得到∠BDO=90°,根据角平分线的定义得到∠ABP=∠CBP=30°,∠BOD=30°,过D作BP的垂线交BP于E,推出DF=OF,得到∠OGD=∠ODG=30°,求得∠BOG=90°,即可得到结论;
(2)如图2,连接GG,根据平行线的判定定理得到D′G//DG.即FG//FG,根据角平分线的定义得到∠BD′F′=∠BF′D′,求得∠BD′F′=∠FF′G′,得到∠BD′F′=∠G,根据平行线的性质得到∠G′+∠G=180°,推出FF//G′G,得到四边形F′G′GF为平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论.
本题是圆的综合题,考查了切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,平行四边形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
23.【答案】解:(1)由题意OM=OB,M(−3,0),故B(0,−3)
将M(−3,0),N(1,0),B(0,−3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=−3,
解得a=1b=2c=−3,
∴抛物线解析式为y=x2+2x−3;
(2)∵y=x2+2x−3,
∴对称轴为直线x=−22=−1,
设D点坐标为(t,t2+2t−3),
∵CD平行于y轴,
∴C点横坐标为t,
∴CH=t+1,
∵AC平行于x轴,且AH=2CH,
∴−1−xA=2t+2,即xA=−3−2t.
把xA=−3−2t代入y=x2+2x−3得yA=4t2+8t,
∵−4≤xA<−3,
∴0∵点D在第四象限,
∴DN=−(t2+2t−3),OM=2,
∴四边形AMDO面积S=S△AMO+S△DMO=12MO⋅yA+12MO⋅(−t2−2t+3)=12×2(4t2+8t)+12×2(−t2−2t+3)=3t2+6t+3=3(t+1)2,
∵3>0,
∴t>−1时,四边形AMDO的面积S随t的增大而增大,
∴⋅0故当t=12时,面积S最大值=274.
∴四边形AMDO面积S的最大值为274.
【解析】(1)根据题意求出M,N,B坐标,再用待定系数法求函数解析式;
(2)设D点坐标为(t,t2+2t−3),然后求出点C,A坐标,由S=S△AOM+S△DOM求出S关于t的解析式,再由函数的性质和t的范围求最值.
本题考查抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,关键是求出函数解析式,由函数的性质求最值.组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
25≤x<30
4
第2组
30≤x<35
8
第3组
35≤x<40
16
第4组
40≤x<45
a
第5组
45≤x<50
10
1.如图为芜湖市轨道交通Lg,将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年前三季度,芜湖市实现全市进出口总额135亿美元,135亿用科学记数法表示为( )
A. 1.35×1010B. 135×108C. 13.5×109D. 1.35×1011
3.若分式1x−3有意义,则x的取值范围是( )
A. x>3B. x<3C. x≠3D. x=3
4.下列关于方程x2−8x+10=0实数根的情况,说法正确的是( )
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
5.如图,在⊙O中弦AB=7,C在⊙O上,且∠BCA=30°,则⊙O的半径为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6.已知反比例函数y=kx(k≠0)图象经过一、三象限,若点A(a−b,−3),B(a−c,5)是该反比例函数图象上的两点,则a,b,c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC=2,∠ODC=40°,则在扇形OCD中,弧CD长是( )
A. π2
B. 2π9
C. 4π9
D. 5π9
8.如图,正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,且⊙O的半径为2 2,则S正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A. 8
B. 8 2
C. 16 2
D. 16
9.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造,其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的一部分,下列选项错误的是( )
A. 4月份的利润为50万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D. 9月份该厂利润达到200万元
10.如图,等边△ABC边长为4 3,E、F分别是边BC、CA上两个动点且BE=CF.分别连接AE、BF,交于P点,点M为AC的中点,N为BC上一动点,则PN+MN的最小值为( )
A. 2 3+1
B. 2 19−4
C. 19−2
D. 4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
11.已知A(a,1)和A′(−2,b)关于原点对称,则a+b= ______.
