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初中数学人教版七年级下册7.1.2平面直角坐标系同步测试题
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这是一份初中数学人教版七年级下册7.1.2平面直角坐标系同步测试题，共40页。试卷主要包含了已知A2＝0等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．
(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；
(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，
①若，请直接写出与之间的等量关系：______；
②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．
2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称，两点为“等距点”例如：如图中的，两点，有，所以、两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①则点到、轴的距离中的最大值______；
②在点，，中，为点的“等距点”的是______；
③点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，且，两点为“等距点”，求的值．
3．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0，D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16
(1)求C点坐标；
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数；
(3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
5．在平面直角坐标系中，点A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)平移线段OA到DE，点O，A的对应点分别为D，E．
①若点E在y轴上，且点D到直线AB，AC的距离相等，求点E的坐标；
②若点E在x轴上，直线OD，AB相交于点G，且＝，请画图并求点E的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过点C作轴于B．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB与∠BDO，求∠AED的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得△ACP和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标满足：，将线段向右平移到的位置（点A与D对应，点B与C对应）．
(1)求点A、B的坐标；
(2)①若原点O恰好在线段上，则四边形的面积=___________；
②、分别表示三角形、三角形的面积，若，则长为___________；
(3)点是四边形所在平面内一点，且三角形的面积为4，求m，n之间的数量关系．
8．如图1，点A(a，0)、B(b，0)，其中a、b满足（3a+b）20，，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
(1)连接AD交OC于一点F，求OF；
(2)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
9．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）点C为x轴负半轴上一点满足S△ABC＝15．
①如图1，平移直线AB经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点F（m，10）满足S△ACF＝10，求m．
（3）如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足HB＝8，GD＝6．当点A平移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系xy中，点A（a，0）B（b，0），C（b，c）CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D．
（1）若|a+2|++（c﹣3）2＝0，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A的直线AM交四边形ABCD的边CD于点M，且直线AM分四边形ABCD所成的两部分面积之比为1：4，求点M的坐标；
（3）过点A的直线AM交四边形ABCD的边于点M，若直线AM交y轴于点E，且EB平分∠MEO，试探究∠DME，∠EBO，∠CDM之间的数量关系并说明理由．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点P1与点P2的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)已知点是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
12．对于平面直角坐标系xOy中的不同两点，，给出如下定义：点A与点B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离．
(1)已知点，则______；
(2)已知点，，且，求t的值；
(3)如图2，已知点，，点P是线段FG上的一个动点，请判断是否是一个定值______（填“是”或“否”）；
(4)如果点Q满足，请在图3中画出所有符合条件的点Q组成的图形．
13．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
(1)在点A（1，2），B（−1，1），C（−1，−2），D（2，−4）中，线段OP的“单位面积点”是______；
(2)已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t>0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是______；
(3)已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
难点特训（二）和平面直角坐标系有关的压轴大题
1．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．
(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；
(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，
①若，请直接写出与之间的等量关系：______；
②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．
【答案】(1)
(2)①；②，见解析
(3)或
【分析】（1）过点作，可得轴，则，，结合，可得，即可得出答案．
（2）①过点作轴，可得轴，则，，结合已知条件与邻补角的定义可得，根据，可得，结合，可得出答案．
②由轴，可得，，结合已知条件与邻补角的定义可得，最后由，可得出答案．
（3）当点在上时，或当点在线段的延长线上时，分别利用平行线的性质可得出答案．
（1）
解：过点作，
，，
轴，
轴，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）
解：①过点作轴，
轴，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得．
故答案为：．
．
理由如下：
轴，
，，
，，
，
，
．
（3）
解：当点在上时，过点作，
，
，，
，
．
当点在线段的延长线上时，
