2023-2024学年安徽省亳州市部分学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省亳州市部分学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=(x−3)2+4的顶点坐标是( )
A. (−3,4)B. (−3,−4)C. (3,4)D. (3,−4)
2.计算2sin60°的值为( )
A. 3B. 32C. 1D. 12
3.若反比例函数y=k+1x的图象经过点(1,−2)，则k的值是( )
A. 3B. −3C. −1D. 2
4.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为( )
A. 4：7
B. 4：3
C. 3：4
D. 16：9
5.若α是锐角，tanα=1，则csα的值是( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
6.已知点D，E分别在△ABC边BA，CA的延长线上，下列条件中一定能判断DE/​/BC的是( )
A. AD：AB=DE：BCB. AD：AB=AE：EC
C. AD：AB=AE：ACD. AD：AC=AE：AB
7.如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=50米，则AB的长等于米．( )
A. 50sin35∘−50cs35∘
B. 50sin35∘+50cs35∘
C. 50(cs35°−sin35°)
D. 50(cs35°+sin35°)
8.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象，其对称轴为直线x=−1，且经过点(0,1)，则下列结论错误的是( )
A. a+b+c<0
B. abc>0
C. 4a+2b+c<0
D. c−a<1
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D，使AD=AB，连接BD.根据此图形可求得tan15°的值是( )
A. 2− 3B. 2+ 3C. 36D. 32
10.如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC=1，则△AGH的面积为( )
A. 310
B. 110
C. 320
D. 14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l： 3，堤高AC=5m，则坡面BC的长度是______．
12.如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC= ______ ．
13.如图，反比例函数y=−2x(x>0)的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为______ ．
14.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
(1)若BE= 5，则正方形CEFG的面积为______ ；
(2)连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°．
16.(本小题8分)
已知实数x，y，z满足x3=y4=z5，试求2x+y−z3x−2y+z的值．
17.(本小题8分)
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．

(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
19.(本小题10分)
已知反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若a>0，此函数的图象经过第一象限的两点(a+5,y1)，(2a+1,y2)，且y220.(本小题10分)
如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB的高度.小亮站立在距离楼底部94米的D点处，操控无人机从地面F点，竖直起飞到正上方60米E点处时，测得楼AB的顶端A的俯角为30°，小亮的眼睛点C看无人机的仰角为45°(点B、F、D三点在同一直线上).求楼AB的高度.(参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米， 3≈1.7)
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+ax+b交x轴于A(1,0)，B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
(1)求抛物线y=−x2+ax+b的表达式；
(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．
22.(本小题12分)
如图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线l1：y=−112x2+76x+1的一部分.小球在距离点A3米的点C处抛出，落在山坡的点D处(点D在小山坡AB的坡顶的右侧)，小球的运动轨迹为抛物线l2：y=−18x2+bx+c的一部分．
(1)求小山坡AB的坡顶高度：
(2)若测得点D的高度为3米，求抛物线l2的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)．
23.(本小题14分)
如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAD交CD于E，点M在AC上，且AM=AD，连接DM并延长，分别交AE，BC于点G，F．
(1)求证：CF2=GE⋅AE；
(2)求FMMG的值；
(3)求tan∠CMF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵y=(x−3)2+4，
∴该函数的顶点坐标是(3,4)，
故选：C．
根据函数的解析式可以直接写出函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标．
2.【答案】A
【解析】解：2sin60°=2× 32= 3．
故选：A．
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，得−2=k+1，
解得，k=−3．
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将(1,−2)代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
4.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB/​/DE，
∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3，
∴AB：DE=4：3，
∵AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AO：DO=AB：DE=4：3，
故选：B．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB/​/DE，根据相似三角形的性质求出AB：DE=4：3，再根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵tanα=1，
∴α=45°，
∴cs45°= 22．