12.小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,则根据题意可列方程为______.
13.2024年“元旦”期间,小明与小亮准备从芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是______.
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点P是Rt△ABC外接圆上的一点,且∠ACP=45°,连接BP,AP.点M为弧AP上一点(不与A,P重合),过P作PD⊥BM于D点.
(1)△ABP的形状为______;
(2)若AM=2,DM= 3,则BM= ______.
三、解答题:本题共9小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
求不等式2x+1>5的解集.
16.(本小题8分)
已知△ABC的一边长为10,另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根,请判断△ABC的形状,并说明理由.
17.(本小题8分)
观察下列点阵:图1中共有3个点,图2中共有5个点,图3中共有8个点.
(1)按此规律,图4中有______个点,图8中有______个点;
(2)按此规律,图n中共有______个点.
18.(本小题8分)
如图,在小正方形的边长均为1的正方形网格中,点A、B、C都是格点.
(1)在图中仅用无刻度的直尺作∠ABC的平分线;
(2)连接AC,求△ABC内切圆的半径.
19.(本小题10分)
如图,某人对地面的压强ρ(单位:N/m2)与这个人和地面接触面积S(单位:m2)满足反比例函数关系.
(1)图象上点A坐标为(10,80),求函数解析式;
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400cm2,那么此人双脚站立时对地面的压强有多大?
(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为320N/m2,那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷(木板的质量忽略不计)?
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2−4ax+2.
(1)抛物线的对称轴为直线______,抛物线与y轴的交点坐标为______;
(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,求此时y的最大值.
21.(本小题12分)
为了提高学生书写汉字的能力,增强保护汉字的意识,我市举办了首届“汉字听写大赛”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时听写50个汉字,若每正确听写出一个汉字得1分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
请结合图表完成下列各题:
(1)求表中a的值;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于40分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(4)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.
22.(本小题12分)
李明同学在研究一道直线和圆的关系题目时,有如下发现:如图1,点B是⊙O外一点,射线BC经过点O与⊙O交于点M和点N,BP是∠ABC的平分线,BA与⊙O相切于点D,过D作BP的垂线交BP于点E,交BC于点F,交⊙O于点G.当∠ABC=60°时,可以得到FG=2DF.
(1)李明的研究结论正确吗?若正确,请证明;若不正确,请说明原因;
(2)如图2,如果我们将∠ABC的角度变小,使得BA与⊙O相交于点D和D′,仍过点D′作BP的垂线交BP于点E′,交BC于点F,交⊙O于点G′,其他条件保持不变,请你猜想F′G′与FG之间的关系,并证明.
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,如图①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点M(−3,0)和点N(1,0),与y轴交于点B,且OM=OB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图②,若过(1)中抛物线上的点A作线段AC平行于x轴,交对称轴于H点,且AH=2CH,过C作y轴的平行线交抛物线于D点,A点横坐标x满足−4≤xA<−3,求四边形AMDO面积S的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是.
故选:B.
直接利用旋转的性质得出对应图形即可.
此题主要考查了生活中的旋转现象,正确掌握旋转方向是解题关键.
2.【答案】A
【解析】解:135亿=13500000000=1.35×1010.
故选:A.
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:∵分式1x−3有意义,
∴x−3≠0,
∴x≠3,
故选:C.
分式有意义的条件是分母不为0.
本题考查的是分式有意义的条件:当分母不为0时,分式有意义.
4.【答案】D
【解析】解:∵方程x2−8x+10=0中的a=1,b=−8,c=10,
∴Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×10=24>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:D.
先计算根的判别式的值,然后根的判别式的意义判断根的情况.
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,用根的判别式Δ=b2−4ac来判断,若Δ>0,则有两个不相等的实数根;Δ=0,则有两个相等的实数根;Δ<0,则无实数根.
5.【答案】C
【解析】解:连接OA,OB,
∴∠BCA=12∠AOB,∠BCA=30°,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=7,
∴⊙O的半径为7.