，
，，
，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角的计算及坐标与图形，能够添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称，两点为“等距点”例如：如图中的，两点，有，所以、两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①则点到、轴的距离中的最大值______；
②在点，，中，为点的“等距点”的是______；
③点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，且，两点为“等距点”，求的值．
【答案】(1)①3；②E，F；③
(2)1
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）根据“等距点”概念对4k- 3分类讨论， 进行解答即可．
（1）
解：点到、轴的距离中最大值为，
故答案为：；
∵，，，
∴，，，
∵点到、轴的距离中最大值为，即，
与点的“等距点”的是，，
故答案为：，．
当点坐标中到、轴距离其中至少有一个为的点有、、，这些点中与符合“等距点”的是．
故答案为：；
（2）
解：，两点为“等距点”，
当时，
则，即，
或，
解得舍去或．
根据“等距点”的定义知，符合题意．
即的值是．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”的定义是解题的关键．
3．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0，D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，；（3）
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，得出点A，C的坐标，再运用中点公式求出点D的坐标；
（2）根据题意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；
（3）过点H作HP∥AC交x轴于点P，先证明OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．
【详解】解：（1），
，，
，，
，，
设，
为线段的中点．
，，
，
故答案为：，，；
（2）存在，．
由条件可知：点从点运动到点需要时间为2秒，点从点运动到点需要时间2秒，
，点在线段上，
，，，，
，
，
，
，
．
（3）如图2，，，，
，
，
，
，
如图，过点作HP∥AC交轴于点，
则，PH∥OG，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形面积，非负数的性质，中点坐标公式等，是一道三角形综合题，解题关键是学会添加辅助线，运用转化的思想思考问题．
4．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16
(1)求C点坐标；
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数；
(3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变化，
【分析】（1）由点，的坐标求出和的长，根据梯形面积公式，从而求得的长，进而求得点坐标；
（2）可设，从而表示出，，，进而表示出，，进而根据三角形内角和定理得出结果；
（3）连接，并延长至，根据三角形内角和定理推论，可得出，根据三角形内角和定理推出，进而得出，再根据三角形内角和求得结果．
（1）
解：由题意得：，，
由得，
，
，
，
；
（2）
解：设，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，
；
（3）
解：如图，
点在运动过程中，的大小不变化，理由如下：
连接，并延长至，
是的外角，
，
同理可得，
，
，
即，
轴，，
，，
，，
，
，
，
平分，平分；
，，
，
，
，
，
即原．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和线段长之间关系，角平分线的定义，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
5．在平面直角坐标系中，点A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)平移线段OA到DE，点O，A的对应点分别为D，E．
①若点E在y轴上，且点D到直线AB，AC的距离相等，求点E的坐标；
②若点E在x轴上，直线OD，AB相交于点G，且＝，请画图并求点E的坐标．
【答案】(1)B（2，0），C（0，5）；
(2)①（0，6）或（0，14）；②图见解析，（0，0）或（8，0）．
【分析】（1）根据点A的坐标，可得结论；
（2）①分情况判断出点D的坐标，利用平移变换的性质可得对应的点E的坐标；
③分两种情形，分别画出图形，先求出点D的坐标，进而求解即可．
（1）
解：∵A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴B（2，0），C（0，5）；
（2）
①如图1中，当点D在AC的下方时．
∵点E在y轴上，点D到AB，AC的距离相等，
∴D（−2，1），
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（0，6）；
如图1−1中，当点D在AC的上方时，同理可得D（−2，9），此时E（0，14），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，6）或（0，14）；
②如图2中，
∵＝，
∴OG＝OD，
∵点G的横坐标为2，
∴点D的横坐标为−2，
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（0，0）；
如图3中，过点D作DH⊥OE于点H．
∵GB∥DH，
∴BH：OB＝DG：OG＝2，
∵OB＝2，
∴BH＝4，
∴D（6，−5），
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（8，0），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
6．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过点C作轴于B．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB与∠BDO，求∠AED的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得△ACP和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)∠AED =45°
(3)存在，P（0，-1）或（0，3）
【分析】（1）根据非负数的性质易得a=-2，b=2，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过E作EFAC，根据平行线性质得BDACEF，且∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可；
（3）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，利用S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t．
（1）
解：∵，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面积=×2×4=4；
（2）
解：∵CBy轴，BDAC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EFAC，如图①，
∵BDAC，
∴BDACEF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）=45°；
