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    2023-2024学年新疆克州高一(上)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年新疆克州高一(上)期末数学试卷(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知全集U={0,1,2,3,4},设集合A={0,3,4},则∁UA=( )
    A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}
    2.“x>1”是“x2>x”的条件.( )
    A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
    3.sin72°cs42°−cs72°sin42°的值为( )
    A. 12B. 22C. 32D. 1
    4.命题“∀x>0,csx>−12x2+1”的否定是( )
    A. ∀x>0,csx≤−12x2+1B. ∀x≤0,csx>−12x2+1
    C. ∃x>0,csx≤−12x2+1D. ∃x≤0,csx≤−12x2+1
    5.设扇形周长为20,圆心角的弧度数是3,则扇形的面积为( )
    A. 12B. 16C. 18D. 24
    6.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
    A. y=x+7B. y=1−x2C. y=−2xD. y=x|x|
    7.设a=lg23,b=lg123,c=3−2,则( )
    A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a
    8.已知f(x)=x−5x2,(x≤5),f(x−2),(x>5),则f(6)的函数值为( )
    A. −312B. −174C. −76D. 174
    二、多选题:本题共4小题,共12分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at(a>0且a≠1),以下叙述中正确的是( )
    A. 这个指数函数的底数是2
    B. 第5个月时,浮萍的面积就会超过35m2
    C. 浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月
    D. 浮萍每个月增加的面积都相等
    10.下列各组函数中,是相同函数的是( )
    A. f(x)=x2,x∈{−1,0,1}与g(x)=0,x=0,1,x=±1
    B. f(x)=x⋅|x|与g(x)=x2
    C. f(x)=x与g(x)= x2
    D. f(x)=1x(x>0)与g(x)=x+1x2+x(x>0)
    11.函数f(x)=tan(2x−π4),则( )
    A. f(x)的一个周期为π2
    B. f(x)是增函数
    C. f(x)的图象关于点(3π8,0)对称
    D. 将函数y=tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到f(x)的图象
    12.已知函数f(x)=ax+b(x+c)2的图像,则下列结论成立的是( )
    A. a>0,b>0
    B. a<0,b>0
    C. ac<0
    D. ac>0
    三、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
    13.若x,y∈(0,+∞),且x+y=3,则xy的最大值为______.
    14.已知tanα=5,则sinα+csα2sinα−csα= ______.
    15.函数f(x)=lga(x−2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点______.
    16.函数f(x)=lg12(x2−6x+8)的单调递增区间是______.
    四、解答题:本题共6小题,共52分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题8分)
    (1)计算:(lg5)2+(lg2)⋅(lg5)+12lg4−lg34⋅lg23.
    (2)计算: 614−(π−1)0−(338)13+(164)−23.
    18.(本小题8分)
    已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x).
    (Ⅰ)求函数的f(x)定义域;
    (Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并用定义证明你的结论.
    19.(本小题8分)
    如图,某物业需要在一块矩形空地(记为矩形ABCD)上修建两个绿化带,矩形ABCD的面积为800m2,这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形,这两个梯形上下对齐,且中心对称放置,梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道,且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设AB=xm.
    (1)用x表示绿化带的面积;
    (2)求绿化带面积的最大值.
    20.(本小题8分)
    已知函数f(x)=x2+ax,且f(1)=2.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)用定义证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
    21.(本小题10分)
    已知函数f(x)=12sin(2x−π3)+1,x∈R.
    (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
    (2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值.
    22.(本小题10分)
    已知函数f(x)=ex+aex+1为定义在R上的奇函数.
    (1)求a的值,并猜想函数的单调性;
    (2)若f(2mt2−1)+f(−mt)<0对任意实数t恒成立,求实数m的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,3,4},所以∁UA={1,2}.
    故选:C.
    根据给定条件,利用补集的定义直接求解即得.
    本题主要考查补集及其运算,属于基础题.
    2.【答案】A
    【解析】解:由x2>x得x<0或x>1,
    故“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件.
    故选:A.
    根据x2>x得x<0或x>1,故“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件.
    本题考查充分不必要条件的应用,属于基础题.
    3.【答案】A
    【解析】【分析】
    逆用两角差的正弦公式即可求得答案.
    本题考查两角差的正弦公式,掌握公式是关键,属于基础题.
    【解答】
    解:∵sin72°cs42°−cs72°sin42°=sin(72°−42°)=sin30°=12,
    故选:A.
    4.【答案】C
    【解析】解:根据题意,命题“∀x>0,csx>−12x2+1”的否定是∃x>0,csx≤−12x2+1.
    故选:C.
    根据题意,由全称命题的否定方法,分析可得答案.
    本题考查命题的否定,注意全称命题和特称命题的关系,属于基础题.
    5.【答案】D
    【解析】解:设扇形的半径为r,则弧长为l=3r,
    因为扇形的周长为20,
    所以2r+3r=20,解得r=4,
    则l=12,
    故扇形的面积为12rl=12×4×12=24.
    故选:D.
