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宁夏回族自治区银川市兴庆区第三中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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时间：120分钟 满分：120分 命题人：荀伟
一、选择题（每小题3分，共24分．）
1. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，从而代入分式求值．
【详解】解：，
设，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查比例的性质、分式的值，熟练掌握比例的性质、求分式的值是解决本题的关键．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：，
有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键．
由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【详解】∵，，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
D．添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：D．
6. 若A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数y＝图象上的点，且x1A. y3>y1>y2B. y1>y2>y3
C. y2>y1>y3D. y3>y2>y1
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数y=的系数2＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【详解】解：∵反比例函数y=的系数3＞0，
∴该反比例函数的图象如图所示，
该图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，，
∴y3＞y1＞y2．
故选A．
7. 如图，在矩形纸片中，，，点E是上一点，点F是上一点，将矩形沿折叠，使点B的对应点G正好落在的中点处，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形性质，图象的折叠变换及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图象的折叠变换及性质．首先由翻折的性质得，设，则，然后在中由勾股定理求出x即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，且，，
∴，，
由翻折的性质得：，
设，则，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
故选：A．
8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可．
【详解】由抛物线图像可知，
所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限．
故选D
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. __________________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
10. 某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为________．
【答案】100条
【解析】
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.4，
设该鱼塘中有草鱼x条，根据题意得：，
解得：x＝100，
∴该鱼塘中草鱼的数量为100条．
故答案为：100条．
【点睛】本题考查了频率估计概率，明确概率公式是解题的关键．
11. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．
【答案】
【解析】
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形性质应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由根与系数的关系，得到，，即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由四边形是矩形与、、、分别是四条边的中点，根据，易证得，则可得，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形的面积．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
、、、分别是四条边的中点，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
四边形的面积为：．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质与矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质．题目难度不大，注意四条边都相等的四边形是菱形与菱形的面积等于其对角线积的一半．
14. 如图，在中，点D、E分别是的中点，若的面积为2，则的面积为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
15. 如图，若点A在反比例函数y= （k≠0）的图像上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为2，则k=________．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】解：因为△AMO的面积为2，
所以|k|=2×2=4．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=-4．
故答案为-4．
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两根是；③；④．其中正确结论的序号为 ________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，，对称轴在y轴右侧，a、b异号，，与y轴交于正半轴，，所以，因此①是错误的；
当时，抛物线与x轴交点的横坐标就是的两根，由图象可得；因此②正确；
对称轴为，即，也就是；因此③正确，
∵，
∴，因此④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题：（共36分）
17. 在中，已知，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值．先作于点D，根据直角三角形的性质和锐角三角形函数，即可得到，，进而得出答案．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，
∴，，，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
（2）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可；
（2）利用割补法结合三角形面积计算公式解答即可．
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【小问1详解】
∵，以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为
∴，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
的面积为：．
19. “天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习．
（1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________；
（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率，
（1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可；
（2）根据题意画树状图或列表方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可；
熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵从、、三个模块中随机选择一个，
∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率．
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种，
∴小明和小亮选择相同模块的概率．
20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质．
（1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形．
（2）先求得，根据四边形是矩形，根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形．
【小问2详解】
，，，
，，，
四边形是矩形，
，．
．
21. 北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪漫．某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量．如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PBE＝45°，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PDE＝50°（A，C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ．（参考数据：tan50°≈1.20，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，计算结果精确到1米）
【答案】首钢大跳台起点到地面的高度为
【解析】
【分析】延长BD交PQ于点F，根据，得出，然后在中用PF表示出DF，根据列出方程，解方程即可得出PF的长，进而求出PQ．
【详解】解：延长BD交PQ于点F，如图所示：
，，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
则，
，
，
即，
解得：，
即，
，
，
答：首钢大跳台起点到地面的高度为47.8m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22. 如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
（1）根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值；
（2）现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】（1），；
（2）这样摆放不安全；
【解析】
【分析】（1）根据关系表得到反比例关系，代入求解即可得到答案；
（2）根据（1）的解析式求出所受压力比较大小即可得到答案；
【小问1详解】
解：由表格可得，
∵，
∴与成反比关系，
∴，
当时，
，
解得：；
【小问2详解】
解：当时，
，
，
∴这样摆放不安全；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
四、解答题（共36分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据在反比例函数（k为常数且）的图象上，代入反比例函数解析式求出答案即可；
（2）求出B点坐标，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点P的坐标即可．
【小问1详解】
∵在反比例函数（k为常数且）图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，
∴，
解得或，
∴，
如图，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，
设直线的解析式为，把和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A向BC边作垂线，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE=6，AD=6，AF=4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AB=8
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，∠B+∠C=180°，由平角的性质可证∠C=∠AFD，可得结论；
（2）由勾股定理求出DE=12，由相似三角形的性质得出，求出CD，则可得出答案．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE=∠B，∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠C=∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴∠DAE=90°，
∴，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∵AB=CD，
∴AB=8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25. 2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）月平均增长率是
（2）每个吉祥物公仔的售价定为元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元
【解析】
【分析】（1）设月平均增长率为m，根据7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是万件列出方程，解方程即可；
（2）设每个吉祥物公仔的售价为x元，先根据每个吉祥物的利润不允许高于进价的，列出不等式求出，再列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出结果即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为m，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
答：月平均增长率是；
【小问2详解】
解：设每个吉祥物公仔的售价为x元，根据题意得：
，
解得：，
则销售吉祥物公仔每天的总利润为：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，获得的利润最大，且最大利润为元．
答：每个吉祥物公仔的售价定为元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式，准确计算．
26. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的最大值即可.