（3）
解：①当P在y轴正半轴上时，如图②，
设P（0，t），
过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，
∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，
∴-t-（t-2）=4，解得t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图③
∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4
∴+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质，掌握平行线的性质与判定．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标满足：，将线段向右平移到的位置（点A与D对应，点B与C对应）．
(1)求点A、B的坐标；
(2)①若原点O恰好在线段上，则四边形的面积=___________；
②、分别表示三角形、三角形的面积，若，则长为___________；
(3)点是四边形所在平面内一点，且三角形的面积为4，求m，n之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)①3；②5
(3)或
【分析】（1）根据，满足：，即可求、两点的坐标；
（2）①根据的面积的面积，可得结论；
②如图2，作辅助线，根据，列式可得的长；
（3）分两种情况：①点在的右侧，②点在的左侧，根据三角形的面积列等式可得结论．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、两点的坐标为：，；
（2）解：①如图1，连接，
四边形是平行四边形，
；
故答案为：3；
②如图2，过点作，连接，，，，，
，
，
，，，
，
，
，
；
故答案为：5；
（3）解：分两种情况：
①当点在的右侧时，如图3，过点作于，交于，
，
，
，
，
，
；
同理，当点在的左侧时，．
综上，，之间的数量关系为或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平移的性质，非负数的性质，三角形和四边形的面积等知识，解决本题的关键是掌握平移的性质．
8．如图1，点A(a，0)、B(b，0)，其中a、b满足（3a+b）20，，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
(1)连接AD交OC于一点F，求OF；
(2)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为3
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用面积法求解；
（2）结论：S△FMD﹣S△OFN的值是定值．分两种情形：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．分别求解即可．
（1）
∵（3a+b）20，
又∵（3a+b）2≥0，b﹣a﹣4≥0，
∴，
解得，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝CD＝4，
∵OC＝2，CD∥AB，
∴D（4，2），
∵S△ACD＝S△ACF+S△CDF，
∴CO•CDCF•AOCF•CD，
即4×2CF×1CF×4，
∴CF，
∴OF＝2；
（2）
结论：S△FMD﹣S△OFN的值是定值．
理由：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．
设运动时间为t秒，
由题意：OM＝t，BN＝2t，
∴S△OMDt×4＝2t，S△DBN2t×2＝2t，
∴S△OMD＝S△BND，
∴S四边形DMON＝S△OBD3×2＝3，
∵S△GMD﹣S△OFN＝S四边形DMON＝3＝定值．
如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．
∵S△GMD﹣S△OGN＝S△ODM﹣S△ODN＝S△DBN﹣S△ODN＝S△OBD＝3＝定值，
综上所述，S△GMD﹣S△OGN的值是定值，定值为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，非负数的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
9．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）点C为x轴负半轴上一点满足S△ABC＝15．
①如图1，平移直线AB经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点F（m，10）满足S△ACF＝10，求m．
（3）如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足HB＝8，GD＝6．当点A平移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）A（0，5），B（4，0）；（2）①E（0，﹣）；②﹣2或6；（3）24．
【分析】（1）根据二次根式和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；②延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，根据三角形面积公式解答即可；
（3）平移GH到DM，连接HM，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】解：（1）∵，且，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝5，b＝4，
∴A（0，5），B（4，0）；
（2）①连接BE，如图1，
∵，
∴BC＝6，
∴C（﹣2，0），
∵AB∥CE，
∴S△ABC＝S△ABE，
∴，
∴AE＝，
∴OE＝，
∴E（0，﹣）；
②∵F（m，10），
∴点F在过点G（0，10）且平行于x轴的直线l上，
延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，则M（a，0），如图2，
∵S△HCM＝S△ACO+S梯形AOMH，
∴，
解得：a＝2，
∴H（2，10），
∵S△AFC＝S△CFH﹣S△AFH，
∴，
∴FH＝4，
∵H（2，10），
∴F（﹣2，10）或（6，10），
∴m＝﹣2或6；
（3）平移GH到DM，连接HM，则GD∥HM，GD＝HM，如图3，
四边形BDHG的面积＝△BHM的面积，
当BH⊥HM时，△BHM的面积最大，其最大值＝．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xy中，点A（a，0）B（b，0），C（b，c）CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D．
（1）若|a+2|++（c﹣3）2＝0，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A的直线AM交四边形ABCD的边CD于点M，且直线AM分四边形ABCD所成的两部分面积之比为1：4，求点M的坐标；
（3）过点A的直线AM交四边形ABCD的边于点M，若直线AM交y轴于点E，且EB平分∠MEO，试探究∠DME，∠EBO，∠CDM之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）D（0 ,3）；（2）M (；（3）∠DME+2∠EBO-∠CDM=90°，见解析
【分析】（1）根据|a+2|++（c﹣3）2＝0，利用非负性可求得a，b，c的值，再根据垂直的性质即可求出D的坐标；
（2）由梯形的面积公式可求出四边形的面积，再由面积的比值可求出的面积，利用三角形的面积公式即可运算求解；
（3）分类讨论M在边CD上时和M在边CB上时的情况，再通过平行线的性质和角的等量代换即可求解．
