2023-2024学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列y关于x的函数中，不是二次函数的是( )
A. y=2x2+3xB. y=1x2+3x2+5x
C. y=−2(x+2)(x+1)−x2D. y=(m2+1)x2+1
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则sinA的值为( )
A. 32B. 33C. 3D. 12
3.已知点C把线段AB黄金分割，且ACA. AC2=CB⋅ABB. CB2=AC⋅ABC. ACAB= 5−12D. ABAC=3− 52
4.下列四个数，不能组成比例的是( )
A. 2，6，4，12B. 12，2，3，13
C. 0.2，25，2.5，1.2D. 4.5，2.5，5，9
5.已知反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知反比例函数y=−k2−2x的图象上有三个点：A(2,y1)、B(3,y2)、C(−1,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y1>y2>y3
7.如图，梯形ABCD中，AB/​/CD/​/EF，若AB=10，CD=3，EF=5，则CF：FB等于( )
A. 2：7B. 5：7C. 3：7D. 2：5
8.由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=( )
A. 32
B. 33
C. 12
D. 13
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
根据表格可知，下列说法中，正确的是( )
A. 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方
B. 二次函数y=ax2+bx+c中，y的最大值是−2
C. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2
D. 当x<3时，y随x的增大而增大
10.如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，A(4,0)，∠AOC=60°，直线l由开始与y轴重合的位置，以每秒1个单位长度的速度向右平移，设经过t(0≤t≤6)秒后，菱形与直线l的左侧公共部分部分的面积为s，则s与点P运动的时间t(秒)之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了.在图②中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压______ cm．
12.已知α、β均为锐角，且满足|sinα−12|+ tanβ−1=0，则α+β= ．
13.已知点A(−1,−2)在反比例函数y=kx的图象上，则当y<−2时，x的取值范围是______ ．
14.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
(1)若EF=3cm，AE+FC=11cm，则BE的长是______ cm．
(2)若DGGH=54，则tan∠DAH的值是______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：−2−1tan60°+cs30°−|12− 3|−(π−2023)02．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD=3，BD=2，求CD的长．
17.(本小题8分)
如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−2,2)、B(−4,0)、C(−4,−4)．
(1)在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(3)若△ABC内部一点M的坐标为(a,b)，则点M的对应点M′的坐标是______ ．
18.(本小题10分)
如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=x−2与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为(3,m)和(−1,n)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式x−2>kx的解集；
(3)点P为反比例函数y=kx图象的任意一点，若S△POC=3S△AOC，求点P的坐标．
19.(本小题10分)
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空，20分钟后到达B处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点C，在B处测得着火点C的俯角为30°，求热气球升空点A与着火点C的距离.(结果精确到1米， 2≈1.414)
20.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE/​/BC，点F在边AB上，BC2=BF⋅BA，CF与DE相交于点G．
(1)求证：△ABC∽△GDF；
(2)当点E为AC的中点时，求证：2EGDG=AFDF．
21.(本小题10分)
为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(个)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y=−10x+1200．
(1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润=销售额−成本)；
(2)该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题12分)
如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头(视为点A)的高度(喷水头距喷水装置底部的距离)是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线.当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米.以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；
(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．
①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1−y2的最大值(斜坡可视作直线OM)；
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移(即抛物线向左)多少米？
23.(本小题14分)