故选:C.
连接OA,OB,由圆周角定理得到∠BCA=12∠AOB,求出∠AOB=60°,又OA=OB,判定△OAB是等边三角形,推出OA=AB=7,得到⊙O的半径为7.
本在题考查圆周角定理,等边三角形的判定和性质,关键是由圆周角定理求出∠AOB=60°,得到△OAB是等边三角形.
6.【答案】D
【解析】解:∵反比例函数y=kx(k≠0)图象经过一、三象限,点A(a−b,−3),B(a−c,5)在反比例函数图象上,
∴点A在第三象限,点B在第一象限,
∴a−b<0a−c>0a−b∴b>a>c.
故选:D.
依题意得点A在第三象限,点B在第一象限,由此可得a−b<0a−c>0a−b此题主要考查了反比例函数图象上的点,不等式的应用,根据反比例函数图象上的点所在的位置列出不等式组是解决问题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:∵在矩形ABCD中,AC=2,∠ODC=40°,
∴OD=OC=1,∠COD=180°−40°−40°=100°,
∴弧CD的长为100π×1180=5π9,
故选:D.
先求出∠COD的度数及OC的长度,再利用弧长公式即可得出答案.
本题考查矩形的性质和弧长的计算,解决本题的关键是熟记弧长公式.
8.【答案】C
【解析】解:连接AO,BO,CO,AC,
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2 2,
∴AO=BO=CO=R,∠AOB=∠BOC=360°8=45°,
∴∠AOC=90°,
∴AC= 2OA=4,此时AC与BO垂直,
∴S四边形AOCB=12BO×AC=12×2 2×4=4 2,
∴正八边形面积为:4 2×4=16 2.
故选:C.
首先根据正八边形的性质得出AO=BO=CO=2 2,∠AOB=∠BOC=360°8=45°,进而得出AC的长,即可得出S四边形AOCB的面积,进而得出答案.
此题主要考查了正多边形和圆的有关计算,根据已知得出中心角∠AOC=90°再利用勾股定理得出是解题关键.
9.【答案】C
【解析】解:A、设反比例函数的解析式为y=kx,
把(1,200)代入得,k=200,
∴反比例函数的解析式为:y=200x,
当x=4时,y=50,
∴4月份的利润为50万元,故此选项正确,不合题意;
B、治污改造完成后,从4月到6月,利润从50万到110万,故每月利润比前一个月增加30万元,故此选项正确,不合题意;
C、当y=100时,则100=200x,
解得:x=2,
设一次函数解析式为:y=kx+b,
则4k+b=506k+b=110,
解得:k=30b=−70,
故一次函数解析式为:y=30x−70,
当y=100时,则x=173,
则只有3月,4月,5月,共3个月的利润低于100万元,故此选项不正确,符合题意.
D、一次函数解析式为:y=30x−70,
故y=200时,200=30x−70,
解得:x=9,
则治污改造完成后的第5个月,即9月份该厂利润达到200万元,故此选项正确,不合题意.
故选:C.
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案.
此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用,正确得出函数解析式是解题关键.
10.【答案】B
【解析】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=60°,
又∵BE=CF,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,
∴∠APF=∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=60°,
∴∠APB=120°,
∴点P在以AB为弦,且AB所对一个圆周角为120°的圆周上,如图,点P在⊙O的AB上,
作出△ABC和点M关于直线BC的对称图形△A′BC和点M′,连接OM′交⊙O于点P′,连接P′N,
则MN=M′N,
∴PN+MN=P′N+M′N≥P′M′=OM′−OP′,
即PN+MN的最小值为OM′−OP′,
连接OA,OB,过点M′作M′H⊥OB,交OB的延长线于点H,交A′B于点Q,过点O作OG⊥AB于点G,
由圆周角定理,得∠AOB=360°−240°2=120°,
由垂径定理,得BG=12AB=2 3,
由三角形内角和定理和等腰三角形性质,得∠OBA=180°−120°2=30°,
∴OB=BGcs30∘=2 3cs30°=4,∠OBC=∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°,
∴OP′=4,M′H//BC,
∴△A′M′Q为等边三角形,
∵点M为AC的中点,
∴点M′为A′C的中点,
∴M′Q=A′M′=A′Q=2 3,
∴BQ=2 3,
在Rt△BQH中,
BH=BQ⋅sin60°=3,HQ=BQ⋅cs60°= 3,
∴OH=OB+BH=4+3=7,M′H=M′Q+HQ=2 3+ 3=3 3,
在Rt△OM′H中,
由勾股定理,得OM′= OH2+M′H2= 72+(3 3)2=2 19,
∴PN+MN的最小值为OM′−OP′=2 19−4,
故选:B.