【详解】(1) 解：∵｜a＋2｜＋+=0
且 ｜a＋2｜0
∴ ｜a＋2｜=0
∴a＋2 =0，=0，=0
∴a= ，b=3，c=3
∵ CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D
B（b ,0），C（b , c）
∴ B（3 ,0），C（3 , 3）
∴ D（0 ,3）
(2) 解：AB+CD)OD=
当点M在边CD上时，则：1:4
+=
∴ ，
∵=
∴
∴DM=
∵D（0 ,3）
∴M (；
当S△ADM：S四边形ABCD=4：5时，点M不存在；
综上可知，M (；
（3）∠DME+2∠EBO-∠CDM=
理由如下：①当点M在边CD上时，∠CDM=
过点E作EF∥CD
∴ ∠DME=∠MEF
∵ AB ∥CD
∴ EF∥AB
∴ ∠EBO=∠BEF, ∠FEO=－∠EOB=
∴ ∠EBO+∠DME =∠MEB
∵ EB平分∠MEO
∴∠MEB=∠OEB=∠EBO+∠DME
∴∠OEB+∠BEF=∠EBO+∠DME+∠EBO=∠DME+2∠EBO
∴∠FEO=∠DME+2∠EBO
∴∠DME+2∠EBO=
②当点M在边CB上时, 过点E作EF∥CD, M作MN∥CD
则∠CDM=∠DMN
由①可得：∠MEB=∠NME+∠EBO
∠FEO==∠NME+2∠EBO
∵∠NME=∠DME-∠DMN=∠DME-∠CDM
∴ ∠NME+2∠EBO=∠DME-∠CDM+2∠EBO=
∴ ∠DME+2∠EBO-∠CDM=
综上可知, ∠DME+2∠EBO-∠CDM=
【点睛】本题主要考查了图形与坐标结合的综合大题，其中涉及到了几何图形的面积公式，垂直的定义，平行线的性质及判定，角平分线的性质，熟悉掌握各性质，合理作出辅助线是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点P1与点P2的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)已知点是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
【答案】(1)①或；②；
(2)①最小值为：，；②最小值为；E， ．
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为；
（2）①设点C的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标；
②当点F在点处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”最小且，由此列出方程即可求解．
【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为．
∵，
∴，解得或；
∴点B的坐标是或；
故答案是：或；
②设点B的坐标为
∵
∴
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案是：．
（2）解：①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义，若，则点点与点的“非常距离”为知：．即，
由题意可知，点C是直线上的一个动点，点D的坐标是，
∴设点C的坐标为，
∴，解得：，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，
此时；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且，
此时，，
∴，解得：，
∴．
此时，点C的坐标为，“非常距离”的最小值为．
综上，C与点E的“非常距离”的最小值为；相应的点E的坐标为，点C的坐标．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，主要考查了一次函数上点的坐标特征、解一元一次方程等知识点，弄清题意、理解“非常距离”的定义是解题的关键．
12．对于平面直角坐标系xOy中的不同两点，，给出如下定义：点A与点B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离．
(1)已知点，则______；
(2)已知点，，且，求t的值；
(3)如图2，已知点，，点P是线段FG上的一个动点，请判断是否是一个定值______（填“是”或“否”）；
(4)如果点Q满足，请在图3中画出所有符合条件的点Q组成的图形．
【答案】(1)3
(2)±1
(3)是
(4)见解析
【分析】（1）根据折线距离的定义求解即可；
（2）根据折线距离的定义，构建方程求解即可；
（3）如图2中，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N．则四边形PMON是矩形，证明PM+PN=OG=2即可；
（4）根据d（O，Q）=3，画出图形即可．
(1)
解：∵C（-2，-1），
∴d（O，C）=|-2|+|-1|=3，
故答案为：3．
(2)
解：由题意|-2-1|+|t|=4，
∴t=±1；
(3)
解：如图2中，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N．则四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，
∵点F（0，2），G（2，0），
∴OF=OG=2，
∴∠PGN=∠GPN=45°，
∴PN=NG，
∴d（O，P）=|x|+|y|=ON+NG=2，是定值．
故答案为：是；
(4)
解：如图3中，正方形ABCD即为点Q组成的图形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
(1)在点A（1，2），B（−1，1），C（−1，−2），D（2，−4）中，线段OP的“单位面积点”是______；
(2)已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t>0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是______；
(3)已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
【答案】(1)A，C
(2)1≤t≤2或5≤t≤6
(3)（0，3)或（0，-3)
【分析】（1）由P点的坐标得出OP=1，则，， ，，即可得出结果；
（2）当点E为线段OP的“单位面积点”时，，t=1或t=5，当点F为线段OP的“单位面积点”时，，解得：t=2或t=6，即可得出结果；
（3）设点M的坐标为（a，3)，则点M到AP的距离为｜a-1|，解得a=0或2，又因为点M在第一象限内，所以a=2，即点M的坐标为（2，3)，设点N的坐标为（0，b)，则ON=|b|，把ON作为△OMN的底时，点M到ON的距离为2，得又因为△OMN是△PAN面积的3倍，=1，所以=3，即b=±3，所以点N坐标为（0，3)或（0，-3) ．
（1）
解：如图1所示：
∵点P的坐标为（1，0)，
∴OP=1，
∵A(1，2)、B(﹣1，1)、C(﹣1，﹣2)、D(2，﹣4)，
∴，
，
，
，
∴点A、点C是线段OP的“单位面积点”．
（2）
（2)如图2所示：
当点E为线段OP的“单位面积点”时，
，
解得：t=1或t=5，
当点F为线段OP的“单位面积点”时，
，
解得：t=2或t=6，
∴线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，
综上所述，1≤t≤2或5≤t≤6．
（3）
解：如图所示，
∵点A的坐标为（1，2)，点P的坐标为（1，0)，
∴AP=2，
设点M的坐标为（a，3)，则点M到AP的距离为｜a-1|，
∴=|a-1|×2=1，
解得a=0或2，
又∵点M在第一象限内，
∴a=2，即点M的坐标为（2，3)，
同理，可得点N的横坐标为0，
设点N的坐标为（0，b)，则ON=|b|，
把ON作为△OMN的底时，点M到ON的距离为2，得
又因为△OMN是△PAN面积的3倍，=1，
∴=3，即b=±3，
所以点N坐标为（0，3)或（0，-3) ．