【详解】（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键.桌面所受压强
受力面积
2
1
a
时间：120分钟 满分：120分 命题人：荀伟
一、选择题（每小题3分，共24分．）
1. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，从而代入分式求值．
【详解】解：，
设，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查比例的性质、分式的值，熟练掌握比例的性质、求分式的值是解决本题的关键．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：，
有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键．
由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【详解】∵，，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
D．添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：D．
6. 若A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数y＝图象上的点，且x1
C. y2>y1>y3D. y3>y2>y1
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数y=的系数2＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【详解】解：∵反比例函数y=的系数3＞0，
∴该反比例函数的图象如图所示，
该图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，，
∴y3＞y1＞y2．
故选A．
7. 如图，在矩形纸片中，，，点E是上一点，点F是上一点，将矩形沿折叠，使点B的对应点G正好落在的中点处，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形性质，图象的折叠变换及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图象的折叠变换及性质．首先由翻折的性质得，设，则，然后在中由勾股定理求出x即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，且，，
∴，，
由翻折的性质得：，
设，则，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
故选：A．
8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可．
【详解】由抛物线图像可知，
所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限．
故选D
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. __________________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
10. 某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为________．
【答案】100条
【解析】
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.4，
设该鱼塘中有草鱼x条，根据题意得：，
解得：x＝100，
∴该鱼塘中草鱼的数量为100条．
故答案为：100条．
【点睛】本题考查了频率估计概率，明确概率公式是解题的关键．
11. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．
【答案】
【解析】
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形性质应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12. 已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由根与系数的关系，得到，，即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由四边形是矩形与、、、分别是四条边的中点，根据，易证得，则可得，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形的面积．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
、、、分别是四条边的中点，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
四边形的面积为：．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质与矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质．题目难度不大，注意四条边都相等的四边形是菱形与菱形的面积等于其对角线积的一半．
14. 如图，在中，点D、E分别是的中点，若的面积为2，则的面积为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
15. 如图，若点A在反比例函数y= （k≠0）的图像上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为2，则k=________．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】解：因为△AMO的面积为2，
所以|k|=2×2=4．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=-4．
故答案为-4．
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两根是；③；④．其中正确结论的序号为 ________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，，对称轴在y轴右侧，a、b异号，，与y轴交于正半轴，，所以，因此①是错误的；
当时，抛物线与x轴交点的横坐标就是的两根，由图象可得；因此②正确；
对称轴为，即，也就是；因此③正确，
∵，
∴，因此④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题：（共36分）
17. 在中，已知，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值．先作于点D，根据直角三角形的性质和锐角三角形函数，即可得到，，进而得出答案．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，
∴，，，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
（2）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可；
（2）利用割补法结合三角形面积计算公式解答即可．
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【小问1详解】
∵，以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为
∴，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
的面积为：．
19. “天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习．
（1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________；
（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率，
（1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可；
（2）根据题意画树状图或列表方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可；
熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵从、、三个模块中随机选择一个，
∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率．
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种，
∴小明和小亮选择相同模块的概率．
20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质．
（1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形．
（2）先求得，根据四边形是矩形，根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形．
【小问2详解】
，，，
，，，
四边形是矩形，
，．
．
21. 北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪漫．某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量．如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PBE＝45°，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PDE＝50°（A，C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ．（参考数据：tan50°≈1.20，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，计算结果精确到1米）
【答案】首钢大跳台起点到地面的高度为
【解析】
【分析】延长BD交PQ于点F，根据，得出，然后在中用PF表示出DF，根据列出方程，解方程即可得出PF的长，进而求出PQ．
【详解】解：延长BD交PQ于点F，如图所示：
，，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
则，
，
，
即，
解得：，
即，
，
，
答：首钢大跳台起点到地面的高度为47.8m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22. 如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
（1）根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值；
（2）现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】（1），；
（2）这样摆放不安全；
【解析】
【分析】（1）根据关系表得到反比例关系，代入求解即可得到答案；
（2）根据（1）的解析式求出所受压力比较大小即可得到答案；
【小问1详解】
解：由表格可得，
∵，
∴与成反比关系，
∴，
当时，
，
解得：；
【小问2详解】
解：当时，
，
，
∴这样摆放不安全；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
四、解答题（共36分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据在反比例函数（k为常数且）的图象上，代入反比例函数解析式求出答案即可；
（2）求出B点坐标，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点P的坐标即可．
【小问1详解】
∵在反比例函数（k为常数且）图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，
∴，
解得或，
∴，
如图，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求点，
设直线的解析式为，把和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A向BC边作垂线，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE=6，AD=6，AF=4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AB=8
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，∠B+∠C=180°，由平角的性质可证∠C=∠AFD，可得结论；
（2）由勾股定理求出DE=12，由相似三角形的性质得出，求出CD，则可得出答案．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE=∠B，∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠C=∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴∠DAE=90°，
∴，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∵AB=CD，
∴AB=8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25. 2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）月平均增长率是
（2）每个吉祥物公仔的售价定为元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元
【解析】
【分析】（1）设月平均增长率为m，根据7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是万件列出方程，解方程即可；
（2）设每个吉祥物公仔的售价为x元，先根据每个吉祥物的利润不允许高于进价的，列出不等式求出，再列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出结果即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为m，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
答：月平均增长率是；
【小问2详解】
解：设每个吉祥物公仔的售价为x元，根据题意得：
，
解得：，
则销售吉祥物公仔每天的总利润为：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，获得的利润最大，且最大利润为元．
答：每个吉祥物公仔的售价定为元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式，准确计算．
26. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的最大值即可.
【详解】（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键.桌面所受压强
受力面积
2
1
a
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