    根据弧长公式以及周长得出半径,再由公式得出面积.
    本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用,属于基础题.
    6.【答案】D
    【解析】解:y=x+7不是奇函数,y=1−x2是偶函数,y=−2x在定义域上不是增函数,
    又f(x)=x|x|=x2,x≥0−x2,x<0,定义域为(−∞,+∞)且关于原点对称,
    当x≥0时,f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x),
    当x<0时,f(−x)=(−x)2=x2=−f(x),
    所以y=x|x|为奇函数,又可知x≥0时y=x|x|为增函数,
    所以y=x|x|是增函数且为奇函数.
    故选:D.
    直接判断一次函数、二次函数、反比例函数的单调性和奇偶性,先将y=x|x|写成分段函数的形式,然后利用定义判断函数性质.
    本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断,属于基础题.
    7.【答案】B
    【解析】解:a=lg23>1,b=lg123<0,0∴a>c>b.
    故选:B.
    利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
    本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    8.【答案】C
    【解析】解:由题意,可得f(6)=f(4)=4−5×42=−76.
    故选:C.
    由分段函数,f(6)=f(4),代入运算可得解.
    本题主要考查函数的值,属于基础题.
    9.【答案】AC
    【解析】解:对于A,将点(1,2)代入y=at中,得a=2,则y=2t,故A正确;
    对于B,当t=5时,y=25=32<35,故B错误;
    对于C,当y=4时,t=2,当y=16时,t=4,所以浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月,故C正确;
    对于D,由指数函数y=2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等,故D错误.
    故选:AC.
    根据图中数据求出函数关系,然后逐个分析即可.
    本题考查了指数函数在解决实际问题上的应用,属于中档题.
    10.【答案】AD
    【解析】解:对于A,函数f(x)=x2,x∈{−1,0,1}与函数g(x)=0,x=01,x=±1的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一个函数,故A正确;
    对于B,函数f(x)=x2,x≥0−x2,x<0,与函数g(x)=x2的对应关系不同,所以是同一个函数,故B错误;
    对于C,g(x)= x2=|x|,与函数f(x)=x的对应关系不同,所以是同一个函数,故C错误;
    对于D,g(x)=x+1x(x+1)=1x(x>0),与函数f(x)=1x(x>0)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一个函数,故D正确.
    故选:AD.
    判断函数的定义域与对应法则是否相同,即可判断两个函数是否相同函数.
    本题主要考查了判断两个函数是否相同,需要判断定义域与对应法则是否相同,属于基础题.
    11.【答案】AC
    【解析】解:对于A:f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2,故A正确;
    对于B:f(x)的单调递增区间满足:kπ−π2<2x−π4对于C:f(x)的对称中心满足:2x−π4=π2+kπ2,即中心为(3π8+kπ4,0),k∈Z,故C正确;
    对于D:将函数y=tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到y=tan2(x−π4)≠tan(2x−π4),故D错误.
    故选:AC.
    根据f(x)的周期性,单调区间,对称中心,及平移逐项判断.
    本题考查的知识要点:正切函数的性质,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
    12.【答案】BD
    【解析】解:因为f(0)=bc2>0,
    所以b>0,
    因为函数图象在x=−c处没有意义,
    结合图象可知,−c>0,即c<0,
    因为x→+∞时,f(x)<0,
    所以a<0,
    所以a<0,b>0,ac>0,
    故选:BD.
    分解就x=0时函数值的正负,函数没有意义的x及x→+∞时函数值的正负分别判断a,b,c的正负即可判断.
    本题主要考查了由部分函数的图象确定参数的取值范围,体现了数形结合思想的应用,属于基础题.
    13.【答案】94
    【解析】解:由x,y∈(0,+∞),且x+y=3,得xy≤(x+y2)2=94,
    当且仅当x=y=32时取等号.
    故答案为:94.
    根据给定条件,利用基本不等式求出最大值即得.
    本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
    14.【答案】23
    【解析】解:∵tanα=5,∴sinα+csα2sinα−csα=tanα+12tanα−1=23.
    故答案为:23.
    利用同角函数关系即可得.
    本题考查同角三角函数关系,属于基础题.
    15.【答案】(3,2)
    【解析】解:对于函数f(x)=lga(x−2)+2(a>0,且a≠1),令x−2=1,求得x=3,y=2,
    可得它的图象恒过定点(3,2).
    故答案为:(3,2).
    令真数等于1,求得x、y的值,可得恒过定点的坐标.
    本题主要考查对数函数的性质,属于基础题.
    16.【答案】(−∞,2)
    【解析】解:根据题意,函数f(x)=lg12(x2−6x+8)分解成两部分:f(t)=lg12t外层函数,t=x2−6x+8是内层函数.
    根据复合函数的单调性,可得函数y=lg 12t单调减函数,
    则函数f(x)=lg12(x2−6x+8)单调递增区间就是函数t=x2−6x+8单调递减区间(−∞,3),
    由x2−6x+8>0可得x>4或x<2,则可得函数的单调递增区间(−∞,2)
    故答案为(−∞,2).
