宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是
B．是4的一个平方根
C．的平方根是
D．0.01的算术平方根是0.1
3．若点的坐标x，y满足，则点P在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三边中线的交点
5．关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ）
A．0B．2C．D．
6．在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A．B．C．D．
7．一次函数中，且随的增大而减小，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）．
A．2+B．C．D．3
二、填空题
9．已知、为两个连续的整数，且，则
10．某校规定学生的数学学期综合成绩由平时、期中和期末三项成绩按3∶3∶4的比计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是70分、85分和90分，则他本学期数学学期综合成绩是 分．
11．已知点，，若轴，且线段的长为5， ， ．
12．等腰三角形有一个外角是110°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ．
13．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．
14．已知方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
15．不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系中，将直线：沿y轴向上平移2个单位长度后，得到新直线，则直线与坐标轴围成的三角形面积是 ．
三、解答题
17．计算．
(1)；
(2)；
(3)．
18．解下列方程组或不等式组
(1)解二元一次方程组；
(2)解不等式组．
19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．为比较营养液A和营养液B对某种小西红柿产量的影响，甲、乙两个生物小组各选取了10株长势相近的小西红柿秧苗进行对照实验．甲组使用营养液A，乙组使用营养液B．将每株的产量记录整理，并绘制了如下两个条形图．
解答下列问题：
(1)甲组产量的众数为_________，乙组产量的中位数为_________；
(2)已知，若，则_________；
(3)为了使产量更稳定，则应选择营养液_________；（填“A”或“B”）
(4)产量30个及以上为秧苗长势良好，现在选用第（3）问推荐的营养液培育100株秧苗，请估计长势良好的大约为多少株．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
求证：（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
22．如图，在和中，，，，延长，交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求的长．
23．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．
(1)A品牌每分钟收费_________元．
(2)求B品牌超过以后费用与时间之间的函数关系式．
(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
24．如图，在等边中，，分别是，上的点，且，，相交于点．
(1)求证：；
(2)作于点．求证：．
25．某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如表所示：
(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润．（利润售价进价）
26．如图，等腰三角形中，，，AD为底边BC上的高，动点从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为，运动到点停止，设运动时间为，连接BP．(0≤t≤8)
（1）求AD的长；
（2）设△APB的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得S△APB:S△ABC=1:3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使得点P在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
甲
乙
进价（元/件）
120
150
售价（元/件）
135
180
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【详解】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴；故C成立，不符合题意；
D、∵，，
∴，故D不成立，符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2．C
【分析】根据立方根，平方根和算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：A. 10的立方根是，正确；
B. -2是4的一个平方根，正确；
C. 的平方根是±，故错误；
D. 0.01的算术平方根是0.1，正确.
故选C．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根和算术平方根的定义．
3．B
【分析】根据两个非负数的和等于零，那么这两个数均等于零，可得x、y的值，再根据各象限内点的坐标特征，从而得出点P的位置．
【详解】解： ，
，
解得：．
P的坐标为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了非负数的性质和各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是解此题的关键，四个象限的符号特征分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
4．B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
5．A
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值.
【详解】解：解不等式，得 ，∵由数轴得到解集为x≤-1，
∴ ，解得：a=0.
故选A.
【点睛】本题考查解不等式和不等式解集的数轴表示，解题关键是根据数轴上的表示准确确定不等式的解集.