如图1、图2，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点M，N分别在AB，BC上，且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB−BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在边AC上随点P移动，且始终保持∠APQ=∠B．

(1)若点P在MB上．
①求证：APAB=AQAC；
②当PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长．
(2)设点P移动的路程为x．
①当x=5时，求CQ的长；
②当PQ与△ABC的边平行时，请直接写出x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、y=2x2+3x，是二次函数，故A不符合题意；
B、y=1x2+3x2+5x，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=2(x+2)(x+1)−x2=x2+6x+4，二次函数，故C不符合题意；
D、y=(m2+1)x2+1，是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次函数的一般形式：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，
根据三角形内角和定理，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴sinA=sin30°=12．
故选：D．
根据三角形内角和定理得出∠A，然后根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理及特殊角的三角函数值，比较简单．
3.【答案】B
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且CB>AC，
∴ACBC=BCAB，
∴CB2=AC⋅AB．
故选：B．
根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比，从而得出答案．
本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
4.【答案】C
【解析】解：A、2，6，4，12可以组成比例：2：6=4：12，故不符合题意；
B、12，2，3，13可以组成比例：3：12=2：13，故不符合题意；
C、0.2，25，2.5，1.2不可以组成比例，故符合题意；
D、4.5，2.5，5，9可以组成比例：4.5：9=2.5：5，故不符合题意．
故选：C．
根据比例的意义进行解题即可．
本题考查比例的意义，掌握比例的意义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵一次函数函数y=−x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b>0，反比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k>0，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2>0，
∵反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象有两个交点，
∴方程kx=−x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4k>0，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2>0，Δ=b2−4k+4>0，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象与x轴有两个交点．
故选：B．
根据反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象，可知k>0，b>0，即可判断函数y=x2−bx+k−1的大致图象．
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
6.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=−k2−2x，−k2−2<0，
∴反比例函数y=−k2−2x的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵反比例函数的图象上有三个点A(2,y1)、B(3,y2)、C(−1,y3)，
∴y3>y2>y1．
故选：A．
根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确反比例函数的性质，运用性质可以比较图象上点的纵坐标的大小．
7.【答案】D
【解析】解：过D作DG/​/BC交AB于G，交EF于H．
则BG=FH=CD=3，
∴EH=EF−FH=2，AG=AB−BG=7，
∵AB/​/EF，
∴EH：AG=2：7=DE：AD=CF：CB，
∴CF：FB=2：5．
故选：D．
过D作DG/​/BC交AB于G，交EF于H，根据平行四边形的性质先求出BG=FH=CD=3，从而得到EH，AG的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出CF：FB的值．
本题考查平行线分线段成比例定理，属于综合题，有一定难度，注意将EF、AB分割计算是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，
∴AE= 3a，EB=2a，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，
∴∠ECB=180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC=AEEB= 3a2a= 32．
故选：A．
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=AEEB，求出AE、EB即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】解：由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点(0,−20)，(3,−2)，(5,−50)，
代入得：−20=c9a+3b+c=−225a+5b+c=−50，
解得：a=−6b=24c=−20，
∴二次函数的表达式为y=−6x2+24x−20=−6(x−2)2+4，
∴顶点坐标为(2,4)，在x轴上方，选项A错误，不符合题意；
最大值为4，选项B错误，不符合题意；
对称轴为直线x=2，选项C正确，符合题意；
当x<2时，y随x的增大而增大，选项D错误，不符合题意．
故选：C．
将表格中的三组数据代入，利用待定系数法确定函数解析式，然后确定顶点坐标及对称轴即可求解．
本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵菱形OABC的顶点O在坐标原点，A(4,0)，∠AOC=60°，