【点睛】本题考查三角形综合题，主要考查单位面积点、图形与坐标，三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键．
1．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．
(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；
(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，
①若，请直接写出与之间的等量关系：______；
②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．
2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称，两点为“等距点”例如：如图中的，两点，有，所以、两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①则点到、轴的距离中的最大值______；
②在点，，中，为点的“等距点”的是______；
③点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，且，两点为“等距点”，求的值．
3．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0，D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16
(1)求C点坐标；
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数；
(3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
5．在平面直角坐标系中，点A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)平移线段OA到DE，点O，A的对应点分别为D，E．
①若点E在y轴上，且点D到直线AB，AC的距离相等，求点E的坐标；
②若点E在x轴上，直线OD，AB相交于点G，且＝，请画图并求点E的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过点C作轴于B．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB与∠BDO，求∠AED的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得△ACP和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标满足：，将线段向右平移到的位置（点A与D对应，点B与C对应）．
(1)求点A、B的坐标；
(2)①若原点O恰好在线段上，则四边形的面积=___________；
②、分别表示三角形、三角形的面积，若，则长为___________；
(3)点是四边形所在平面内一点，且三角形的面积为4，求m，n之间的数量关系．
8．如图1，点A(a，0)、B(b，0)，其中a、b满足（3a+b）20，，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
(1)连接AD交OC于一点F，求OF；
(2)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
9．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）点C为x轴负半轴上一点满足S△ABC＝15．
①如图1，平移直线AB经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点F（m，10）满足S△ACF＝10，求m．
（3）如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足HB＝8，GD＝6．当点A平移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系xy中，点A（a，0）B（b，0），C（b，c）CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D．
（1）若|a+2|++（c﹣3）2＝0，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A的直线AM交四边形ABCD的边CD于点M，且直线AM分四边形ABCD所成的两部分面积之比为1：4，求点M的坐标；
（3）过点A的直线AM交四边形ABCD的边于点M，若直线AM交y轴于点E，且EB平分∠MEO，试探究∠DME，∠EBO，∠CDM之间的数量关系并说明理由．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点P1与点P2的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)已知点是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
12．对于平面直角坐标系xOy中的不同两点，，给出如下定义：点A与点B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离．
(1)已知点，则______；
(2)已知点，，且，求t的值；
(3)如图2，已知点，，点P是线段FG上的一个动点，请判断是否是一个定值______（填“是”或“否”）；
(4)如果点Q满足，请在图3中画出所有符合条件的点Q组成的图形．
13．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
(1)在点A（1，2），B（−1，1），C（−1，−2），D（2，−4）中，线段OP的“单位面积点”是______；
(2)已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t>0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是______；
(3)已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
难点特训（二）和平面直角坐标系有关的压轴大题
1．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．
(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；
(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，
①若，请直接写出与之间的等量关系：______；
②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．
【答案】(1)
(2)①；②，见解析
(3)或
【分析】（1）过点作，可得轴，则，，结合，可得，即可得出答案．
（2）①过点作轴，可得轴，则，，结合已知条件与邻补角的定义可得，根据，可得，结合，可得出答案．
②由轴，可得，，结合已知条件与邻补角的定义可得，最后由，可得出答案．
（3）当点在上时，或当点在线段的延长线上时，分别利用平行线的性质可得出答案．
（1）
解：过点作，
，，
轴，
轴，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）
解：①过点作轴，
轴，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得．
故答案为：．
．
理由如下：
轴，
，，
，，
，
，
．
（3）
解：当点在上时，过点作，
，
，，
，
．
当点在线段的延长线上时，
，
，，
，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角的计算及坐标与图形，能够添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称，两点为“等距点”例如：如图中的，两点，有，所以、两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①则点到、轴的距离中的最大值______；