先探究出点P的运动路线,再利用轴对称和圆外一点到圆上各点的最短问题模型作出图形,利用勾股定理,垂径定理求出OM′和OP′的长即可解决问题.
本题考查轴对称−最短路线问题,解答中涉及到动点的运动路线,勾股定理,等边三角形的性质,三角函数,探究出点P的运动路线是解题的关键.
11.【答案】1
【解析】解:∵A(a,1)和A′(−2,b)关于原点对称,
∴a=2,b=−1,
∴a+b=2−1=1.
故答案为:1.
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得a、b的值,再代入计算即可.
本题考查了关于原点对称的点的坐标,利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数得出a、b的值是解题关键.
12.【答案】200(1+x)2=242
【解析】解:依题意得200(1+x)2=242.
故答案为:200(1+x)2=242.
利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×(1+该快递店揽件日平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
13.【答案】13
【解析】解:用A、B、C分别表示:芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇;
画树状图如下:
∵共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,
∴两家抽到同一景点的概率是39=13,
故答案为:13.
画树状图,共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,再由概率公式求解即可.
本题考查的是用树状图法求概率,树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14.【答案】等腰直角三角形 2+2 3
【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,
∴AB为直径,
∴∠APB=90°,
∵AP=AP,
∴∠ACP=∠ABP=45°,
∴∠ABP=∠BAP=45°,
∴AP=BP,
∴△ABP的形状为等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角三角形;
(2)证明:作PE⊥AM,交AM的延长线于E,如图,
∵∠ACB=90°,
∴AB为直径,
∴∠AMB=90°,
∵PD⊥BM,
∴四边形PDME为矩形,
在△PBD和△PAE中,
∠PDB=∠PEA∠PBD=∠PAEPB=PA,
∴△PBD≌△PAE(AAS),
∴PD=PE,BD=AE,
∴四边形PDME为正方形,
∴MD=ME,
∴BD=AE=ME+AM=MD+AM=2+ 3,
∴BM=BD+DM=2+2 3.
故答案为:2+2 3.
(1)由等腰直角三角形的性质可得出结论;
(2)作PE⊥AM,交AM的延长线于E,如图,证明△PBD≌△PAE(AAS),由全等三角形的性质可得出PD=PE,BD=AE,证出四边形PDME为正方形,得出MD=ME,则可得出结论.
本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.
15.【答案】解:2x>5−1,
2x>4,
x>2.
【解析】先移项,再合并同类项,把x的系数化为1即可.
本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.
16.【答案】解:x2−14x+48=0,
(x−6)(x−8)=0,
∴x=6或8,
∵另外两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根,
∴△ABC一边长为10,另外两边长为6,8,
∵62+82=102,
∴△ABC为直角三角形.
【解析】首先解方程求出三角形的另外两边,然后判断三角形形状即可.
本题主要考查解一元二次方程的能力、直角三角形的判定,解题的关键是选择适当的方法熟练解一元二次方程方程.
17.【答案】12 38 [n(n+1)2+2]
【解析】解:(1)由所给图形可知,
图1中点的个数为:3=1×22+2;
图2中点的个数为:5=2×32+2;
图3中点的个数为:8=3×42+2;
图4中点的个数为:12=4×52+2;
…,
所以图n中点的个数为:n(n+1)2+2;
当n=8时,
n(n+1)2+2=8×92+2=38,
即图8中点的个数为38个.