∴OA=OC=AB=BC=4，C(2,2 3)，B(6,2 3)；
①当0≤t≤2时，如图，直线l分别与OC，OA交于点E，F，则OF=t，
在Rt△OEF中，∠EOF=60°，
∴EF= 3OF= 3t，
∴s=12OF⋅EF=12t⋅ 3t= 32t2；
②当2∵C(2,2 3)，
∴PQ=2 3，CP=t−2，
∴s=12(CP+OQ)⋅PQ=12×2 3×(t+t−2)=2 3t−2 3；
③当4在Rt△ANG中，∠NAG=60°，AG=DG−OA=t−4，
则NG= 3AG= 3(t−4)，
∴s=SOCMG−S△ANG=12(CM+OQ)⋅MG−12AG⋅NG=12×2 3(t+t−2)−12(t−4)× 3(t−4)=− 32t2+6 3t−10 3．
故选：A．
先根据菱形OABC的顶点O在坐标原点，A(4,0)，∠AOC=60°，求出OA=OC=AB=BC=4，C(2,2 3)，B(6,2 3)，再分0≤t≤2，2本题考查动点问题的函数图象，关键是数形结合和分类讨论思想的运用．
11.【答案】27
【解析】解：由题意得，AC/​/BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵AO=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=27cm，
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，
故答案为：27．
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
12.【答案】75°
【解析】解：∵|sinα−12|+ tanβ−1=0，
∴sinα−12=0，tanβ−1=0，
∴sinα=12，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出sinα−12=0，tanβ−1=0，再结合特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
13.【答案】1【解析】解：∵点(−1,−2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−1×(−2)=2，
∴函数解析式为y=2x，
∴图象位于一、三象限，如图，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
当y=2时，x=−1，
则当y<−2时，1故答案为：1根据点(−1,−2)在反比例函数y=kx的图象上，求出k的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，求出反比例函数解析式是解题的关键．
14.【答案】4 3
【解析】解：(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，
∵AE+FC=11cm，
∴BE+BF=11cm，
即BE+BE+EF=11cm，
即2BE+EF=11cm，
∵EF=3cm，
∴2BE+3cm=11cm，
∴BE=4cm，
故答案为：4；
(2)设AH=x，
∵DGGH=54，
∴可设DG=5k，GH=4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=FG=GH=4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°，
∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，
∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°，
∵四边形ABCD对角互补，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠CDG，
∴tan∠DAH=tan∠CDG，
∴DHAH=CGDG，即5k+4kx=x+12k5k，
整理得：x2+12kx−45k2=0，
解得x1=3k，x2=−15k(舍去)，
∴tan∠DAH=DHAH=9k3k=3．
故答案为：3．
(1)将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC=11cm，即可求出BE的长；
(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG，从而得到tan∠DAH=tan∠CDG，设AH=x，DG=5k，GH=4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
15.【答案】解：−2−1tan60°+cs30°−|12− 3|−(π−2023)02
=−12× 3+ 32−( 3−12)−12
=− 32+ 32− 3+12−12
=− 3．
【解析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂是解题的关键．
16.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD．
(2)解：∵△ACD∽△CBD，
∴ADCD=CDBD，
∴CD2=AD⋅BD，
∵AD=3，BD=2，
∴CD2=6，
∵CD>0，
∴CD= 6．
【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
(2)利用相似三角形的性质证明CD2=AD⋅DB，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
17.【答案】(−a2,−b2)
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)由图可得，A′(1,−1)，B′(2,0)，C′(2,2)．
(3)由题意可得，点M′的坐标为(−a2,−b2).
故答案为：(−a2,−b2).
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M′的横纵坐标．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)把点A(3,m)代入直线y=x−2得：m=1，
∴点A的坐标为：A(3,1)，
∵反比例函数y=kx的图象过点A，
∴k=3×1=3，
即反比例函数的解析式为y=3x，
(2)由(1)得：点A的坐标为：A(3,1)，
同理可求，点B的坐标为：B(−1,−3)，
∴不等式x−2>kx的解集为−13；
(3)把y=0代入y=x−2得：x=2，
即点C的坐标为：C(2,0)，
∴S△AOC=12×OC×1=12×2×1=1，
∵S△POC=3S△AOC，
∴S△POC=12×OC×|yP|=12×2×|yP|=3，
∴|yP|=3，
当点P的纵坐标为3时，则3=3x，解得x=1，
当点P的纵坐标为−3时，则−3=3x，解得x=−1，
∴点P的坐标为(1,3)或(−1,−3)．
【解析】(1)先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