②在点，，中，为点的“等距点”的是______；
③点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，且，两点为“等距点”，求的值．
【答案】(1)①3；②E，F；③
(2)1
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）根据“等距点”概念对4k- 3分类讨论， 进行解答即可．
（1）
解：点到、轴的距离中最大值为，
故答案为：；
∵，，，
∴，，，
∵点到、轴的距离中最大值为，即，
与点的“等距点”的是，，
故答案为：，．
当点坐标中到、轴距离其中至少有一个为的点有、、，这些点中与符合“等距点”的是．
故答案为：；
（2）
解：，两点为“等距点”，
当时，
则，即，
或，
解得舍去或．
根据“等距点”的定义知，符合题意．
即的值是．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”的定义是解题的关键．
3．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0，D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，；（3）
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，得出点A，C的坐标，再运用中点公式求出点D的坐标；
（2）根据题意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；
（3）过点H作HP∥AC交x轴于点P，先证明OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．
【详解】解：（1），
，，
，，
，，
设，
为线段的中点．
，，
，
故答案为：，，；
（2）存在，．
由条件可知：点从点运动到点需要时间为2秒，点从点运动到点需要时间2秒，
，点在线段上，
，，，，
，
，
，
，
．
（3）如图2，，，，
，
，
，
，
如图，过点作HP∥AC交轴于点，
则，PH∥OG，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形面积，非负数的性质，中点坐标公式等，是一道三角形综合题，解题关键是学会添加辅助线，运用转化的思想思考问题．
4．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16
(1)求C点坐标；
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数；
(3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变化，
【分析】（1）由点，的坐标求出和的长，根据梯形面积公式，从而求得的长，进而求得点坐标；
（2）可设，从而表示出，，，进而表示出，，进而根据三角形内角和定理得出结果；
（3）连接，并延长至，根据三角形内角和定理推论，可得出，根据三角形内角和定理推出，进而得出，再根据三角形内角和求得结果．
（1）
解：由题意得：，，
由得，
，
，
，
；
（2）
解：设，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，
；
（3）
解：如图，
点在运动过程中，的大小不变化，理由如下：
连接，并延长至，
是的外角，
，
同理可得，
，
，
即，
轴，，
，，
，，
，
，
，
平分，平分；
，，
，
，
，
，
即原．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和线段长之间关系，角平分线的定义，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
5．在平面直角坐标系中，点A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)平移线段OA到DE，点O，A的对应点分别为D，E．
①若点E在y轴上，且点D到直线AB，AC的距离相等，求点E的坐标；
②若点E在x轴上，直线OD，AB相交于点G，且＝，请画图并求点E的坐标．
【答案】(1)B（2，0），C（0，5）；
(2)①（0，6）或（0，14）；②图见解析，（0，0）或（8，0）．
【分析】（1）根据点A的坐标，可得结论；
（2）①分情况判断出点D的坐标，利用平移变换的性质可得对应的点E的坐标；
③分两种情形，分别画出图形，先求出点D的坐标，进而求解即可．
（1）
解：∵A（2，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴B（2，0），C（0，5）；
（2）
①如图1中，当点D在AC的下方时．
∵点E在y轴上，点D到AB，AC的距离相等，
∴D（−2，1），
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（0，6）；
如图1−1中，当点D在AC的上方时，同理可得D（−2，9），此时E（0，14），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，6）或（0，14）；
②如图2中，
∵＝，
∴OG＝OD，
∵点G的横坐标为2，
∴点D的横坐标为−2，
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（0，0）；
如图3中，过点D作DH⊥OE于点H．
∵GB∥DH，
∴BH：OB＝DG：OG＝2，
∵OB＝2，
∴BH＝4，
∴D（6，−5），
∵点D向右平移2个单位，向上平移5个单位到点E，
∴E（8，0），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
6．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过点C作轴于B．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB与∠BDO，求∠AED的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得△ACP和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)∠AED =45°
(3)存在，P（0，-1）或（0，3）
【分析】（1）根据非负数的性质易得a=-2，b=2，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过E作EFAC，根据平行线性质得BDACEF，且∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可；
（3）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，利用S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t．
（1）
解：∵，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面积=×2×4=4；
（2）
解：∵CBy轴，BDAC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EFAC，如图①，
∵BDAC，
∴BDACEF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）=45°；
（3）
解：①当P在y轴正半轴上时，如图②，
设P（0，t），
过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，
∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，
