宁夏回族自治区银川市银川外国语实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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时间：120分钟 分值：120分 命题教师：徐建红 于丽东
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判断，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程．
【详解】解：A、去括号整理可得，是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、没有明确a是否为0，若a为0，则不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
2. 若 ，且a-b+c=10，则a+b-c的值是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比性质，可得x的值，根据解方程，可得x的值，根据代数式求值，可得答案.
【详解】解：设 ， 则a=4x，b=5x，c=6x
∴a-b+c=4x-5x+6x=10
∴x=2
∴a+b-c=3x=6.
故答案为：A。
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等比性质得出关于x的方程是解题关键.
3. 如图，的边经过的圆心O，与相切于B，D是上的一点，连接，，若，则的大小为（ ）

A 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，求解，，可得，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图，连接，

∵与相切于B，，
∴，，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，熟记圆周角定理及切线的性质是解本题的关键．
4. 已知，则锐角A满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正切性质、特殊角的三角函数值，根据锐角的正切值越大，角越大，结合特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，点是函数图象上的一点，过点作轴，轴，并分别交函数的图象于、两点，则四边形的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴，过点作轴，根据反比例函数值的几何意义即可求解．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，如图所示，
∵点是函数图象上的一点，
∴，
∵函数的图象经过、两点，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题主要考查了反比例函数值的几何意义，会运用的值求出对应矩形和三角形的面积是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】该题实际上是将抛物线 向下、向左平移5个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
【详解】解：抛物线顶点坐标为，
把点向下、向左平移5个单位，
∴在新坐标系中此抛物线的解析式为．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7. 如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长，表盘的半径长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设钟表的中心为点，连接，，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可详解．
【详解】解：设钟表的中心为点，连接，，
由题意得：
点在上，，
，
与相切于点，
，
，
表盘的半径长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
9. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）

A. （﹣1，﹣1）B. （﹣，﹣1）C. （﹣1，﹣）D. （﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a3
【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0
15. 如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，则把阴影部分的面积转化等于梯形的面积减去三角形的面积．先得出等边三角形、、，从而求解．
【详解】解：设圆心为，连接、．
，平分，，
，
平分，
，
，．
，
，
又，
则、、都是等边三角形．
．
又四边形的周长为，
．
阴影部分的面积．
故答案为．
【点睛】本题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建等边三角形．
16. 如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高是20米，背水坡的坡角为30°，迎水坡的坡度为1∶2，那么坝底的长度等于________米（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线、，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解、求得线段、的长，然后与相加即可求得的长．
【详解】如图，作，，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形．
由题意得，米，米，，斜坡的坡度为1∶2，
在中，∵，
∴米．
在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度为1∶2，
∴，
∴米，
∴（米）．
∴坝底的长度等于米．
故答案为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
17. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查三角形的内心、平移性质、等腰三角形的判定，根据三角形的内心是三角形角平分线的交点得到，再根据平移性质得到，进而证得，再利用等腰三角形的判定证得，同理证得，进而可求解即可．
【详解】解：连接、，如图，
∵点I为的内心，
∴，
由平移性质得，
∴，则，
∴，
同理可证，
∴图中阴影部分的周长为，
故答案为：6．
18. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．
【详解】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
∴180°﹣α=40°+α，
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
故答案为70°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
19. 如图，太阳光线与地面成60°角，若光线照在地面上的一只排球上，排球在地面上的投影长是10cm，则排球的直径是________ cm.
【答案】15
【解析】
【分析】根据题意建立直角三角形DCE，然后根据∠CED=60°，DE=10可求出答案．
【详解】如图，
∵由题意得：DC=2R，DE=10，∠CED=60°，
∴可得：AB=DC=DEsin60°=15（cm），
故答案为15.
【点睛】本题考查平行投影的应用，属于基础题，解答本题的关键是建立直角三角形，然后利用三角函数值进行解答．
20. 如图，已知的半径是2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】设，根据相切的定义由题意可得：点到轴的距离为2时相切，即，代入解析式可求点坐标．
【详解】解：设，，
与与轴相切，
，
，
①当时，，
解得：，，
②当时，，该方程无解，
点或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出，求出的值是解决问题的关键．
三、解答题（60分）
21. 计算：
（1）解方程：
（2）
【答案】（1），；
（2）3
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的混合运算、负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法，结合完全平方公式和二次根式的性质进行实数运算即可求解．
【小问1详解】
解：
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：
．
22. 确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把已知影长的两个人的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接小赵顶部的直线与地面相交即可找到小赵影子的顶端．
【详解】如图所示.
23. 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【解析】
【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
24. 如图，一次函数y＝k1x+b图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（2）0＜x＜4或x＜﹣1
【解析】
【分析】（1）由点，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，再利用反比例函数的表达式可求出点B的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的表达式；
（2）根据一次函数的图象、反比例函数的图象即可得．
【详解】（1）把点代入反比例函数得，解得
则反比例函数的解析式为
将点代入得
∴
将，代入得
解得
则一次函数的解析式为；
（2）表示的是：一次函数的图象位于反比例函数的上方
则由，可得：当或时，
故所求的x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、一次函数和反比例函数的图象，掌握一次函数和反比例函数的图象特征是解题关键．
25. 如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和的长，然后证明，，进而根据线段的和差即可解决问题．
【小问1详解】
（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
26. 在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
【答案】（1）AC=200海里，AD=200(-1)海里
（2）无触礁的危险
【解析】
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【小问1详解】
如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°=x，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，
∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100．
∴AC＝2x＝200海里．
∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°，
∴∠ACB=∠ADC=75°，
∵∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD
∴，
∴，
∴AD=200(-1)
【小问2详解】
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（−1），
∴DF＝y=×100（−1）≈126.8（海里），
∵126.8＞100，
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
27. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【解析】
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【解析】
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB•OC+QP•BF+QP•OF．
=×4×3+ (−x2+3x)×3．
=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．