故答案为:12,38.
(2)由(1)知,
图n中点的个数为:n(n+1)2+2;
故答案为:[n(n+1)2+2].
(1)根据所给图形,发现图中点个数的规律即可解决问题.
(2)根据(1)发现的规律即可解决问题.
本题考查图形变化的规律,能根据所给图形用含n的代数式表示出图n中点的个数是解题的关键.
18.【答案】解:(1)BD即为所求;
(2)∵点A、B、C都是格点,
由图可知AB=5,BC=5,AC=2 5.
∴AB=BC,
∴△ABC为等腰三角形,
设△ABC内切圆的半径为r,
过△ABC内切圆的圆心O作AB的垂线OE,
∵∠ABD=∠OBE,∠BEO=∠ADB,
∴△BOE∽△BAD,
则OEAD=BOAB,
则:r 5=2 5−r5,
解得:r=5− 52.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质作图;
(2)根据等腰三角形的性质求解.
本题考查了作图的应用与设计,掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
19.【答案】解:(1)由题可设p=kS(k≠0),
∵点A(10,80)在函数p=kS图象上,
∴80=k10,
解得k=800.
∴函数解析式为p=800S;
(2)S=400×2=800(cm2)=8×10−2(m2),
p=800S=8008×10−2=104(N|m2);
(3)将p=320代入函数解析式,得
S=800320=2.5(m2).
答:此人应站立在面积至少为2.5m2的木板上才不至于下陷.
【解析】(1)依题意可设P关于S的函数解析式为p=kS(k≠0),然后将点(10,80)代入即可;
(2)先求出双脚站立时对地面的接触面积S=S=800×10−4m2,然后将其代入到函数的解析式求出P即可;
(3)将p=320N/m2代入函数的解析式求出S即可.
此题主要考查了反比例函数应用,熟练掌握待定系数法求反比例解析式的方法,理解压强与受力面积成反比例是解答此题的关键.
20.【答案】x=2 (0,2)
【解析】解:(1)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=−−4a2a=2.
令x=0,则y=2.
∴抛物线y=ax2−4ax+2与y轴的交点为(0,2).
故答案为:x=2;(0,2).
(2)∵抛物线y=ax2−4ax+2的对称轴为直线x=2,
∴顶点在1≤x≤5范围内,
∵当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,
∴当a<0时,抛物线开口向下,x=5时y有最小值−6,
∴25a−20a+2=−6,
解得a=−85,
∴抛物线为y=−85x2+325x+2
当x=2时,y=−85×22+325×2+2=425,
∴此时y的最大值为425.
当a>0,抛物线开口向上,x=2时y有最小值−6,
∴4a−8a+2=−6,
解得a=2,
∴抛物线为y=2x2−8x+2,
当x=5时,y=2×25−8×5+2=12,
∴此时y的最大值12.
综上,y的最大值为12.
(1)由对称轴方程,将对应系数代入可得,令抛物线解析式中的x=0,求得y,答案可得;
(2)利用当x满足1≤x≤5时,y的最小值为−6,可求得a的值,再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值.
本题主要考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,熟练应用上述知识是解题的关键.
21.【答案】解:(1)表中a的值是:
a=50−4−8−16−10=12;
(2)根据题意画图如下:
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44.
答:本次测试的优秀率是0.44;
(4)用A表示小宇,B表示小强,C、D表示其他两名同学,根据题意画树状图如下:
共有12种情况,小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种,
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13.
【解析】(1)用总人数减去第1、2、3、5组的人数,即可求出a的值;
(2)根据(1)得出的a的值,补全统计图;
(3)用成绩不低于40分的频数乘以总数,即可得出本次测试的优秀率;
(4)用A表示小宇,B表示小强,C、D表示其他两名同学,画出树状图,再根据概率公式列式计算即可.