∴-t-（t-2）=4，解得t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图③
∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4
∴+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质，掌握平行线的性质与判定．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标满足：，将线段向右平移到的位置（点A与D对应，点B与C对应）．
(1)求点A、B的坐标；
(2)①若原点O恰好在线段上，则四边形的面积=___________；
②、分别表示三角形、三角形的面积，若，则长为___________；
(3)点是四边形所在平面内一点，且三角形的面积为4，求m，n之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)①3；②5
(3)或
【分析】（1）根据，满足：，即可求、两点的坐标；
（2）①根据的面积的面积，可得结论；
②如图2，作辅助线，根据，列式可得的长；
（3）分两种情况：①点在的右侧，②点在的左侧，根据三角形的面积列等式可得结论．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、两点的坐标为：，；
（2）解：①如图1，连接，
四边形是平行四边形，
；
故答案为：3；
②如图2，过点作，连接，，，，，
，
，
，，，
，
，
，
；
故答案为：5；
（3）解：分两种情况：
①当点在的右侧时，如图3，过点作于，交于，
，
，
，
，
，
；
同理，当点在的左侧时，．
综上，，之间的数量关系为或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平移的性质，非负数的性质，三角形和四边形的面积等知识，解决本题的关键是掌握平移的性质．
8．如图1，点A(a，0)、B(b，0)，其中a、b满足（3a+b）20，，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
(1)连接AD交OC于一点F，求OF；
(2)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为3
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用面积法求解；
（2）结论：S△FMD﹣S△OFN的值是定值．分两种情形：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．分别求解即可．
（1）
∵（3a+b）20，
又∵（3a+b）2≥0，b﹣a﹣4≥0，
∴，
解得，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝CD＝4，
∵OC＝2，CD∥AB，
∴D（4，2），
∵S△ACD＝S△ACF+S△CDF，
∴CO•CDCF•AOCF•CD，
即4×2CF×1CF×4，
∴CF，
∴OF＝2；
（2）
结论：S△FMD﹣S△OFN的值是定值．
理由：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．
设运动时间为t秒，
由题意：OM＝t，BN＝2t，
∴S△OMDt×4＝2t，S△DBN2t×2＝2t，
∴S△OMD＝S△BND，
∴S四边形DMON＝S△OBD3×2＝3，
∵S△GMD﹣S△OFN＝S四边形DMON＝3＝定值．
如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．
∵S△GMD﹣S△OGN＝S△ODM﹣S△ODN＝S△DBN﹣S△ODN＝S△OBD＝3＝定值，
综上所述，S△GMD﹣S△OGN的值是定值，定值为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，非负数的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
9．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）点C为x轴负半轴上一点满足S△ABC＝15．
①如图1，平移直线AB经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点F（m，10）满足S△ACF＝10，求m．
（3）如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足HB＝8，GD＝6．当点A平移到某一位置时，四边形BDHG的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）A（0，5），B（4，0）；（2）①E（0，﹣）；②﹣2或6；（3）24．
【分析】（1）根据二次根式和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；②延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，根据三角形面积公式解答即可；
（3）平移GH到DM，连接HM，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】解：（1）∵，且，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝5，b＝4，
∴A（0，5），B（4，0）；
（2）①连接BE，如图1，
∵，
∴BC＝6，
∴C（﹣2，0），
∵AB∥CE，
∴S△ABC＝S△ABE，
∴，
∴AE＝，
∴OE＝，
∴E（0，﹣）；
②∵F（m，10），
∴点F在过点G（0，10）且平行于x轴的直线l上，
延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，则M（a，0），如图2，
∵S△HCM＝S△ACO+S梯形AOMH，
∴，
解得：a＝2，
∴H（2，10），
∵S△AFC＝S△CFH﹣S△AFH，
∴，
∴FH＝4，
∵H（2，10），
∴F（﹣2，10）或（6，10），
∴m＝﹣2或6；
（3）平移GH到DM，连接HM，则GD∥HM，GD＝HM，如图3，
四边形BDHG的面积＝△BHM的面积，
当BH⊥HM时，△BHM的面积最大，其最大值＝．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xy中，点A（a，0）B（b，0），C（b，c）CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D．
（1）若|a+2|++（c﹣3）2＝0，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A的直线AM交四边形ABCD的边CD于点M，且直线AM分四边形ABCD所成的两部分面积之比为1：4，求点M的坐标；
（3）过点A的直线AM交四边形ABCD的边于点M，若直线AM交y轴于点E，且EB平分∠MEO，试探究∠DME，∠EBO，∠CDM之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）D（0 ,3）；（2）M (；（3）∠DME+2∠EBO-∠CDM=90°，见解析
【分析】（1）根据|a+2|++（c﹣3）2＝0，利用非负性可求得a，b，c的值，再根据垂直的性质即可求出D的坐标；
（2）由梯形的面积公式可求出四边形的面积，再由面积的比值可求出的面积，利用三角形的面积公式即可运算求解；
（3）分类讨论M在边CD上时和M在边CB上时的情况，再通过平行线的性质和角的等量代换即可求解．
【详解】(1) 解：∵｜a＋2｜＋+=0
且 ｜a＋2｜0
∴ ｜a＋2｜=0
∴a＋2 =0，=0，=0
∴a= ，b=3，c=3
∵ CB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D
B（b ,0），C（b , c）