    欲求得函数f(x)=lg12(x2−6x+8)的单调递增区间,由于f(t)=lg12t是减函数,故要求内层函数t=x2−6x+8是减函数时,原函数才为增函数.问题转化为求t=x2−6x+8的单调减区间,但要注意要保证t>0.
    本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.
    17.【答案】解:(1)原式=lg5(lg5+lg2)+lg412−2lg2lg3×lg3lg2=lg5+lg2−2=1−2=−1;
    (2)解:原式= 254−1−(278)13+6423=52−1−32+(43)23=32−32+16=16.
    【解析】(1)结合对数的运算性质即可求解;
    (2)结合指数的运算性质即可求解.
    本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用,属于基础题.
    18.【答案】解:(Ⅰ)根据题意,函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x).
    则有1−x>01+x>0,解得x>−1x<1,解可得−1则函数f(x)的定义域(−1,1).
    (Ⅱ)函数f(x)是奇函数.
    证明:由(Ⅰ)知定义域关于原点对称.因为函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x).
    ∵f(−x)=lg(1+x)−lg(1−x)=−f(x).
    所以函数f(x)是奇函数.
    【解析】(1)根据题意,由函数的解析式可得1−x>01+x>0,解可得x的取值范围,即可得答案;
    (2)根据题意,先分析函数的定义域,进而分析可得f(−x)与f(x)的关系,即可得答案.
    本题考查函数的奇偶性的判断,涉及函数的定义域的计算,属于基础题.
    19.【答案】解:(1)已知AB=xm.
    则梯形的高为(800x−10)m,
    设梯形的上底为a(m),下底为b(m),
    由题意可得:a+b=x−15,
    则绿化带的面积为S=(a+b)×(800x−10)=(x−15)(800x−10)(m2),
    其中800x−10>0x−15>0,
    即15(2)由(1)可得S=(x−15)(800x−10)=950−(10x+12000x)≤950−2 10x×12000x=950−200 3,
    当且仅当10x=12000x,即x=20 3(m)时取等号,
    即绿化带面积的最大值为950−200 3(m2).
    【解析】(1)先阅读题意,然后结合矩形的面积公式求解;
    (2)结合基本不等式的应用求解,特别要强调取等的条件.
    本题考查了函数解析式的求法,重点考查了基本不等式的应用,属中档题.
    20.【答案】解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
    ∵f(1)=2,∴1+a=2,即a=1,
    ∵f(x)=x2+1x=x+1x;
    证明:(2)任取x1,x2∈(1,+∞)且x1∴f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)
    =(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2.
    ∵x1∴x1−x2<0,x1x2>1,
    ∴f(x1)−f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.
    【解析】(1)由已知f(1)=2代入可求a,进而可求函数解析式;
    (2)根据函数单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论,进行证明即可.
    本题考查函数解析式的求解,还考查了函数单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论的应用,考查化简、变形能力,属于中档题.
    21.【答案】解:(1)因为f(x)=12sin(2x−π3)+1,
    所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π;
    由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z).
    即函数f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z);
    (2)因为−π4≤x≤π4,所以−5π6≤2x−π3≤π6,
    当2x−π3=−π2,即x=−π12时,函数f(x)取最小值,f(x)min=12sin(−π2)+1=12;
    当2x−π3=π6,即x=π4时,函数f(x)取最大值,f(x)max=12sinπ6+1=54.
    【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期;解不等式2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z),可得出函数f(x)的单调递减区间;
    (2)由−π4≤x≤π4求出2x−π3的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数f(x)的最小值和最大值.
    本题考查的知识要点:正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
    22.【答案】解:(1)因为函数f(x)=ex+aex+1为定义在R上的奇函数,
    所以f(0)=0,得a=−1,
    经检验符合题意,所以a=−1;
    所以f(x)=ex−1ex+1=1−2ex+1,
    猜想函数f(x)为R上单调递增的奇函数;
    (2)根据(1)知f(x)=ex−1ex+1=1−2ex+1,
    ∀x1,x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=2(ex1−ex2)(ex2+1)(ex1+1),
    因为x10,ex2+1>0,
    所以f(x1)−f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增,
    即函数f(x)为R上单调递增的奇函数,
    所以f(2mt2−1)+f(−mt)<0,即f(−mt)<−f(2mt2−1),
    即f(−mt)则−mt<−2mt2+1,
    所以2mt2−mt−1<0对任意实数t恒成立,
    当m=0时,2mt2−mt−1=−1<0,显然成立;
    当m≠0时,m<0Δ=m2+8m<0,解得−8综上可知,实数m的取值范围是(−8,0].
    【解析】(1)由f(0)=0求解后,再验证即可得f(x)的解析式,再根据解析式猜想单调性即可;
    (2)将问题转化为2mt2−mt−1<0对任意实数t恒成立,分m=0和m≠0求解即可.
    本题考查了奇函数的性质、二次函数的性质,考查了转化思想及分类讨论思想,属于中档题.
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