6．C
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
【详解】解：A、∵，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，所以不能构成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合题意；
D、由可设，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查的是一次函数的性质．先根据一次函数中随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论．
【详解】解：一次函数中，随的增大而减小，
，
，
，
一次函数的图象经过二、三、四象限．
故选：C．
8．A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9．7
【详解】∵，
∴3＜＜4，
∵a＜＜b，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
10．82.5
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
【详解】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．
故答案为：88．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
11． 9或/或9
【分析】本题主要考查了与坐标轴平行的点的坐标的关系．若轴，则，的纵坐标相同，因而；线段的长为5，即，解得或．
【详解】解：若轴，则，的纵坐标相同，因而；
线段的长为5，即，解得或．
故答案填：9或，．
12．40°或70°
【分析】根据等腰三角形的外角求得内角为70°，根据70°的角为顶角和底角两种情形分类讨论即可
【详解】解：∵等腰三角形有一个外角是110°，
∴等腰三角形有一个内角为70°，
①当70°的角为顶角时，这个等腰三角形的顶角度数为70°，
②当0°的角为底角时，这个等腰三角形的顶角度数为180°-2×70°=40°，
故答案为：40°或70°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得这个三角形的内角是解题的关键．
13．56
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
14．
【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式．两式相加求得，再由得出的取值范围即可．
【详解】解：，
①②得，，
解得；
，
解得．
故答案为：．
15．m≤1
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式组的解集得到2≥m+1，求出即可．
【详解】，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式组的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为m≤1．
16．9
【分析】本题考查的是一次函数的几何应用，先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：将直线：沿y轴向上平移2个单位长度后，得到新直线
则的解析式为：，
令，则，
令，则，
∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是．
故答案为：9．
17．(1)
(2)1
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分母有理化．
（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．(1)；
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，
①得：③，
②③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
19．(1)见解析
(2)80°
【分析】（1）利用SAS证明△ABC≅△DEF可推出∠ACB=∠F，即可证明AC∥DF；
（2）根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≅△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB
=180°−65°−35°
=80°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20．(1)30，31.5
(2)7
(3)
(4)估计长势良好的大约为70株．
【分析】本题主要考查中位数、众数和方差、条形统计图等知识点，掌握众数、中位数和方差的意义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）利用方差的定义求解即可；
（3）利用方差的意义解答即可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）解：由条形统计图知：甲组产量的众数为30，
乙组产量第5个数是31，第6个数是32，
乙组产量的中位数为．
故答案为：30，31.5；
（2）解：，
，
故答案为：7；
（3）解：由（2）知，，，
，
甲组方差较小，产量的波动较小，产量更稳定，
所以应选择营养液．
故答案为：；
（4）解：估计长势良好的大约为（株．
答：估计长势良好的大约为70株．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；
（2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ABC ＝72°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°．
∴∠BAD＝∠ABD．
∴AD＝BD．
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即EF⊥AB．
（2）∵EF⊥AB，AE＝BE，
∴EF垂直平分AB．
∴AF＝BF．
∴∠BAF＝∠ABF．
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°．
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°．
∴∠CAF＝∠AFC＝36°．
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握并能综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可证明；
（2）利用平行线的性质证明，设，则，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
（2）∵
∴，
由（1）知，平分,
∴,
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理解三角形，以及平行线的性质．掌握这些性质即可解题．
23．(1)
(2)
(3)小明选择品牌的共享电动车更省钱．
【分析】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程．
（1）根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图形可知，品牌的函数关系式分两段求解，待定系数法求函数解析式即可；
（3）先求出小明从家到工厂所用时间为，再通过图象可知小于时选择品牌电动车更省钱．
【详解】（1）解：设，
把点代入，
得：，
；
故答案为：；
（2）解：由图象可知，
当时，设，
把点和点代入中，
得：，
解得：，
；
（3）解：，，
，
由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱．
小明选择品牌的共享电动车更省钱．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由可证，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图，
，
，
，
，
，
，即．
25．(1)甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
(2)甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元得出方程组解答即可；
（2）根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，得出不等式解答即可，最后根据利润公式求得获得的利润．
【详解】（1）解：设甲、乙两种商品分别购进件，件，根据题意可得：
，
解得：，
答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
（2）解：设甲商品购进件，根据题意可得：
，
解得：，
因为取整数，
所以甲商品最多能购进7件，
全部售完后总利润：（元)，
答：甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
26．（1）8；（2）y＝24﹣3t（0≤t≤8）；（3）存在，；（4）存在，
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．
（2）根据y＝S△APB＝S△ABD﹣S△PBD，化简计算即可．
（3）由题意S△APB：S△ABC＝1：3，构建方程即可解决问题．
（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，推出PA＝PB，在Rt△PBD中，根据PB2＝PD2+BD2，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝DC＝6cm，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝10cm，BD＝6cm，
∴AD＝＝＝8（cm）．
（2）y＝S△APB＝S△ABD﹣S△PBD＝×6×8﹣×6×t＝﹣3t+24．
∴y＝24﹣3t（0≤t≤8）．
（3）∵S△APB：S△ABC＝1：3，
∴（24﹣3t）：×12×8＝1：3，
解得t＝．
∴满足条件的t的值为．
（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB，
在Rt△PBD中，∵PB2＝PD2+BD2，
∴t2＝（8﹣t）2+62，
解得t＝．
∴满足条件的t的值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．