本题考查了频数分布直方图和概率,利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,概率=所求情况数与总情况数之比.
22.【答案】解:(1)李明的研究结论正确,
证明:如图1,连接OD、OG,
∵BA是⊙O的切线,
∴∠BDO=90°,
又∵∠ABC=60°,BP是∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP=30°∠BOD=30°,
过D作BP的垂线交BP于E,
∴∠BDF=∠BFD=∠OFG=60°,
∴∠ODG=∠BOD=30°,
∴DF=OF,
又∵OD=OG,
∴∠OGD=∠ODG=30°,
∴∠BOG=90°,
在Rt△OFG中,FG=2OF,
即FG=2DF;
(2)猜想F′G′与FG平行且相等,
证明:如图2,连接G′G,
∵D′G′⊥BP,DG⊥BP,
∴D′G′//DG.
即F′G′//FG,
∵D′G⊥BP,BP平分∠ABC,
∴∠BD′F′=∠BF′D′,
∵∠BF′D′=∠FF′G′,
∴∠BD′F′=∠FF′G′,
∵四边形D′G′GD是⊙O的内接四边形,
∴∠BD′F′=∠G,
又∵F′G′//FG,
∴∠G′+∠G=180°,
∴∠G′+∠BD′F′=180°,
即∠G′+∠FF′G′=180°,
∴F′F//G′G,
∴四边形F′G′GF为平行四边形,
∴F′G′=FG,
综上,F′G′与FG平行且相等.
【解析】(1)图1中,连接OD、OG,根据切线的性质得到∠BDO=90°,根据角平分线的定义得到∠ABP=∠CBP=30°,∠BOD=30°,过D作BP的垂线交BP于E,推出DF=OF,得到∠OGD=∠ODG=30°,求得∠BOG=90°,即可得到结论;
(2)如图2,连接GG,根据平行线的判定定理得到D′G//DG.即FG//FG,根据角平分线的定义得到∠BD′F′=∠BF′D′,求得∠BD′F′=∠FF′G′,得到∠BD′F′=∠G,根据平行线的性质得到∠G′+∠G=180°,推出FF//G′G,得到四边形F′G′GF为平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论.
本题是圆的综合题,考查了切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,平行四边形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
23.【答案】解:(1)由题意OM=OB,M(−3,0),故B(0,−3)
将M(−3,0),N(1,0),B(0,−3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=−3,
解得a=1b=2c=−3,
∴抛物线解析式为y=x2+2x−3;
(2)∵y=x2+2x−3,
∴对称轴为直线x=−22=−1,
设D点坐标为(t,t2+2t−3),
∵CD平行于y轴,
∴C点横坐标为t,
∴CH=t+1,
∵AC平行于x轴,且AH=2CH,
∴−1−xA=2t+2,即xA=−3−2t.
把xA=−3−2t代入y=x2+2x−3得yA=4t2+8t,
∵−4≤xA<−3,
∴0
∴DN=−(t2+2t−3),OM=2,
∴四边形AMDO面积S=S△AMO+S△DMO=12MO⋅yA+12MO⋅(−t2−2t+3)=12×2(4t2+8t)+12×2(−t2−2t+3)=3t2+6t+3=3(t+1)2,
∵3>0,
∴t>−1时,四边形AMDO的面积S随t的增大而增大,
∴⋅0
∴四边形AMDO面积S的最大值为274.
【解析】(1)根据题意求出M,N,B坐标,再用待定系数法求函数解析式;
(2)设D点坐标为(t,t2+2t−3),然后求出点C,A坐标,由S=S△AOM+S△DOM求出S关于t的解析式,再由函数的性质和t的范围求最值.
本题考查抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,关键是求出函数解析式,由函数的性质求最值.组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
25≤x<30
4
第2组
30≤x<35
8
第3组
35≤x<40
16
第4组
40≤x<45
a
第5组
45≤x<50
10