故选：B．
判断出α=45°可得结论．
本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是求出α的值．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠EAD=∠CAB，
∴AEAC=ADAB，
∴ED/​/BC，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠BCD=35°，BC=50米，
∴BD=BC⋅sin35°≈50sin35°(米)，
CD=BC⋅cs45°=50cs35°(米)，
在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴AD=CD⋅tan45°=CD=50cs35°(米)，
∴AB=AD+BD=50cs35°+50sin35°=50(cs35°+sin35°)米，
故选：D．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1，与y轴交于(0,1)点，
∴a<0，−b2a=−1，c=1，
∴b=2a<0，
∴abc>0，故B选项结合正确，不合题意；
由图可知，当x=1时y<0，
∴a+b+c<0，故A选项结合正确，不合题意；
由图可知，当x=2时y<0，
∴4a+2b+c<0，故C选项结合正确，不合题意；
∵a<0，c=1，
∴c−a>1，故D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据x=1时y<0确定相关式子的符号．
本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设AB=AD=2x，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，∠C=90°，AB=2x，
∴BC=12AB=x，AC= 3BC= 3x，
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD=12∠BAC=15°，
∴tanD=BCCD=x2x+ 3x=2− 3，即tan15°=2− 3；
故选：A．
设AB=AD=2x，解直角三角形求出BC，AC，由等腰三角形的性质和三角函数定义即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过F作PF//BC，交AE于P，过H作HQ//BC，交AD于Q，
∴AFFC=APPE，
∵BF是AC边的中线，
∴AF=FC，
∴AP=PE，
∴CE=2PF，
∵D、E是BC边的三等分点，
∴BD=DE=EC，
∴BE=4FP，
∵FP//BE，
∴△PFH∽△EBH，
∴PHHE=FHBH=PFBE=14，
∴AHHE=64=32，
∵HQ//BE，
∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD，
∴HQDE=AHAE=35，
∴HQBD=HGBG=35，
∴FH：HG：GB=2：3：5，
∵AF=FC，
∴S△ABF=12S△ABC=12，
∴S△AGH=310S△ABF=310×12=320．
故选：C．
如图，过F作PF//BC，交AE于P，过H作HQ//BC，交AD于Q，先证明FH：HG：GB=2：3：5，再结合三角形的面积关系可得答案．
本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11.【答案】10cm
【解析】解：Rt△ABC中，AC=5m，tanB=1： 3；
∴AB=AC÷tanB=5 3m，
∴BC= AC2+AB2=5 52+(5 3)2=10m．
答：坡面BC的长度是10m，
故答案为：10cm．
在Rt△ABC中，已知了坡面BC的坡比以及铅直高度AC的值，通过解直角三角形即可求出斜面BC的长．
此题考查的是解直角三角形的应用，关键是根据已知条件求出AB．
12.【答案】 55
【解析】解：由勾股定理得到：CH= 12+12= 2，BC= 12+32= 10，
∵∠BHC=90°，
∴sin∠ABC=HCBC= 2 10= 55．
故答案为： 55．
由勾股定理求出CH、BC的长，由锐角的正弦定义即可求出sin∠ABC．
本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．
13.【答案】1
【解析】解：连接OP，
∵PA⊥x轴，
∴PA//OB，
∴S△PAB=S△PAO=12|k|=12×|−2|=1．
故答案为：1．
连接OP，根据三角形面积公式得到S△PAB=S△PAO，根据比例系数k的几何意义计算即可．
本题主要考查反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，熟练掌握比例系数k的几何意义是解题的关键．
14.【答案】5 32
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠A=∠D=90°，
∵BE= 5，
∴AE= BE2−AB2= ( 5)2−22=1，
∴DE=AD−AE=2−1=1，
∴EC2=DE2+CD2=12+22=5，
∴正方形CEFG的面积=EC2=5．
故答案为5；
(2)连接DF，DG.设DE=x，则CE= 4+x2，
∵S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，
∴S△DFG=12(x2+4)−12×x×2
=12x2−x+2
=12(x−1)2+32，
∵12>0，
∴x=1时，△DFG的面积的最小值为32．
故答案为32．
(1)利用勾股定理求出EC2即可解决问题；
(2)设DE=x，则CE= 4+x2，根据S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，求出△DFG面积的函数表达式，配方求最值即可．
本题主要考查了利用配方法求二次函数的最值，根据根据S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，求出△DFG面积的函数表达式是解题的关键．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°
=2× 32− 3+ 22× 22
= 3− 3+12
=12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：设x3=y4=z5=k(k≠0)，
∴x=3k，y=4k，z=5k，
∴2x+y−z3x−2y+z
=6k+4k−5k9k−8k+5k
=5k6k
=56．
【解析】设x3=y4=z5=k(k≠0)，则x=3k，y=4k，z=5k，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
17.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y=(x−20)[400−20(x−30)]
=(x−20)(1000−20x)
=−20x2+1400x−20000
=−20(x−35)2+4500，
∵−20<0，
∴x=35时，y有最大值．
所以，销售单价为35元，才能在一个月内获得最大利润．
【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
18.【答案】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求．