∴ B（3 ,0），C（3 , 3）
∴ D（0 ,3）
(2) 解：AB+CD)OD=
当点M在边CD上时，则：1:4
+=
∴ ，
∵=
∴
∴DM=
∵D（0 ,3）
∴M (；
当S△ADM：S四边形ABCD=4：5时，点M不存在；
综上可知，M (；
（3）∠DME+2∠EBO-∠CDM=
理由如下：①当点M在边CD上时，∠CDM=
过点E作EF∥CD
∴ ∠DME=∠MEF
∵ AB ∥CD
∴ EF∥AB
∴ ∠EBO=∠BEF, ∠FEO=－∠EOB=
∴ ∠EBO+∠DME =∠MEB
∵ EB平分∠MEO
∴∠MEB=∠OEB=∠EBO+∠DME
∴∠OEB+∠BEF=∠EBO+∠DME+∠EBO=∠DME+2∠EBO
∴∠FEO=∠DME+2∠EBO
∴∠DME+2∠EBO=
②当点M在边CB上时, 过点E作EF∥CD, M作MN∥CD
则∠CDM=∠DMN
由①可得：∠MEB=∠NME+∠EBO
∠FEO==∠NME+2∠EBO
∵∠NME=∠DME-∠DMN=∠DME-∠CDM
∴ ∠NME+2∠EBO=∠DME-∠CDM+2∠EBO=
∴ ∠DME+2∠EBO-∠CDM=
综上可知, ∠DME+2∠EBO-∠CDM=
【点睛】本题主要考查了图形与坐标结合的综合大题，其中涉及到了几何图形的面积公式，垂直的定义，平行线的性质及判定，角平分线的性质，熟悉掌握各性质，合理作出辅助线是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点P1与点P2的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
(2)已知点是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
【答案】(1)①或；②；
(2)①最小值为：，；②最小值为；E， ．
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为；
（2）①设点C的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标；
②当点F在点处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”最小且，由此列出方程即可求解．
【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为．
∵，
∴，解得或；
∴点B的坐标是或；
故答案是：或；
②设点B的坐标为
∵
∴
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案是：．
（2）解：①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义，若，则点点与点的“非常距离”为知：．即，
由题意可知，点C是直线上的一个动点，点D的坐标是，
∴设点C的坐标为，
∴，解得：，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，
此时；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且，
此时，，
∴，解得：，
∴．
此时，点C的坐标为，“非常距离”的最小值为．
综上，C与点E的“非常距离”的最小值为；相应的点E的坐标为，点C的坐标．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，主要考查了一次函数上点的坐标特征、解一元一次方程等知识点，弄清题意、理解“非常距离”的定义是解题的关键．
12．对于平面直角坐标系xOy中的不同两点，，给出如下定义：点A与点B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A，B两点的折线距离，记作，即．例如，图1中，点与之间的折线距离．
(1)已知点，则______；
(2)已知点，，且，求t的值；
(3)如图2，已知点，，点P是线段FG上的一个动点，请判断是否是一个定值______（填“是”或“否”）；
(4)如果点Q满足，请在图3中画出所有符合条件的点Q组成的图形．
【答案】(1)3
(2)±1
(3)是
(4)见解析
【分析】（1）根据折线距离的定义求解即可；
（2）根据折线距离的定义，构建方程求解即可；
（3）如图2中，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N．则四边形PMON是矩形，证明PM+PN=OG=2即可；
（4）根据d（O，Q）=3，画出图形即可．
(1)
解：∵C（-2，-1），
∴d（O，C）=|-2|+|-1|=3，
故答案为：3．
(2)
解：由题意|-2-1|+|t|=4，
∴t=±1；
(3)
解：如图2中，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N．则四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，
∵点F（0，2），G（2，0），
∴OF=OG=2，
∴∠PGN=∠GPN=45°，
∴PN=NG，
∴d（O，P）=|x|+|y|=ON+NG=2，是定值．
故答案为：是；
(4)
解：如图3中，正方形ABCD即为点Q组成的图形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
(1)在点A（1，2），B（−1，1），C（−1，−2），D（2，−4）中，线段OP的“单位面积点”是______；
(2)已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t>0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是______；
(3)已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
【答案】(1)A，C
(2)1≤t≤2或5≤t≤6
(3)（0，3)或（0，-3)
【分析】（1）由P点的坐标得出OP=1，则，， ，，即可得出结果；
（2）当点E为线段OP的“单位面积点”时，，t=1或t=5，当点F为线段OP的“单位面积点”时，，解得：t=2或t=6，即可得出结果；
（3）设点M的坐标为（a，3)，则点M到AP的距离为｜a-1|，解得a=0或2，又因为点M在第一象限内，所以a=2，即点M的坐标为（2，3)，设点N的坐标为（0，b)，则ON=|b|，把ON作为△OMN的底时，点M到ON的距离为2，得又因为△OMN是△PAN面积的3倍，=1，所以=3，即b=±3，所以点N坐标为（0，3)或（0，-3) ．
（1）
解：如图1所示：
∵点P的坐标为（1，0)，
∴OP=1，
∵A(1，2)、B(﹣1，1)、C(﹣1，﹣2)、D(2，﹣4)，
∴，
，
，
，
∴点A、点C是线段OP的“单位面积点”．
（2）
（2)如图2所示：
当点E为线段OP的“单位面积点”时，
，
解得：t=1或t=5，
当点F为线段OP的“单位面积点”时，
，
解得：t=2或t=6，
∴线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，
综上所述，1≤t≤2或5≤t≤6．
（3）
解：如图所示，
∵点A的坐标为（1，2)，点P的坐标为（1，0)，
∴AP=2，
设点M的坐标为（a，3)，则点M到AP的距离为｜a-1|，
∴=|a-1|×2=1，
解得a=0或2，
又∵点M在第一象限内，
∴a=2，即点M的坐标为（2，3)，
同理，可得点N的横坐标为0，
设点N的坐标为（0，b)，则ON=|b|，
把ON作为△OMN的底时，点M到ON的距离为2，得
又因为△OMN是△PAN面积的3倍，=1，
∴=3，即b=±3，
所以点N坐标为（0，3)或（0，-3) ．
【点睛】本题考查三角形综合题，主要考查单位面积点、图形与坐标，三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键．
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