(2)求出点B的坐标，根据图象求解即可；
(3)根据图象求出S△AOC，再根据S△POC=3S△AOC求出S△POC，即可求出．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键．
19.【答案】解：作AD⊥BC垂足为D，AB=20×25=500，

∵BE/​/AC，
∴∠C=∠EBC=30°，
∠ABD=90°−30°−15°=45°，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB，AD=ABsin∠ABD=500×sin45°=500× 22=250 2，
AC=2AD=500 2≈500×1.414=707(米)，
答：热气球升空点A与着火点C的距离是707米．
【解析】在RT△ABD中求出AD，再在RT△ADC中求出AC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：(1)∵BC2=BF⋅BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE/​/BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC．
(2)作AH//BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE/​/BC，
∴AH//DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH//DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴AHDG=AFDF，
∴2EGDG=AFDF．
【解析】(1)由BC2=BF⋅BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE/​/BC可判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
(2)作AH//BC交CF的延长线于H，如图，易得AH//DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH//DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得AHDG=AFDF，然后利用等线段代换即可得到2EGDG=AFDF．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
21.【答案】解：(1)由题意可得：S=(x−40)(−10x+1200)=−10x2+1600x−48000；
(2)S=−10x2+1600x−48000
=−10(x−80)2+16000
依题意：x≤40×1.9，
即x≤76，
对于二次函数S=−10(x−80)2+16000，
当x≤80时，s随x的增大而增大，
故当x最大为76时，s最大为15840元．
【解析】(1)根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
(2)将得到的二次函数配方后即可确定最大利润，再结合二次函数增减性得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)．
22.【答案】解：(1)由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为y=a(x−8)2+5，
将点(0,1.8)代入可得a=−120，
∴抛物线为y=−120(x−8)2+5，
(2)①由题可知M点坐标为(10,2)，
设直线OA的解析式为y=kx，
把点M的坐标(10,2)代入得10k=2，
解得 k=15，
则直线OM为y=15x，
∴y1−y2=−120(x−8)2+5−15x=−x220+3x5+95=−120(x−6)2+185，
∴y1−y2的最大值为185．
②设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为y=−120(x−8+m)2+5，
将点N(10,3.75)代入得：3.75=−120(10−8+m)2+5，
解得m=3或m=−7(舍去)，
∴喷射架应向后移动3米．
【解析】(1)根据当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，设设水流形成的抛物线为y=a(x−8)2+5，代入点(0,1.8)求出二次函数的解析式，即可求解；
(2)①先求出斜坡的高度y2的解析式，列出y1−y2，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
②设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点N的坐标即可求解．
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
23.【答案】(1)①证明：∵点P在MB上，∠APQ=∠B，
∴PQ/​/BC，
∴APAB=AQAC；
②解：∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分，
∴S△APQS四边形PBCQ=45，
∴S△APQS△ABC=49，
∵PQ/​/BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴APAB=23．
∵AB=5，
∴AP=103．
∵AM=2，
∴MP=AP−AM=43；
(2)解：①当x=5时，点P在BC上，且BP=2+5−5=2，
∴PC=BC−BP=6，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠CPQ，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABPC=BPCQ，即56=2CQ，
∴CQ=125；
②∵点Q在AC上，当PQ/​/BC时，
∴0≤x<3；
当PQ/​/AB时，∠BAP=∠APQ，
.∵AB=AC，
∴∠B=∠C
又∵∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠C，
∴△ABP∽△CBA，
∴ABBC=BPAB，即58=BP5，
∴BP=258，
∴x=3+258=498．
综上所述：0≤x<3或x=498．
【解析】(1)①根据∠APQ=∠B，∠A=∠A，可得两直线平行即可得到证明；
②根据相似比与面积比之间的关系即可得到答案；
(2)①根据∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，∠APQ=∠B得到∠BAP=∠CPQ，再AB=AC得到∠B=∠C，即可得到三角形相似即可得到答案；
②根据题意易得△ABP∽△CBA，即可得到答案．
本题考查相似三角形性质和判定及平行线截线段对应线段成比例，解题的关键是根据题意找到对应的角相等判定三角形相似．x
…
−5
−4
0
3
5
7
9
…
y
…
−290
−212
−20
−2
−50
−146
−290
…