(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
(2)由(1)及位似的性质进行作图即可．
本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限，
∴k−4>0，
解得：k>4．
∴k的取值范围是：k>4．
(2)∵反比例函数图象过第一象限的两点(a+5,y1)(2a+1,y2)，且y2∴a+5<2a+1，
解得：a>4，
又∵a>0，
∴a的取值范围是：a>4．
【解析】(1)根据反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限可得：k−4>0，解此不等式可得k的取值范围；
(2)根据反比例函数的性质得a+5>2a+1，解此不等式求出a的取值范围，再结合a>0即可得出a的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
20.【答案】解：如图：过点C作CG⊥EF，垂足为G，延长BA交HE于点I，

由题意得：BI⊥EH，GF=CD=1.7米，CG=DF，EI=BF，EF=IB=60米，BD=94米，
∴EG=EF−FG=60−1.7=58.3(米)，
在Rt△EGC中，∠ECG=45°，
∴CG=EGtan45∘=58.3(米)，
∴CG=DF=58.3米，
∴IE=BF=BD−DF=94−58.3=35.7(米)，
在Rt△AIE中，∠AEI=30°，
∴AI=IE⋅tan30°=35.7× 33=11.9 3(米)，
∴AB=IB−IA=60−11.9 3≈39.77(米)，
∴楼AB的高度约为39.77米．
【解析】过点C作CG⊥EF，垂足为G，延长BA交HE于点I，根据题意可得：BI⊥EH，GF=CD=1.7米，CG=DF，EI=BF，EF=IB=60米，BD=94米，从而可得EG=58.3米，然后在Rt△EGC中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而求出IE的长，再在Rt△AIE中，利用锐角三角函数的定义求出AI的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将点A、B代入抛物线y=−x2+ax+b可得，
0=−12+a+b0=−32+3a+b，
解得，a=4，b=−3，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+4x−3；
(2)∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标xP=0+32=32，
∵点P在抛物线y=−x2+4x−3上，
∴yP=−(32)2+4×32−3=34，
∴点P的坐标为(32,34)；
(3)∵点P的坐标为(32,34)，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×34−0=32，
∴点C的坐标为(0,32)，
∴BC= (32)2+32=3 52，
∴sin∠OCB=OBBC=33 52=2 55．
【解析】(1)将点A、B代入抛物线y=−x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
(2)由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入(1)中抛物线解析式，易得P点坐标；
(3)由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=OBBC可得结果．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)y=−112x2+76x+1=−112(x−7)2+6112，
∵−112<0，
∴当x=7时，y有最大值，最大值为6112，
∴小山坡AB的坡顶高度为6112米；
(2)∵点D的高度为3米，
∴点D的纵坐标为3，
把y=3代入l1：y=−112x2+76x+1，
得−112x2+76x+1=3，
解得x1=2，x2=12，
∵点D在小山坡AB的坡顶的右侧，
∴x=12，
即点D的坐标为(12,3)．
令x=0，则y=1，
∴OA=1米，
∴OC=OA+AC=1+3=4(米)，
即点C的坐标为(0,4)，
将C，D两点的坐标代入y=−18x2+bx+c，
得−18×122+12b+c=3c=4，
解得b=1712c=4，
∴抛物线l2的函数表达式为y=−18x2+1712x+4．
【解析】(1)将l1：y=−112x2+76x+1化成顶点式即可求解；
(2)把y=3代入l1：y=−112x2+76x+1可求出点D的坐标，根据“小球在距离点A3米的点C处抛出”可求出点C的坐标，即可求解．
本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法以及将一般式化成顶点式是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD=AM，AE平分∠CAD，
∴AG⊥DM，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG+∠CDF=90°，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DEG=∠AED，
∴△EDG∽△EAD，
∴DEAE=EGDE，
∴DE2=GE⋅AE，
∵∠DAE=∠CDF，AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF，
∴CF2=GE⋅AE；
(2)解：设正方形ABCD的边长为a，则AC= a2+a2= 2a，
AC= a2+a2= 2a，
∵AM=AD=a，
∴CM=( 2−1)a，
∵正方形ABCD，
∴AD/​/BC，则∠CFM=∠ADM，∠FCM=∠DAM，
∴△CFM∽△ADM，
∴FMDM=CMAM=( 2−1)aa= 2−1，
∵AD=AM，AE平分∠CAD，
∴DG=MG=12DM，
∴FMMG=FM12DM=2 2−2；
(3)解：∵AD=AM，
∴∠ADM=∠AMD，
∵AD/​/BC，
∴∠ADM=∠CFD，
∴∠AMD=∠CFD，
∵∠AMD=∠CMF，
∴∠CMF=∠CFD，
设正方形ABCD的边长为a，由(2)得△CFM∽△ADM，
∴CFAD=CMAM= 2−1，
∴CFAD=CMAM= 2−1，
∴CF=( 2−1)a，
在Rt△CDF中，tan∠CFD=CDCF=a( 2−1)a=1 2−1= 2+1，
tan∠CFD=CDCF=a( 2−1)a=1 2−1= 2+1，
∴tan∠CMF= 2+1．
【解析】(1)由AD=AM，AE平分∠CAD，AG⊥DM，得再结合正方形的性质可证△EDG∽△EAD，得DEAE=EGDE，再证△ADE≌△DCF(ASA)，得DE=CF，进而即可证明结论；
(2)设正方形ABCD的边长为a，则AC= 2a，AM=AD=a，得CM=( 2−1)a，结合正方形的性质可证△CFM∽△ADM，得FMDM=CMAM=( 2−1)aa= 2−1，再由等腰三角形的性质得DG=MG=12DM，进而即可求解；
(3)由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得∠CMF=∠CFD，设正方形ABCD的边长为a，由(2)得△CFM∽△ADM，得CFAD=CMAM= 2−1，则CF=( 2−1)a，在Rt△CDF中，可知tan∠CFD=CDCF，进而即可求解．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．